2023学年人教A版高一年级上册数学讲义第9讲 指数函数及其性质（解析版）

第九讲指数函数及其性质

教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向

1.指数函数的概念数学抽象水平1水平11.理解指数函数的

概念与意义，掌握指【考查内容】指数函

2.指数函数的图像和

逻辑推理水平1水平1数函数的定义域、值数的图像与变换，求

性质

域的求法。定义域、值域，比较

3.指数函数的定义域大小，讨论指数复合

数学运算水平1水平22.能画出具体指数

和值域函数的单调性或求参

函数的图像，能根据

数范围。

指数函数的图像说

明指数函数的性质。【考查题型】选择题、

解答题第一问

4.指数函数图像的交3.掌握指数函数的

直观想象水平1水平2

换性质并会应用，能利【分值情况】5—12

用指数函数的单调分

性比较累的大小。

知识通关

知识点1指数函数的概念

一般地，函数y=tf(a>0,且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是K.

知识点2指数函数的图象及性质

定义域：R

值域：(0,+°°)

过点(0,1),即x=0时，y=l

性质

当x>0时，，y>l；当x>0时，OVyVl；

当x<0时，，0<y<l当x<0时,y>l

在R上是增函数在R上是减函数

题型一指数函数的概念及应用(2)函数>=(-3)、的底数为一3<0,故不是指

数函数；

规律方法判断一个函数是指数函数的方法

(3)函数y=-3'中的指数式3"前的系数不是

(1)定义域必须是实数集R；

1,所以不是指数函数；

(2)自变量是x,x位于指数位置上，且指数位

(4)函数y=(n—3)"的底数满足0<n—3<1,

置上只有尤这一项：

符合指数函数的定义，是指数函数。

(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1；

答案A

【变式训练1】

(1)若函数^=(2。-1厂+。一2为指数函数,

则。的值为()

例1、给出下列函数：

A.0B.-C.1D.2

(l)y=x*；(2)y=(-3)*；(3)y=-3"；2

(4)丁=(“一3尸，其中，指数函数的个数是()(2)已知指数函数/(x)的图像经过点(2,4),

A.1B.2C.3D.4则/(—'+/(—?的值等于

解析：

解析：

(1)函数y=J中的自变量了在底数位置上，

(1)y=(2a—1『+“一2为指数函数，则应满

不在指数位置上，故不是指数函数；

足J2a—IwO,解得a=2

<7—2=0

(2)设/(工)=优，・・・/(%)过点(2,4),

・，.4=a2,又a>0,且。w1,

.二a=2,/.f(x)=2',

・・•/§)+/([)=2；+2T考例2、(1)函数火x)=2a「i-3m>0,且aWl)的图象

恒过的定点是________.

答案(1)D(2)—(2)如图所示，曲线6(2，。3，。4分别是指数

2

x

函数％=优,必=b\y3=c，,”=d的图像,判

题型二指数函数图象的应用

断。力,c,d,l的大小关系是_____

规律方法处理函数图象问题的策略

c2C3

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1),

求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0,

求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、

x

上下平移).0

(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.

(3)若指数函数y=(2a-1y在R上为单调递

(4)指数函数丁=优与丁="的图像的特点：函数，则。的取值范围是()

①若a>b>l,(谁底越大，越偏向坐标轴)(0,1)B.g,+8)C.(1,1)D.(1,+8)

即当x<0时，总有1〉bx〉a*>0；

析：

当％=0时，总有ax—hx—1；

(1)・・1=炉的图象过定点(0,1),

当x〉0时，总有优>

・,•令x+l=0,即X=-1,则“¥>=—1,

0<〃<a<1

故式x)=2"”-3的图象过定点(—1,-1).,,2go

⑴y=2卜=《/、t,故选B.

■(-r,x<o

(2)作直线x=l,观察图像与直线x=l的

交点，根据交点越高，a越大可知，

(2)从曲线的变化趋.势，可以得到函数4x)为减

b<a<\<d<c

函数，从而有0<4</；从曲线位置看，是由函数

(3)•••y=(2。一1户在口上单调递减，

y=ar(0<a<1)的图象向左平移卜个单位长度

0<2a—1<1>解得一<a<l,得到，所以一b>0,即b<0.

2

答案(1)B(2)D

则a的取值范围是己,1)

2题型三指数型函数的定义域、值域问题

答案(1)(-1-1)规律方法指数型函数y=/⑶定义域、值域的求法

(2)h<a<\<d<c

(1)定义域：函数的定义域与y=Ax)的定义

(3)(1,1)域相同.

(2)值域：①换元，f=/(x).

