人教A版必修第二册1013古典概型学案

10.1.3古典概型

新课程标准新学法解读

1.能够把握古典概型的根本特征，

1.结合详细实例，理解古典概型.依据实际问题构建概率模型，解决

2.能计算古典概型中简洁随机大简洁的实际问题.

事的概率.2.会用求古典概型的公式方法求

解概率问题.

课前篇咱主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点古典概型

1.概念

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为

古典概率模型，简称古典概型.

2.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含几个样本点，

大事4包含其中的左个样本点，那么定义大事A的概率

尸但)=«=皿

⑷n双

其中，〃(A)和“(。)分别表示大事A和样本空间。包含的样本点

个数.

［重点理解］

1.随机试验片中的样本点

⑴任何两个样本点都是互斥的；

⑵任何大事(除不行能大事)都可以表示成某些样本点的和.

2.求解古典概型问题的一般思路

(1)明确试验的条件及要观看的结果，用适当的符号(字母、数字、

数组等）表示试验的样本点（借助图表可以关心我们不重不漏地列出

全部样本点）；

（2）依据实际问题情景推断样本点的等可能性；

（3）计算样本点总个数及大事A包含的样本点个数，求出大事A

的概率.

［自我排查］

1.以下试验中，属于古典概型的是（）

A.种下一粒种子，观看它是否发芽

B.从规格直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一

根，测量其直径d

C.抛掷一枚硬币，观看其消失正面或反面

D.某人射击中靶或不中靶

答案：C

解析：依据古典概型的特点推断，只有C项满意：①样本空间

的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等.

2.（多项选择）以下关于古典概型的说法中正确的选项是（）

A.样本空间的样本点只有有限个

B.每个大事消失的可能性相等

C.每个样本点发生的可能性相等

D.样本点的总数为小随机大事A假设包含上个样本点，那么

k

尸⑷F

答案：ACD

解析：依据古典概型的特征与公式进行推断.A、C、D正确，B

不正确，应选A、C、D.

3.从甲、乙、丙三人中任选两人担当课代表，甲被选中的概率

为（）

C.1D.1

答案：C

解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，

丙），共3种状况，其中，甲被选中的状况有2种，故甲被选中的概

率为P=1.

4.有5支彩笔（除颜色外无差异），颜色分别为红、黄、蓝、绿、

紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，那么取出的2支彩笔

中含有红颜色笔的概率为（）

4321

A.gB.gC.gD.g

答案：C

解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有以下10种状

况：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），

（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）.其中含有红颜色笔的有4

种状况：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），所以所求大事的

42

概率尸=正=亍应选C.

5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，那么其中一个数

是另一个数的两倍的概率为.

答案：；

解析：从1,2,3,4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间共

有以下6种取法：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）.其中一个

数是另一个数的两倍的共有（1,2）,（2,4）两种.

21

.,.所求概率为Z=可.

oJ

课堂篇•重点难点研习突破

研习1古典概型的推断

［典例1］推断以下概率模型中哪些是古典概型，为什么？

①从区间［1,10］内任意取出一个数，求取到1的概率；

②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；

③向一个正方形ABCD内投掷一点P,求产恰好与A点重合的

概率；

④向上抛掷一枚不匀称的旧硬币，求正面朝上的概率.

［解］依据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多

个，因此不属于古典概型.④中硬币不匀称，那么“正面朝上〃“反

面朝上〃消失的可能性不相等，不是古典概型.②从含有1的10个

整数中任取1个整数，其样本点总数为10,是有限的，且每个数取

到的可能性相等，故②为古典概型概率问题.

［巧归纳］推断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限

性；二是等可能性.

［练习1］某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只

有有限个：命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环.你认

为这是古典概型吗？为什么？

解：不是古典概型，由于试验的全部可能结果只有7个，而命中

10环、命中9环、……、命中5环和不中环的消失不是等可能的，

即不满意古典概型的其次个特征.

研习2样本点的计数问题

［典例2］(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中

随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之和为奇数的全部样本

点个数为()

A.2B.3

C.4D.6

(2)连续掷3枚质地匀称的硬币，观看这3枚硬币落在地面上时

是正面朝上还是反面朝上.

