2024高考数学三角函数解题技巧-教师用书

2024高考数学三角函数解题技巧一教师用书

目录

1.三角函数的图象与性质.......................................................1

1.1.核心知识回顾............................................................1

1.2.热点考向探究............................................................3

1.3.真题押题................................................................12

1.3.1.『真题检验』......................................................12

1.3.2.『金版押题』......................................................14

1.4.专题作业................................................................15

2.三角恒等变换与解三角形.....................................................25

2.1.核心知识回顾...........................................................25

2.2.热点考向探究...........................................................27

2.3.真题押题................................................................37

2.3.1.『真题检验』......................................................37

2.3.2.『金版押题』......................................................41

2.4.专题作业................................................................42

1.三角函数的图象与性质

「考情研析」1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、

周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点

考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.

1.1.核心知识回顾

1.同角关系式与诱导公式

(1)同角三角函数的基本关系：r^i~|sin2a+cos2a=1,|O2]T-=tana.

(2)诱导公式:在华+a,ZWZ的诱导公式中“函1奇变偶不变，符号看象限”.

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2.三种三角函数的性质

函

y=sinucy=cosxy=taruc

数

图

象K

在画

在同_无+

-5+2kli,5+2攵兀］(左€

2女兀，2E］((€Z)上在画

Z)

单单调递增；

上单调递增；f2.三J

(一］+也,3+攵兀

调性在|0412攵兀，兀

在画

色WZ1上单调递提

+2E］伏WZ)上单

1+2&兀，萼+2加Z)

调递减

上单调递减

对称中心：

对称中心：所

函售+E,

对0)(1WZ);对称中心：

Z)；piolfj,oKez.

称性对称轴：国坛1土

对称轴：叵L

kn(kWZ)

=kn(k€Z)

3.函数y=sinY的图象经变换得到y=Asin(tyx+9)(A>0,0>0)的图象的步

骤

第2页共55页

1.2.热点考向探究

考向1同角三角关系式、诱导公式

例1(1)(2020.四川省泸县四中第二次高考适应性考试)若sin_r=

cosjccos^.r+

则)

33

AWB--lo

33

一D

JC4--4

答案A

解析siri¥=3sinfx-^-3cosx,解得taav=-3,所以cosxcosLx+

-sinxcosx-tanx3

sirLrcosx=sin2x+cos2x-1+tan2x-10'故选A.

ITT7T

(2)(2020•黑龙江省哈九中二模)若sin2a=1^<a<^,则cosa-sina的值是

近

B.2

3

D.4

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13

--

解析sin2a=2sinacosa=『sin2a+cos2a=1,4=4

兀71

1•,4<«<2..".cosa-sinot=-2,故选B.

⑴利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角

函数，其步骤：去负一脱周一化锐，特别注意函数名称和符号的确定.

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sinacosa,sina-cosa

这三个式子，利用(sina土cosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

⑶关于sina,cosa的齐次式，往往转化为关于tana的式子求解.

♦对点精练

1.已知兀)，sina=',贝l]tan(a+£)=()

A.7B.；

C.-7D.-]

答案D

AR,L，兀［6434（兀'

向军析,/a€I2，I,sina=g,.,.cosa=；.tana=_g./.tanla+w

f心18s(八£)

2.(2020•江西省南昌市三模)已知sin1a+5|=w，则一无~\

答案-I

兀兀

解析/cosa=cosla+二一兀I=-cos|。+勖

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考向2三角函数的图象及应用

例2（1）（多选）（2020.山东省荷泽市模拟）已知函数,於）=Asin（s+

4小〉0,CO>0,0<片）的部分图象如图所示，若将函数於）的图象纵坐标不变，

1兀

横坐标缩短到原来的不再向右平移%个单位长度，得到函数g（©的图象，则下列

命题正确的是（）

A.函数/W的解析式为/U）=2singx+

B.函数g（x）的解析式为g（x）=2sin（2T）

7T

C.函数兀r）图象的一条对称轴是直线龙=-§

"4兀-

D.函数g（x）在区间兀，至上单调递增

答案ABD

1兀

解析由图可知,4=2,彳y=兀，.,.7=4兀=2营，得3=受।，.,.於）=2si

|7C71

将(0,1)代入得sin4s=],结合0＜、＜0,r.48=5.二段)=+4）故A正确;