【变式训练2】(1)函数>=2川的图象是()

②求a=/(x)的定义域为xWD

③求/=於)的值域为

(2)函数兀v)=“'f的图象如图所示，其中a,b

为常数，则下列结论正确的是()

例3、求下列函数的定义域、值域。

3,

(1)

A.a>\,b<0B.a>\,Z?>0

A

C.0<a<1,h>0D.0<a<l,b<0(2)y=4'-2+1

解析:

(3)y=V1-3'•.•函数y=3*在R上是增函数，...xWO,

解析：故函数y=FF的定义域为(一8,0］,

(1)函数的定义域为R(对一切XGR,3*H-1)由于x«0,/.0<3'<1,

0<1-3'<1,.\0<71-3'<1

1+3、1+3*

V

故函数y=71-3的值域为［0,1)o

又•••3'>0,1+3、>1,

.\0<—^―

<1,

V

1+3【变式训练3】求下列函数的定义域和值域.

,1<一心

<0,

0<1———<1,

1+3,

二值域为(0,1)

(2)函数的定义域为R,

解析：(1)要使函数式有意义，

,1,3

x2xx2

y=(2)-2+l=(2-1)+则x—4工0,解得xw4

1

.・・函数丁=2工的定义域为{刈％。4},

•/2V>0,

13

.•.2*=：,即x=—1时，y取最小值己,

即函数y=2一的值域为{y|y>0,且ywl}

3

同时y可以取一切大于［的实数，

(2)要使函数式有意义，则―国NO,

3

二值域为［―,+8)解得x=0

4

.•.函数y=(|产的定义域为{XIX=0},

(3)要使函数式有意义，则1—3'20,

即3A<1=3°

即函数y=(|产的值域为39}

<16

(3)由己知，函数的定义域为R。即函数y=(上产2X-3的值域为(0,16]

VX2-2X-3=(X-1)2-4>-4

思维拓展

.".(1/-2-3<(1)-4=16

又山j-3>o,

2

根据y=2,在R上是增函数，得

2L8>2L5>2144,即％>%>%

考向一利用指数函数的性质比较指数式的大小

规律方法(2)由题意有，

(1)归类：根据实际问题常将其分成三类：

一类是负数；一类是大于。小于1的数；

一类是大于1的数，再对三类数比较大小。

(2)若底数相同，则可根据指数函数的性质

得出结果。

(3)若底数不相同，则首先考虑能否化成同

底数，然后根据指数函数的性质得出结果；

不能化成同底数的，要考虑引进第三个数分别

09048

例4、（1）设％=4-,y2=8-,%=，即(|)；>(/〉(；)；>(芋

则（）

【变式训练4】

A.%>%>%B.%>%>%

&2Q3,2

c.%>%>%D.弘>%>%(1)设。=(g)5,A=(M)5,C=(w)5,则

1221111-。，瓦C的大小关系是()

（2）比较q）3,q）3,（,3,（,2这四个数的大小

A.a>c>bB.a>h>c

解析：C.c>a>bD.b>c>a

（1）4°9=21-8,80-48=21-44,（I）-'-5=2”,(2)设函数/(x)定义在实数集上，它的图像

关于直线x=l对称，且当xNl时，/(x)=3v-l,

则有()(2)指数不等式的解法

(1)形如优>〃的不等式，可借助y=优的

单调性求解。如果a的值不确定，需分0<a<l

和a>1两种情况讨论。

(2)形如优>6的不等式，注意将6化为以a

为底的指数幕的形式，再借助>=优的单调性

求解。

解析：(3)形如a*>"的不等式，可借助图像求解，

2

(1)；基函数y=必在(0,+8)上为增函数,

b

，a>c；

?+2v

2例5-1、讨论函数/(%)=(1)-的单调性，并求

又•••y=(g)，为R上的减函数，所以C>〃

其值域。

故a>c>b

解析：

(2)；/(x)的图像关于直线x=l对称,

函数/(x)的定义域为R,

令t=—J+2x,则y=g)‘

:f(x)=3*-1在[l,+oo)上是增函数,

2

•/y=(］),在(—8,+8)上是减函数，

而/=—V+2x在(—8,1］上是增函数，在［1,+00)上

是减函数，

•••/(X)在(一8,1］上是减函数，在［1,+00)上是增函

数。

考向二与指数函数有关的函数的单调性t=—x~+2x——(x-1)"+1<1

(1)复合指数函数单调性的判断

y=1)»­,>y>—,

t=g(x)增增减减

2

所以函数/(x)的值域为

y=f3增减增减

例5-2、(1)设函数/(x)=J2X,X-0贝ij满足

1,x>0

y=f[g(x)]增减减增/(x+l)v/(2幻的x的取值范围是()

