初中数学代数知识大全

初中数学代数知识大全

一、有理数的运算

1、相反数：a的相反数为:-。—a的相反数为:。0的相反数为:0

a(a>0)

2、绝对值：|。|=40(。=0)

<-a(a<0)

3、倒数：ab=l,。和〃互为倒数.或。=!

b

4、有理数的加法：+。+人=+(|。|+|〃|)-a+(-b)=+1。I

-a+h=-(\a\-\b\)a+(-h)=^\a|一力|)4|>匕

5、有理数的减法：a-b=a+(-b')

6、有理数的乘法：axb=+\a\x\b\-axb=]-a\*2(«>0,Z?>0)

7、有理数的除法：a-^h=+\a\^-\b\一。子〃=卜4k(a>0,b>0)

8、有理数的乘方：a〃=axaxXQXQ(〃个Q)

(一")"=""’(一〃)""‘=—a"'"320

二、整式的运算

1、整式的加减：

(1)非同类项的整式相加减：ab±mn-ab±mn(不能合并！)

(2)同类项的整式相加减：ab±an=(b+n)a(合并同类项，只把系数相加减)

2、整式的乘除：

(1)塞的八种计算

(a)同底数幕相乘：a"xa"=a"+"

(b)同底数幕相除：3。0)

(C)零指数：Q°=l(aw0)

(d)负指数：Q"=’73。0)

a

(e)积的乘方：(ab)=/义b

(f)累的乘方：")=/"

(g)同指数的基相乘：a"'xb"1=W"

m

(h)同指数的幕相除：/'+//=(£)Sw°)

(2)整式的乘法：

(a)单项式乘单项式：maxnb=rruuib

(b)单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+me

(c)多项式乘多项式：(。+，)(加+〃)=am+an+hm+hn

(3)乘法公式：

77

(a)平方差公式：(。+3(。一人)=4--//

<b)完全平方公式：(a+b\=a+b'±2ab

(c)三数和的完全平方公式：(a+b+c)2=q2+y+c2+2(ab+bc+ac)

(d)立方和公式：(a+b)(q--ab+b)=a+b

(e)立方差公式：(a_b)(a~+ab+b)=Q-。

(f)完全立方公式：(〃±，)=Q-^CL^^~^ab-1}

(g)三数和的完全立方公式：(Q+b+c)'=4Z+Z?+3abe+b+c)

(4)整式的除法：

(a)单项式除以单项式：irta^nb=(―)(tz4-b)

n

(b)多项式I除以单项式：(ma+mb+/nc)+m=ma+m+mb+m+me+m=a+b+c

三、因式分解的运算

1、提取公因式法：ma+mb+me=m(a+b+c)

2、公式法：/-82=(〃+0)(〃一〃)〃2±2"+//=(〃±/2).

2

3、十字相乘法：〃~+(加+〃)。+加1=(a+m)(a+n)

四、分式的运算

/J7mb

1、分式的通分：匕=々(。工0/。0)

aab

/v_u^/i八、mbmb+bm八,八、

2、分式的化简(约分)：一=------=—3z。0,力。0)

abab+ba

3、分式的加减:

/77nm+〃

(1)同分母的分式相加减：竺±2=竺」(。工0)

aaa

/77nmb+nci

(2)异分母的分式相加减：竺±q=竺二吧(。工0/。0)

abab

4、分式的乘除：

(1)分式的乘法：‘x'="

abab

,、八mnmbinb„,八、

(2)分式的除法：一+—=—x—=—w0,。w0z,〃w0)

abanan

五、根式的运算

1>根式的加减：m-Ja±ny/a=(m±n)y/a(同类根式才能相加减)

2、根式的乘除:m-Jaxny/b=(mn)y/abm^a+n(〃。0力。0)

(同次根式才能相乘除)

3、根式的乘方：(〃)=。(a>0)

a(a>0)

=Ia1={0(a=0)

-a(a<0)

4、分母有理化：?=叱坦=9_g0)

8(«)0

mm(y/ab)m-/amb

4a±b士b)(8b)a-B

六、方程的运算

1>一元一次方程

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1。

注意：移项时，此项前的符号要变号；去括号时，括号前是“一”时，括号内的每一项都要变

号。

2、关于x的一元一次方程方=人的解的三种情况

(1)a=0,b*0,方程无解

(2)a=Q,b=0,方程无数多个解

(3)方程只有一个解

3、二次一次方程(组)

(1)二元一次方程的正整数解(不定方程)

(a)不定方程的概念：一个方程，两个未知数。

(b)不定方程的解：有无数组解，这些解有一定的规律。一般只讨论正整数解。

(C)不定方程的一般解法(选学内容******)

对于不定方程3x+4y=90来说：

解法步骤为：(1)整理：用一个未知数表示另一个未知数。x=90~4v=30--y

33

(2)求解：令y=1,2,3,4,求出x的整数解。

4

(3)设参数：：x=30--y,且x为整数。

3

4

显然是3的倍数。

故y=3—伏=1,2,3,4)