1兀

将函数火X）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的不再向右平移Z个单位长度,

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可得y=2sin"x+*-y=2sin［2(x—5+^=2sin"x—*,故B正确；=

2sin；X(-霜聿=仇不是最值，故直线》=-郛是对称轴，C错误；由

4兀］兀「11兀15兀1、「兀兀1,,£一、一।一

兀，司，.•.2》-度［又可，同〉=5班•在区间［-不或上的单调性，根据复

4兀

合函数的单调性可知，函数g(x)在区间［兀，引上单调递增，D正确.故选ABD.

(2)(2020.河北省衡水中学高三一模)某同学用“五点法”画函数/«=

Asin(①x+9)(①＞0,初＜舒在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如

下表：

更3兀

O)X+(P0712兀

2T

715兀

X

36

Asin(s+

05-50

夕)

①请将上表数据补充完整，并直接写出函数/U)的解析式；

②将y=/U)图象上所有点向左平行移动。(仍＞0)个单位长度，得到y=g(jr)的

图象.若了=80)图象的一个对称中心为倍，0),求。的最小值.

7T

解①根据表中已知数据，解得A=5,s=2,夕=-8数据补全如下表:

3兀

COX+(P0二712兀

2~2

717C7汽5兀13兀

X

12312612

Asin(①x+(p)050-50

且函数表达式为段)=5sin(2x-"

②由①知fix)=5sin(2x-看，得g(x)=5sin(2x+2。-专

因为y=sior的对称中心为(E,0),k£Z,所以

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兀kji7t

令2x+2E，解得*=5+五-仇ZWZ.

由于函数y=g(x)的图象关于点(居，0)成中心对称,

令人左了兀+五兀一八*五5兀，

Z兀兀

解得8=亍一？zwz.由e〉o可知，

兀

当％=1时，。取得最小值6

方法指导

1.解析式丁=45皿(/工+9)+8(4>0)的确定方法

最大值-最小值最大值+最小值

(DA,8由最值确定，即4=取回取一

(2)①由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为T，对称

轴与相邻对称中心之间的距离为

(3)8由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定.

2.三角函数图象平移问题处理策略

(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判

断移动方向的关键点.

(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y=Asin(cox

+8)中8的正负和它的平移要求.(3)看移动单位：在函数y=Asin(s+8)中，周

期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以。和9之间有一定的关系，S是初

相，再经过”的压缩，最后移动的单位是2.

■对点精练

2兀2兀

1.设函数./U)=sin33>0),已知对于［0,小内的任意汨，总存在［0,y

内的X2,使得兀。)+7(X2)=0,则①的()

A.最大值为3B.最小值为3

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99

c.最大值为疝D.最小值为a

答案D

2兀]「2兀

解析因为要满足对任意的为Qo,可，总存在X2€[o,yj,使得犬为）+

於2）=0,对于於）=sis（m>0）,则在[o,用上的函数值有正值，即加）可以有

正值，要存在X2使得兀川+兀切=0,则1尤2）需要有负值.又7U1）可以取到最大

值1,要存在人及），使得/UD+/（X2）=O,则加2）要可以取到最小值-1,说明7U）

2兀27r32兀

在x>o上取得第一个最小值的点应在亍的左侧或者恰好落在亍处，所以至，

即冷碧,解得0/.故选D.

2.（2020•山东省潍坊市模拟）函数外）=sin（0x+I夕局的部分图象如

图所示，则夕=；将函数於）的图象沿A-轴向右平移40〈词个单位后，

得到一个偶函数的图象，则。=.