A.(-oo,-l］B.(0,+oo)

c.(-1,0)D.(-oo,0)结合图像可知，要使/(x+l)</(2x),则需

x+l<0,

(2)已知函数++若,、x+1>0

\2x<0或《解得尤<0

22x<0

/(«-1)+/(2«)<0,求实数。的取值范围。2x<x+1

解析：

(2)由于均为增函数，二为减函数，

(1)当xWO时，函数/(x)=2-x是减函数，则e

/(x)>/(0)=1。作出/(%)的大致图像如图所示,但一J_为增函数，

e

所以可得/(x)在R上递增。又/(-x)+/(x)

1,1

-—/—2x+eA-e'+丁+2x+cx——y=—Q_3)~H—,

22

=0

.♦.当f=3时，ymin=1；

可得/(x)为奇函数，

当f=l时，y=|

则/(。-1)+/(2。2”0,max

即有/(2/)4一/9-1)=/(1一")，

即有2a2<\-a,

解得一1<aW—

2

答案(1)D(2)[-1,-]

2

【变式训练5-2】

【变式训练5-1】(1)已知函数/(x)=3*—(；)*,则/(x)()

若0WxW2,求函数y=4'”—3-2"+5的最大值

A.是偶函数，且在R上是增函数

和最小值。

B.是奇函数，且在R上是增函数

解析：

C.是偶函数，且在R上是减函数

X-L1

y=42-32+5=万(2，)2一3.2*+5D,是奇函数，且在R上是减函数

2*+1

令2,=f，则1Wf44,(2)若函数/。)二不；一是奇函数，则使

2—。

/(x)>3成立的x的取值范围为()(2)由题意，知/(x)=—/(—x),即

A.(-00,-1)B,(-1,0)C,(0,1)D.(l,+00)2'+12二+1

2x-a~~2-x-a

解析：

所以(1—。)(2'+1)=0,解得。=1,

(1)定义域为R,

2V+1

由〃一幻=《『一3'=—/(幻所以〃幻二不「，

z—1

可知/(x)为奇函数，2*+1

由/(x)=^~^>3,得1<2*<2,

•.♦y=(g),在R上是减函数，

所以0<x<l

答案(1)B(2)C

y=3*在R上是增函数，

函数/(x)=3v-(1)r在R上是增函数

摩A组基础演练

一、选择题

1.函数>=(。2—4“+4)优是指数函数，则。的值是()

A.4B.1或3

C.3D.1

a>0

解析：由题意得<awl得〃=3,故选C.

。2-4。+4=1

答案C

2.下列各函数中，是指数函数的是.（）

A.y=（-3）vB.y=-3"

C.y=3iD.y=（；），

解析：根据指数函数的定义y=a'（a>0且arl）,可知只有D项正确.故选D.

答案D

3.函数y=d」S>i）的图象是（）

解析：当x20时，尸加的图象与指数函数尸/3>1）的图象相同,

当x<0时，>=加与>=。-，的图象相同，由此判断B正确.

答案B

4.若-1</?<0,则函数的图象一定在（）

A.第一、二、三象限

B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、二、四象限

解析：-：a>\,且一1<*0,故其图象如图所示.

答案A

5.下列函数中，指数函数的个数为（）

①y=g尸］;且aWl）;③y=l七

④尸g）"-L

A.0个B.1个C.3个D.4个.

解析：由指数函数的定义可判定，只有②正一确.

答案B

6.函数y=（小一1》在R上是（）

A.增函数B.奇函数

C.偶函数D.减函数

解析：由于0〈小一1<1,所以函数y=（小一1>在R上是减函数,

1）=（5—1尸=夸旦yu）=5-1,

则负一1）刊1），且一一1）片一式1）,

所以函数y=（小一1尸不具有奇偶性.

答案D

二、填空题

7.指数函数_/U）=炉+1的图象恒过定点

解析：由函数y=a'恒过（0,1）点，可得当x+1=0,

即x=-1时，y=l恒成立，

故函数恒过点(一1,1).

答案(一1,1)

8.函数4x)=3后7i的定义域为.

解析：由x—1N0得

所，以函数火x)=3[x—1的定义域为[1,+°°).

答案[1，+°0)

9.函数人的=3厂3(1令・5)的值域为.

解析：因为1aW5,所以一2<%—3W2,

而函数_/(x)=3'是单调递增的，

于是有，>)W32=9,

即值域为(g,9]

答案4,9]

9

2Xx>3

10.给出函一数/(x)=4'一则贝2)=________.

/(x+l),x<3

解析：<2)=火3)=23=8.

