数学二次函数图像知识点总结

数学二次函数图像知识点总结数学二次函数图像知识点总结一、二次函数的定义1.二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)2.二次函数的参数：开口方向、对称轴、顶点、开口大小二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下2.对称轴：x=-b/(2a)，是一条垂直于x轴的直线3.顶点：对称轴与函数图像的交点，坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))4.单调性：a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减5.零点：函数与x轴的交点，即解方程y=0得到的解6.图像形状：抛物线，具有对称性和凹凸性三、二次函数图像的关键点1.顶点：函数的最值点，即函数的最大值或最小值2.零点：函数与x轴的交点，即函数的根3.拐点：函数图像从凹变凸或从凸变凹的点，对应的x值为-b/(2a)4.渐近线：当x趋于正无穷或负无穷时，函数图像趋近于直线y=c/a四、二次函数图像的应用1.解析几何：求解直线与抛物线的交点、距离、面积等2.物理：描述抛物线运动、求解物体的最大速度、最大高度等3.经济学：描述成本、收益等函数的变化规律4.生活实际：如抛物线射击、抛物线飞行等五、二次函数图像的变换1.横向拉伸或压缩：改变a的值2.纵向拉伸或压缩：改变c的值3.左右平移：改变x的系数，即改变对称轴的位置4.上下平移：改变c的值，即改变函数图像的纵坐标平移量六、常见二次函数图像的特点1.y=x^2：开口向上，顶点在原点，对称轴为y轴2.y=-x^2：开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴3.y=ax^2+bx+c：开口方向、顶点位置、对称轴取决于a、b的值七、学习建议1.掌握二次函数的一般形式和参数含义2.理解二次函数图像的性质和关键点3.熟练运用二次函数图像解决实际问题4.掌握二次函数图像的变换规律5.熟悉常见二次函数图像的特点通过以上知识点的总结，希望能够帮助您更好地理解和掌握数学二次函数图像的相关知识。习题及方法：1.习题一：已知二次函数y=-2x^2+4x-3，求：a)开口方向c)顶点坐标d)函数的最大值答案与解题思路：a)开口方向：由于a=-2<0，所以开口向下。b)对称轴：x=-b/(2a)=-4/(2*(-2))=1。c)顶点坐标：将x=1代入原函数，得到y=-2*1^2+4*1-3=-2+4-3=-1。所以顶点坐标为(1,-1)。d)函数的最大值：由于开口向下，顶点即为最大值点，所以最大值为-1。2.习题二：已知二次函数y=x^2-4x+4，求：a)开口方向c)顶点坐标d)函数的最小值答案与解题思路：a)开口方向：由于a=1>0，所以开口向上。b)对称轴：x=-b/(2a)=-(-4)/(2*1)=2。c)顶点坐标：将x=2代入原函数，得到y=2^2-4*2+4=4-8+4=0。所以顶点坐标为(2,0)。d)函数的最小值：由于开口向上，顶点即为最小值点，所以最小值为0。3.习题三：已知二次函数y=3x^2-6x+1，求：a)开口方向c)顶点坐标d)函数的最小值答案与解题思路：a)开口方向：由于a=3>0，所以开口向上。b)对称轴：x=-b/(2a)=-(-6)/(2*3)=1。c)顶点坐标：将x=1代入原函数，得到y=3*1^2-6*1+1=3-6+1=-2。所以顶点坐标为(1,-2)。d)函数的最小值：由于开口向上，顶点即为最小值点，所以最小值为-2。4.习题四：已知二次函数y=-x^2+2x+5，求：a)开口方向c)顶点坐标d)函数的最大值答案与解题思路：a)开口方向：由于a=-1<0，所以开口向下。b)对称轴：x=-b/(2a)=-2/(2*(-1))=1。c)顶点坐标：将x=1代入原函数，得到y=-1^2+2*1+5=-1+2+5=6。所以顶点坐标为(1,6)。d)函数的最大值：由于开口向下，顶点即为最大值点，所以最大值为6。5.习题五：已知二次函数y=2(x-1)^2+3，求：a)开口方向c)顶点坐标d)函数的最小值答案与解题思路：a)开口方向：由于a=2>0，所以开口向上。b)对称轴：x=-b/(2a)=-(-2)/(2*2)=1。c)顶点坐标：将x=1代入原函数，得到y=2*(1-1)^2+3=2*0+3=3。所以顶点坐标为(1,3)。d)函数的最小值：由于开口向上，顶点即为最小值点，所以最小值为3。6.习题六：已知二次函数y=-3(x-2)^2+7，其他相关知识及习题：1.习题一：已知二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。求：a)函数的判别式Δ=b^2-4acb)函数的根（解）c)函数的图像与x轴的交点（即函数的零点）答案与解题思路：a)判别式Δ=b^2-4ac。b)函数的根由公式x=(-b±√Δ)/(2a)给出。c)函数的图像与x轴的交点即为函数的零点，可以通过解方程y=0得到。2.习题二：已知二次函数y=ax^2+bx+c，求函数的导数y'。答案与解题思路：函数的导数y'=2ax+b。3.习题三：已知二次函数y=ax^2+bx+c，求函数的导数的导数（即二阶导数）y''。答案与解题思路：函数的二阶导数y''=2a。4.习题四：已知二次函数y=ax^2+bx+c，求函数的极值点（最大值或最小值点）。答案与解题思路：函数的极值点为x=-b/(2a)。5.习题五：已知二次函数y=ax^2+bx+c，求函数在对称轴上的函数值。答案与解题思路：函数在对称轴上的函数值为y=c-b^2/(4a)。6.习题六：已知二次函数y=ax^2+bx+c，求函数的顶点坐标。答案与解题思路：函数的顶点坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))。7.习题七：已知二次函数y=ax^2+bx+c，求函数的图像与y轴的交点。答案与解题思路：函数的图像与y轴的交点为(0,c)。8.习题八：已知二次函数y=ax^2+bx