必*兀3兀

答案4T

解析由函数/U）=sin（ox+8）（m>0,地用的部分图象，可得（•金=卜志

7T兀兀

•・①二2.再木艮据五点法作图，2玉+夕=],..夕二1

将函数./W的图象沿X轴向右平移从0<从胃个单位后，可得y=

sin（2x-2Z?+j的图象.

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7［兀

:得到一个偶函数的图象，:一2。+4=而+5，kez,

371

贝IJ。=至，此时攵=-1.

考向3三角函数的性质

例3（1）（2020.河北省唐山市高三一模）设函数段）=sin（2x+金，则下列结

论中正确的是（）

A.>=%）的图象关于点仔0）对称

B.y=/（x）的图象关于直线x=g对称

71

C.火X）在［0,灯上单调递减

D./）在［-也0上的最小值为。

答案C

解析对于函数段）=sin（2x+T，令九4求得/）=-乎，所以尸危）

的图象不关于点。，0）对称,也不关于直线x=W对称，故A,B不正确;0,f,

2兀2兀4兀兀兀

则2x+亨yj,故於）在［o,引上单调递减，故c正确；xc［-不则

2x+y€牛，故兀X）在o上没有单调性，最小值为）=欢）=半，

故D不正确.故选C.

（2）（多选）（2020.山东省滨州市高三模拟）若函数/）=4sins>sin2愕+幻+

兀3兀

cos2wx-l（co>0）i£|_-2-7」上是增函数，则下列结论正确的是（）

A.段）是偶函数

2兀

B.yu）的最小正周期丁二7

2

C.①的最大值为§

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D.。没有最小值

答案BCD

解析/U)=4sincox-sin2(号+个)+cos2cox-1=2sincox,包含原点的增区间为

兀兀［「兀3兀［I2①212

而，诟］，又於)在［-2,句上是增函数，所以£兀兀所以

___会

2兀2

所以7U)是奇函数，最小正周期T=~,(o的最大值是?co没有最小值.故选

BCD.

(3)(2020•河北省保定市一模)设函数危)=2s底sin(x+界#是奇函数，其中

(P€(0,兀)，贝【J8=-

答案I

解析因为函数/U)为定义在R上的奇函数，而丁=512是奇函数，故丁=

兀、兀兀71

4+1+可为偶函数，所以］+S=/+E，%WZ,又”€(0,71),所以夕=%.

方法指导求解函数y=Asin(cox+8)的性质问题的三种意识

(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为兀1)=45皿(。%+9)的形

式.

(2)整体意识:类比y=sinx的性质,只需将y=Asin(cox+夕)中的“@x+夕”

看成y=shu,中的“x”，采用整体代入求解.

①令(UX+8=E+宗%WZ),可求得对称轴方程.

②令cox+s=kn(k€Z),可求得对称中心的横坐标.

③将①x+8看作整体,可求得y=Asin(s+s)的单调区间，注意①的符号.

(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A〉0,A<0.

♦对点精练

1.已知函数/U)=sinox-小cos①x(o>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距

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ITTT

离等于2,若将函数y=/U）的图象向左平移%个单位得到函数^=8。）的图象，则

y=g（x）是减函数的区间为（）

4"3'°）B.1,习

CV4,2）D.［4，3；

答案D

解析/U）=sintyx-小costwx=2sin（cox-,因为函数“x）的图象与x轴的

两个相邻交点的距离等于T=所以7=兀，8=2、所以段）=2sin（2x-§.所以

/兀、71兀3兀兀3兀

^（x）=2sin2lx+5J_3=2sin2x由/+2&兀W2%+2%兀（女€Z）,得+尤〈工

兀3兀

+E,所以y=g（x）是减函数的区间为丘+E，彳+E批WZ）.分析选项只有D

符合.故选D.