答案8

11.图中的曲线Ci，Ci，Ci，C4是指数函数尸〃的图象，而｛坐|，巾，”｝，

则图象Ci，C2,C3,C4对应的函数的底数依次是，，，.

解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低.

则知C.2的底数＜G的底数＜1＜C4的底数＜C3的底数，而常坐＜小＜加，

1

故G，C2,C3,C4对应函数的底数依次是坐,-n小

3

答案坐；.n小

三、解答题

12.已知函数4x)=aLi(xeO)的图象经过点(2,g),其中。＞0且aWl

(1)求a的值；

(2)求函数y=/(x)("x20)的值域.

解析：(1)因为函数图象过点(22)，

2

所以则

(2)由(1)得人外=(2)1。20),

由元20,得x—12—1,

所以所求函数的值域为(0,2].

答案（1）,（2）（0,2]

2

13.已知贝*）=*-2乂3，+4,x€[-l,2].

⑴设—3。xW[—1,2],求f的最大值与最小值；

（2）求式x）的最大值与最小值.

解析：⑴设f=3",VxG[-l,2],函数f=3"在上是增函数,

故有gw/W9,故f的最大值为9,

t的最小值为去

⑵由40=9,一2X3、+4=F—2r+4=Q-l）2+3,

可得此二次函数的对称轴为/=1,且

故当f=l时，函数段）有最小值为3,

当f=9时，函数兀0有最大值为67.

答案（1）9,-（2）67,3

3

B组提升突破

一、选择题

.1.函数了=等（0＜。＜1）的图象的大致形状是（）

H-I

解析：当x>0时，y="(0<a<l),故去掉A、B,

当x<0时，y——cf.,与y=〃(0<a<l,x<0)的图象关于x轴对称，故选D.

答案D

2.当x>0时，函数/x)=(“2—l尸的值,总大于1,则实数a的取值范围是()

A.\<\a\<yf2B.回<1

C.|a|>lD.|«|>^2

解析：依题意得标一1>1,a2>2,

答案D

/।、/一2x

3.函数y=的值域为()

11

A.—,+ooB.—co,—C.(-8,2]D.(0,2]

22

解析：由二次函数的性质可知/-2x=(X-1)2-1£[-1,4-00),

因此y=e(0,2]，

2,

、/-2%

即函数y=的值域为(0,2].

答案D

(3—a)x—3,尤47

4.若函数/(x)=5，中单调递增，则实数0的取值范围匙)

A.B.*3)C.(1,3)D.(2,3)

(3-。)工一3,属，7

解析：・・・函数/(%)=:6r单调递增，

a,x>7

3-a>0

9

：Aa>\解得

4

(3-Q)X7-3Ka

所以实数。的取值范围是；,3].

答案B

5.已知函数/(X)=3*+32T,则()

A.“X)在(0,2)单调递增B./(X)在(0,2)单调递减

C.y=/(x)的图像关于直线x=l对称D.y=/(x)的图像关于y轴对称

9

解析：t=3x>Q,y=t+~,

t

9

根据对勾函数的图像特征，y=r+‘在(0,3)单调递减，在(3,+8)单调递增，

t

r=3,在R上单调递增，

根据复合函数的单调性可得，当fe(0,3),

即xe(—8,l),函数J'(X)=3'+32T单调递减，

当，£(3,+8),即(1,4-00),

函数/(x)=3,+327单调递增，

所以选项A,B错误；

由/(2-x)=32T+32-T)=32-X+由=/(x),

y=/(x)的图像关于直线x=l对称，选项c正确;

由/⑴=6,/(—1)==，y=/(x)的图像不关于y轴对称，选项D,错误.故选C.

答案C

6.已知g(x)为偶函数，〃(x)为奇函数，且满足g(x)-〃(X)=2*.若存在.W-1』］，使得不等式

mg(x)+〃(x)«O有解，则实数加的最大值为()

33

A.-B.--C.1D.-1

55

解析：••・g(x)为偶函数，〃(x)为奇函数，且g(x)-/?(x)=2"」，

g(-X)-力(f)=g(x)+=2f□

0~X-?l

U□两式联立可得g(x)=-；,h(x)==—^.

/、/、2'—2T4'-12

由根-g(x)+〃(x)WO得阳=q=l--—,

'，'，2x+2-x4'+l4'+l

2

\y=\一一--在xe[T5为增函数，

4+1

□|I=|.故选：A.

I4+1Jmax5

答案A

二、填空题

3X

7.函数yu)=#y的值域是.

解析：函数y=/(x)=d，即有3，=芳,

由于3'>0,则一7>0.

解得0<