'x=30—4Z

所以符合要求的解集为：V

y=3k

(2)二元一次方程组的解法

(a)代入消元法

要点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，代入方程求解。

(b)加减消元法

要点：通过加减消去一个未知数，求出另一个未知数，代入方程再求出消去的未知数。

(3)三元一次方程组的解法

主要是加减消元法

要点：先用①式与②式消成二元一次方程，再用②式与③式消成二元一次方程，然后组

成新的二元一次方程组再求解。

4、分式方程

(1)步骤：方程两边同时乘最简公分母，去分母，化为整式方程求解，检验。

(2)要点：增根的检验很必要，不然方程中分母为0,无意义！

(3)增根的检验：代入原方程的分母，看分母是否为0。为。则是增根，不为0则是原

方程的根

(4)拓展提高：已知增根，求分式方程中的参数的值。先公为整式方程，代入增根的值,

即可求出原方程中的参数的值。(注意，不能先代入，否则分母为0,无法计算。)

5、一元二次方程

(1)三种解法

(a)配方法

步骤：一化(化二次项的系数为1)

二移(把常数项移到方程右边)

三配(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)

四整理(写成完全平方式，两边开方)

五写根(通过开方的两个答案，写出两个根)

(b)公式法

步骤：一、找系数

二、算A=//-4ac的值

一力八一—b±db~-4ac

二、代公式工二--------------

2a

四、写出两根

(c)因式分解法

步骤：一整理(方程整理成右边二0的形式)

二分解(把方程左边分解成两个整式之积)

三求根(根据每一个整式为0,求出两根)

(2)求根公式的理解x=——------

2a

(a)Q不能为0。因为。=0,分母=0。式子无意义

,八-b±yjb~-4ac±yJ-ac

(b)〃=0,x=------------------=---------

2aa

两根互为相反数。

_-b±yjb2—4ac_—b±_—b±b

(c)

2a2a2a

-b+b-b—bb

K=k=0,%=

两根之中至少有一个根为0。

(3)根的判别式△=//_4ac

(a)当△=//-4。，〉0时，方程有两个不相等的实数根。

(b)当△=//-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

(c)当△=//-4ac<0时，方程元实数根。

(d)当△=//-4acN0时，方程有两个实数根。

(e)。、。异号时，方程必有实数根。

(4)方程的特殊解与系数的关系

b

(a)当方程有一个根为。时，c=0,另一根为一一

a

(b)当方程有一个根为1时，a+0+c=0,另一根为上

a

(c)当方程有一个根为—1时，a-b+c=O,另一根为一$

a

(5)根与系数的关系(韦达定理)

”f+bx+c=0的两个根为M和尤，则无和工?满足以下关系:

,bc

+==

XiX2--，X)x2~

根据以上规律还可以得到以下关系:

2

+52c_52ac

XlX2=(沏+%2,-2%%2=(-----)-2x-=

22

a

adaa

b

111=X^+Xi=~a=t>

XiXXiXi-c

2a

h2-2ac

2222

X,X1_X1+X2_

2I———a——_b_2ac

XiX九2-ac

2a

-2

Ixrx，1=V(X1~X2)=Jxi+X2~XIX2

4422、222

Xl+X2=(xi+%2)-2汨X2

3

%]+2--acX,的分析如下：

a

/2hc、b2

••.(/+”+/'+/z%+5+0=0

2

3b2cb2Kbe八

即：X\++

-Xal+-Xa.+a-X2—X2+—a=°

2

3b,22cz.h-ache

X\+T<X1+X2)+=(无+工2)+------X2+~

aaaa

2

3b，2abcJO—acabc

Xi+3——Xi+~r

aaa

3V)-acjy-labc

+

=X1+.....-X2------3—=o

aa

3—ac2abc-l)

X\+~Xl=3

aa

七、不等式(组)的运算

i、不等式的三条性质

(1)若a>/?,贝土加〉6±/〃

(不等式两边同时加减相同的代数式，不等号方向不变)

(2)若a>。,m>0,贝必根〉。机或0>2

mm

(不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变)

_ab

(3)若4>/?,/〃<0,贝胸〃?<加1或一<—

mm

(不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号方向改变)

2、不等式的解法

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1。

注意：移项要变符号，两边同时乘或除以一个负数，不等号要改变。

3、不等式的解集在数轴上表示

(1)“>和<”，用空心圆圈

(2)“2和<”，用实心圆圈

4、求符合不等式解集的特殊解

(1)正整数解

(2)非负数解

(3)与一元二次方程的判别式相结合的求解集。(分△>0,A=0,A<0,A20)

(4)知道特殊解的个数，反过来求不等式中的参数的取值范围。

5、不等式组的四种解集

(1)两个都是大于：大大取较大。

x>a,x>b(a>b)解集为：x>a

(2)两个都是小于：小小取较小。

x<a,x<b(a>b)解集为：x<b

(3)大于小的，小于大的：大小小大中间找。

x>a,x<b(«</>)解集为：a<x<b(a>力之间)

(4)大于大的，小于小的：大大小小没法找。

x>a,x<h(a>b)解集为：无解

6、用图像解不等式

(1)一次函数

分自+人>0和<0两种，即横轴之上与横轴之下两种图象来考虑。

刚好在x轴上，即辰+匕=0。

分三种情况来考虑:

①图象与x轴的交点：kx+b^O

②图象在x轴之上的部分：kx+b>0

③图象在x轴之下的部分：kx+b<Q

(2)一次函数与反比例函数

分kx+b＞七kx+—kx+be.—三种情况考虑

xxx

如图：交点坐标很重要。

每种情况都要分几个区域来考虑。

①直线在曲线之上：一次函数大于反比例函数

②直线在曲线之下：一次函数小于反比例函数

③直线与曲线的交点：一次函数等于于反比例函数

(3)二次函数

2,八

ay4-PX+OO

从开口方向、图象与X轴交点坐标、图象在无轴之上、与在X轴之下几个因素来考虑

7

①图象在x轴上方的部分：ajQ-\-bx-\-oQ

7

②图象在X轴下方的部分：ax-+bx+c<0

③图象与x轴的相交处：a^Q+bx+c=Q

④无交点时，整个图象在上与在下两种。

八、直角三角形边角关系（三角函数）的运算

1、四种三角函数的（直角三角形）定义

（1）正弦：（对边比斜边）sinA=-

c

h

（2）余弦：（邻边比斜边）cosA=—

C

（3）正切：（对边比邻边）tanA=-

h

（4）余切：（邻边比对边）cotA=-

2、四种三角函数的（直角坐标）定义

.y

(1)正弦：sma=—

c

X

(2)余弦:cosa=—

c

y

(3)正切:tana=—

X

X

(4)余切:cota=一

y

注意：（A）当角a是锐角时，四种三角函数都是正数；

（B）当角a是钝角时，P点转到第二象限，x的值为负数,

此时只有正弦为正数，其余的三种三角函数都是负数。

（C）由对称可知：

互补的两角的正弦相等，如：sin60°=sinl20°,sin30°=sinl50°

互补的两角的其他三种三角函数互为相反数，

如：cos120°=-cos60°,tan150°=—tan30°cot135°=—cot45

3、特殊角的三角函数值

X0°30°45°60°90°

sinA0也显1

22

\_

cosA1也在0

222

tanA01忑—

3

cotA—1县0

口诀：正弦，余弦分分母2,分子根号1,2,3；正切余切分母3,分子根号3次方。

4、三角函数的关系

（1）倒数关系：tanAxcotA=l（两切相乘积为1）

（2）平方关系：silVA+cOS-A=1（两弦平方和为1）

、sinA,c（8A

（3）商数关系：-------tanA-------cot/（两弦相除得到切）

cosAsin4

（4）互为余角的三角函数：

siiw=cosR90cos«=sin(90°-a)

tana=cot(90°-a)cota=tan(90°-a)

(5)互为补角的三角函数：

sim=sin(<l-8tf)cosa--cos(l800-a)

tam=-tan(1-84)cota--cot(l80°-a)

5、直角三角形的边角计算

b

(1)计算对边：=cxsinAa-Zzxtan/a=-------

cotA

nh

(2)计算斜边：c=/一c=—

sinAcosA

(3)计算邻边：b=―-—h=acotAh=cxcosA

tanA

(4)规律：不必死记硬背，只记定义变形。先写相关定义，再作乘除变形。

如：sinA=—可以推出：a=cxsinA和c="

csinA

6、三角形中重要的三角函数公式

(1)三角形的面积公式：

q=—xABxACxsinA=—xABxBCxsinB=—xACxBCxsinC

222

三角形的面积=夹角的正弦与这两边乘积的一半。

(2)正弦定理：

~^—=~^—=~^=2R(火为AABC的外接圆的半径)

sinAsinBsinC

三角形中任一边与这边的对角的正弦比值相等。

(3)余弦定理:A

222

a^b'+c~2bccofiA

222

b=a+C-2accosB

222

c^a+b'-2abcofiC

三角形中任一边的平方=另两边的平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍。

(4)规律与用途

A、用两边夹一角计算三角形的面积。

不知道高时，使用这种方法可使计算简便。尤其适用夹角是特殊角时。

在求夹角是60°、30°、120°、150°等三角形的面积时，可以直接使用这种公

式计算，不需要作高来分析。

q=—xaxaxsin60q=—xaxxsin60"q=—xaxZ?xsin150°

020202

=—"sin30°

12G上2

=5x4x-y41,

--ab

4

\[32

7a

B、己知两角及其中一个对边，求另一条对边。

用正弦定理列出比例式计算。知道两角夹一边也可以转化为正弦定理解。

ax

sinasin0

a.八asinB

x=------xsinp=-------

sinesine

当a和尸是特殊角时计算尤为简便。

C、已知两边夹一角计算第三边。

用余弦定理计算。夹角一般要特殊角才好计算。

x=a+b"-2abcosa

x=yja+b'—2abcosa

当a是特殊角时，计算很简便。特别是。=60°和a=120°时可以直接使用

(5)典型例题

①非直角三角形求解

如图：已知NB=60°,ZC=45°,BC=6,求。$M〜wC

方法1:作高

作高AD,设AD=X,

贝ijRtAACD