2.若将函数尸sinJQ+川的图象向右平移皿心0）个单位长度后所得的图

象关于直线x=：对称，则机的最小值为（）

兀兀

A.五B.不

…兀兀

0一D一

J463

答案B

解析平移后所得的函数图象对应的解析式是y=sin2（x-加+野］,如果该

函数的图象关于直线x号对称，则2「一叶+韶E+界WZ）,所以m=-竽+

削WZ）,又加>0,故当攵=0时，最小，此时〃?=》

3.若关于尤的方程（sinx+cosx>+cos2x=机在区间［0,无）上有两个根阳，愈,

TT

且比-刈2不则实数机的取值范围是（）

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A.[0,2）B.[0,2]

C.[1,^2+1]D.[1,6+1）

答案B

解析关于工的方程00^+（：03）2+（：052%=〃2在区间[0,兀）上有两个根Xl,

X2,方程即sin2x+cos2x=m-1,即sin（2x+m二

—、，一-、兀兀「3兀5兀

区间。兀）上有两个根Xi,X2,且以I[0,71）,：.2x+^e^t

2网11国

-4'4ju[4j,

/2

工求得0W〃W2.故选B.

1.3.真题押题

1.3.1.『真题检验』

1.（2020・全国卷I）已知a€（0,兀），且3cos2a-8cosa=5,贝ljsina=（）

答案A

解析由3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0,解得cosa=-

cosa=2（舍去）.'：a€（0,兀），sina=yj1-cos2a=3、.故选A.

2.（2020.天津高考）已知函数/）=sinQ+"给出下列结论：

①/U）的最小正周期为2兀；

②目是兀r）的最大值；

TT

③把函数y=siiu的图象上所有点向左平移]个单位长度，可得到函数y=

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/（X）的图象.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①B.①③

C.②③D.①②③

答案B

解析因为外）=，尤+m，所以最小正周期T=牛=2兀，故①正确；局=

sin仔+习=4谭=#1,故②不正确；将函数y=sinx的图象上所有点向左平移

三个单位长度，得到y=sin（x+1）的图象，故③正确.故选B.

3.（2020•新高考卷I）下图是函数丁=5皿3+夕）的部分图象，则sin（0x+9）

=（）

A.sin(x+三

C.cos"x+5

答案BC

T27rITIT2兀2兀

解析由函数图象可知2贝U/=了=片=2,所以A不正确.当

2兀71

365兀，5兀3兀心，2兀

*=-2-=五时,y=-l，所以2X五+夕=受+2攵兀伙€Z）,解得9=2k7i+y（k

€Z),即函数的解析式为y=sin"x+T+2E)=sin(2x+V+?=cos(2x+季

-cos借-故选BC.

sing-2xJ.而cos(2x+4

4.（202。全国卷III）关于函数./U）=sinx+£：有如下四个命题:

①Ax）的图象关于y轴对称;

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②Ax)的图象关于原点对称;

③穴X)的图象关于直线X=方对称；

④Ax)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是

答案②③

解析函数式x)的定义域为｛xbWE,kWZ\,定义域关于原点对称，负-x)

=sin(-x)+而、=-sinr-熹=一卜iM+熹)=一/U),所以函数兀外为奇函

数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为7(1-»

，兀、11/兀、.但、11

=sin7-x+—7---\=cosx+----,JJflT+x=sin7+%+—7---\=cosx+----

\2)(兀)cosx\2)\2)(7i]cosx

sin7-xsin7+x

则玛-X)=尼+4所以函数於)的图象关于直线X=女寸称命题③正确；对

于命题④，当-兀＜x＜0时，siruvO,则/(x)=sinx+高＜0v2,命题④错误.

5.(2020.江苏高考)将函数y=3sin(2r+M|的图象向右平移衿单位长度，则

平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_______.

5兀

答案x=-24

解析将函数y=3sin(2尤+：)的图象向右平移聿个单位长度，所得图象对应

解析式为y=3sin[2(x-V+；=3sin(2x-总，令2x-专=方+E/6Z),得工=

77fjzjr5九5冗

五+了awz).当攵=-1时，-五，故与y轴最近的对称轴方程为％=-五.

1.3.2.『金版押题』

6.如图，函数/U)=J记sin(ox+s)(0〉0)的图象与它在原点。右侧的第二条

对称轴C。交于点C,A是./U)图象在原点左侧与x轴的第一个交点，点8在图

象上，魂=汕，AB1BC.则0=()

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答案B

371

解析由题，对于函数段)=^sin(ox+s)(0>0),0j,C(—^~,

3兀3兀

一班)，设。(,〃),鸳)，B(XB,yif),：.AB=[XB+^-,»)，AD=(—,yo),

(X/\/(X/

3兀5兀

5f5^2不一夕

-：AB=gAD,-'-XB+^)=g--,即XB=s，

57i3兀

不一勿J15-了—9

.点8在图象上，：.yB=V15sin(co-—+(p)=CB=(XB~~CO>B

2兀

5兀

丽=《,华).又AB1BC即检宓=0,

2兀5兀

"~co~X'a)+^'X^2^=(),解得°=常故选B.

1.4.专题作业

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.函数火*)=tan(2x-与的单调递增区间是()

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E兀kit5兀］

212,2+五/cz)

(kn7tku5兀、

15一司1+司MZ)

,713兀,

C.k兀一五，匕i十五（A€Z）

兀5兀、

D.t9」,ku+nJ(%wz)

答案B

解析当桁-小②-mE+界€Z）时，函数尸1211（2%-京单调递增，解得

L-jrjrLqr5冗，兀、

了-五〃〈了+五（攵€Z）,所以函数y=tan（2x-a的单调递增区间是

（如兀左兀5兀、一、人

后-运2+司（%€Z）,故选B.

2.函数火x）=2x-tanx在«,野上的图象大致为（）

答案C

解析因为函数/U）=2x-tanr为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排

除A,B,又当X一5时，/）＜0,排除D.故选C.

3.为了得到函数y=sin（2x-施图象，可以将函数y=coslr的图象（）

7T

A.向右平移不个单位长度

7T

B.向右平移）个单位长度

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TT

c.向左平移4个单位长度

7T

D.向左平移］个单位长度

答案B

解析y=sin,-*）=cos5-目一加=cos@一2九）=cos（2x一削=

式2（尤-3,.■.将函数>=cos2x的图象向右平移母个单位长度，故选B.

4.函数兀r）=cos（ft>x+s）（69>0,刷的部分图象如图所示，则函数於）的

单调递增区间为（）

1171~71…

A.--yy+2kn,3+2kn(k€Z)

B.--jy+E,五+E(kCZ)

-5兀…兀…一

C.一五+2E,行+2版(攵6Z)

「5兀，兀，1

D.一元+攵兀,五+E(Z€Z)

答案D

解析由题图可知，图象过（专，1）,住0^）=>J=^--^=>T=7t,-：T=^,

co>0,：.co=2；图象过仔，0）,.•.cos（2xW+J=0,根据题中图象可得2X台夕

=2mit+GZ）,即夕=2m?i一^（m€Z）.

,「1研<5，7♦9=_聿，二危）=cos（2x-%）,当2也_兀忘2工_5.2阳攵€2）时,

函数单调递增，化简得E-居4WE+aAWZ）.故选D.

5.（2019・天津高考）已知函数.八》）=人皿3>%+8）04>0,0>0,助<无）是奇函数,

第17页共55页

将y=/W的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对

应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2无，且=也，则/爸=()

A.-2B.-y)2

C.也D.2

答案C

解析因为/U)是奇函数(显然定义域为R),所以的)=Asins=O,所以sin8

=0.又助<无，所以s=0.由题意得g(x)=Asings],且g(x)的最小正周期为2兀,

所以;①=1,即0=2.所以g(x)=Asinx,所以g。=Asin：=^A=6，所以A=

2.所以段)=2sin2尤，所以痣)=6.故选C.

M

6.(2020•辽宁省沈阳市三模)已知函数^)=Asin((yx+^)-e-(A>0,

①>0,0<8<兀)的部分图象如图所示，则/①的可能取值为()

.兀

A3B.兀

-3兀

C.zD.2兀

答案B

兀

解析./W的图象关于y轴对称，,於)为偶函数，"=E+],kwz,•:

兀I

0＜夕〈兀，：.(p=3,=Acoscox-e-w,/.y(0)=A=2,'//(1)=/(3)=0,

1兀、

=COS3(J9-^3=0,.'.COSO)=cos3co=0,取①=],贝|J/G=7L故选B.

7.将函数段)=2sin(2x+施图象向左平移专个单位长度，再向上平移1个

单位长度，得到g(x)的图象，若g(xi)g(X2)=9,且Xi,x2e[-2n,2兀],则2xi-

九2的最大值为()

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25兀49K

AvB.~n

C型17兀

6D.

答案B

解析由题意可得，g(x)=2sin(2x+§+1,所以g(x)max=3,又g(xi)g(X2)=

(71、717C

9,所以g(xi)=g(X2)=3,由g(x)=2sin(2x+§J+1=3,得2x+§=]+2kMk€Z),

EPx=+kn(k€Z),因为xi,%2€[-2TI,2n],所以(2xi-九2)max=2X“+7t)-

(7i-、49无「

后-2q=F,故选B.

71兀

8.(2020•天津二模)若函数於)=cos(2x+e)(0＜夕＜兀)在区间[-不落上单调递

减，且在区间(0,野上存在零点，则9的取值范围是()

答案D

解析由2EW2x+gW2E+兀，kSZ,得攵兀一?忘了.攵兀一?+微，kWZ,即

。兀。兀兀

函数的单调递减区间为［EE+］-外kWZ,,.7W在区间［-不成上单调

递减，—看且E+卷一kWZ,即E+聿乏3〈痴+三，左WZ,即2E

兀27r7i27r

+§<9・2攵兀+亍，攵€Z,'."0<^<7c,当女=0时，由2X+9=E+

，，kez,得尤若-3+：,攵wz,•.7U）在区间（o,春有零点，.•.满足。碧-3

7T7L..0兀兀7L兀..7T7L,,.,

+^<不当々=0时，o<_g+a（不得•综上，故v选D.

二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

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9.（202。山东部分重点中学联考）函数段）=cos（s+8）（m>0,初唱的部分

图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.①二兀

兀

B.(p=马

3

C.直线X是函数,/U）图象的一条对称轴

1

点+-O）（ZCZ）是函数於溷象的对称中心

D.4

答案

解析由函数的图象知彳=1,其中7为7U）的最小正周期，贝IJT=2,即7=

穿=2,得⑦=兀，所以A正确；由图象可得，0=COS（%Q|=0,所以，夕=

兀717171（兀、

2E+1,ZWZ,即夕=2也+不攵WZ,又|研<],所以夕=不故段）=cosg+ij,

13

当

兀--1H忖X--

所以B不正确；令TLV+W=E,k£Z,得x=k44

37171

故直线是函数/U）图象的一条对称轴，所以c正确；令U+I=E+5,kw

1

得

%+-攵€Z所以函数./U）图象的对称中心为点,+1，0）,左6Z,所

Z,X=4

以D正确,故选ACD.

10.（2020•武汉模拟）已知函数於）=sin（si*+cos（cos©,则下列关于该函数

的结论正确的是（）

A.兀r）的图象关于直线尤对称

B.7W的一个周期是2无

C.«r）的最大值为2

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D.段)在区间(0,号上是增函数

答案ABD

解析对于A,因为於)=sin(siar)+cos(cosx),所以«兀一x)=sin(sin(兀一x))

+cos(cos(7t-x))=sin(sinx)+cos(cosx)=j(x),所以.*兀-x)=«x),所以贝x)的图象

关于直线X=对称，所以A正确；对于B,因为外)=sin(sior)+cos(cosx),所

以+2兀)=sin(sin(x+2兀))+cos(cos(x+2TT))=sin(sinr)+cos(cosx)=/(x)，所以B

正确;对于C,因为sinxWl,cosxWl,sin(sinx)<l,cos(cosx)Wl,所以/(x)的最

大值不为2,所以C错误；对于D,因为于，所以函数^=32是增函

数，y=cosx是减函数，由复合函数的单调性知丁=$亩6加)，y=cos(cosx)在区间

(0,皆上都是增函数，所以段)=林山)+85(”>5)在区间(0,等上是增函数，

所以D正确.故选ABD.

11.(2020•海南模拟)已知函数外)=x+siiu-xcosx的定义域为［-2兀，2兀)，

则()

A..共幻为奇函数

B.7U)在［0,兀)上单调递增

C.火X)恰有4个极大值点

D.7U)有且仅有4个极值点

答案BD

解析因为/W的定义域为［-2兀，2兀)，所以火X)是非奇非偶函数，又/'(X)

=1+cosx-(cosx-xsin九)=1+xsinx,当兀)时，/(x)>0,贝在［0,兀)

上单调递增.显然f(0)W0,令/'(九)=0,得siiu=-(，分另蚱出尸siiu,y

=-；在区间［-2兀，2兀)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间［-2兀，

2兀)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故7U)在区间［-2兀，

2兀)上的极值点的个数为4,且人万)只有2个极大值点.故选BD.

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12.（2020.山东枣庄模拟）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项

古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水

车，一个水斗从点43小，-3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一

周用时60秒.经过f秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x,y）,其纵坐标

满足y=/W=Rsin（ft＞/+9）（fB0,ft»0,|研＜9则下列叙述正确的是（）

A.7?=6,co=2Q,甲=一4

B.当我［35,55］时，点尸到x轴的距离的最大值为6

C.当任［10,25］时，函数＞=/⑺单调递减

D.当f=20时，陷|=砧

答案ABD

解析由题意得，-=427+9=6,T=60=资，.•.“=点.由一个水斗从点

A（3小，一3）出发，可知人0）=-3,二一3=65即：初＜方，.，.夕=一季，A正确;

由上可知，々）=6sin|j^-初当，€［35,55］时，而/-不€［兀，手_|，故点P到％轴

的距离的最大值为6,B正确；当在［10,25］时，言一嘴一兀，y2兀一j,此时函数产

JI'llJI

刖不单调,C不正确；当f=20时，而"4=］，点P的纵坐标为6,此时P（0,6）,

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.-.|M|=^/27+81=6^3,D正确.故选ABD.

三、填空题

sina+3cos。

13.已知:;:-=5,贝ljsin2a-sinacosa=

3coso—sma

答案1

解析由已知可得sina+3cosa=5（3cosa-sina）,即sina=2cosa,所以tana

sinasin2a-sinacosatan%-tana22-22

==2,从而sirra-sinacosa=rj3=7:~7=7.

cosa，/八"usin2a+cos2atan2a+122+15

14.已知函数«x）=45sinx+cosx在[-〃“上是单调递增函数，见|八2/〃）

的取值范围为.

答案[1,2]

解析函数段）=V5sinx+cosx=2sin（x+聿），

兀兀7C27rTC

由2E-/W九+%W2E+],4€Z=>2E—了+kSZ,故y（x）在区

2兀兀2兀兀

间2^-y,2E+§/€Z）上单调递增，当左=0,於）在区间一,w上是单调

2兀兀

递增函数，则[-加，〃昨-7，3-即R纱匹

>0

X2m)=2sin(2团+,而煮<2根+狂手,

所以吴sin(2m+*1,所以共2加)€[1,2].

jrrjrr

15.已知A,8是函数/(x)=sin5的图象与函数g(x)=cos5的图象的两个不

同的交点，则线段A8长度的最小值是_______.

答案#

解析如图所示，

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上〃、，、.nxnx

由fix)-g(x)=sin^--cos万

.兀A/2兀

inp;-2cos/

令0,得全-；=依，k€Z,

解得x=2k+W，k6Z,所以|8。|=2,|AD|=啦,

所以=y出52+依。|2=历万=册,即线段4?长度的最小值为黄.

16.已知函数外）=Asin（①x+9）（A>0,CO