①写出这个试验的全部样本点；

②求这个试验的样本点的总数；

③“恰有两枚硬币正面朝上〃这一大事包含哪些样本点？

（1）［答案］C

［解析］用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：

（1,2）,（1,4）,（2,3）,（3,4）,共4种可能.

（2）［解］①这个试验包含的样本点有：（正，正，正），（正，正，

反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反,

反，正），（反，反，反）.

②这个试验包含的样本点的总数是8.

③“恰有两枚硬币正面朝上〃这一大事包含以下3个样本点：

（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.

［巧归纳］随机试验中样本点的探求方法

（1）列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较

为简洁的试验问题.

（2）树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的

一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较简单的问题，

可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较简单的试验的

题目.

［练习2］将一枚质地匀称的骰子先后抛掷两次，那么：

（1）一共有几个样本点？

（2）“消失的点数之和大于8〃包含几个样本点？

解：（树状图法）一枚骰子先后抛掷两次的全部可能结果用树状图

表示.如下图：

V

V

VV

VV

VV

（1）由图知，共36个样本点.

（2）“点数之和大于8〃包含10个样本点（已用"J〃标出）.

研习3简洁的古典概型的概率计算

［典例3］袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2

个红球，从袋中任意取出两球，求以下大事的概率：

(1)A：取出的两球都是白球；

(2)5：取出的两球一个是白球，另一个是红球.

［解］。={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.

(1)由于由={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},所以〃(A)

=6,从而尸(A)="(0=记=于

(2)由于5={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},

所以〃⑻=8,从而尸(5)=嘿=白

［巧归纳］求解古典概型的概率“四步〃法

［练习3］(2019•全国卷II)生物试验室有5只兔子，其中只有3

只测量过某项指标.假设从这5只兔子中随机取出3只，那么恰有2

只测量过该指标的概率为()

2321

A.gB.gC.gD.j

答案：B

解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只为m,a2,俏，未测

量过这项指标的2只为历，b2,那么从5只兔子中随机取出3只的全

部可能状况为(。1,Q2,43),(。1,。2,bl),(。1,Q2,岳),(。1,。3,bl),

(。1,<23,bi),(ai,bi,bi),(。2,<73,bi),(<22,的，bi),(痣，bi,bi),

(。3,bl,岳)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的状况为31,

。2,bi),(ai,。2,02),(tzi,用，bi),(ai,俏，bi),(z,as,bi),(。2,

03,历)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为*=1.应选

B.

研习4含“有放回〃抽取的古典概型问题

［典例4］小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题

型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道.

(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的

题不是同一种题型的概率；

(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的

题不是同一种题型的概率.

［解］将3道选择题依次编号为1,2,3,2道填空题依次编号为4,5.

(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，那么样

本空间01={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),

(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的.

设大事A="所选的题不是同一种题型〃，那么大事人={(1,4),

(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},

19

共12个样本点，所以P(A)=on=0.6.

(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，那么样

本空间02={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点,而且这些样本点

发生的可能性是相等的.

设大事5="所选的题不是同一种题型〃，

由(1)知所选的题不是同一种题型的样本点共12个，

12

所以尸(5)=芯=0.48.

［巧归纳］解决有序和无序问题应留意两点

(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有挨次

的，也可以看做是无挨次的，其最终结果是全都的.但不管选择哪一

种方式，观看的角度必需全都，否那么会产生错误.

(2)关于有放回抽样，应留意在连续取出两次的过程中，由于先

后挨次不同，所以3,b),s，。)不是同一个样本点.解题的关键是

要清晰无论是“不放回抽取〃还是“有放回抽取〃，每一件产品被取

出的时机都是均等的.

［练习4］从含有两件正品Q1，。2和一件次品。的三件产品中，

每次任取一件.

(1)假设每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中

恰有一件次品的概率；

(2)假设每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰

有一件次品的概率.

解：(1)每次取出一个，取出后不放回地连续取两次，其一切可

能的结果组成的样本点有6个，即(ai,“2),(ai,8),(。2,ai),(“2,

b),(b,ax),(b,02).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产

品，右边的字母表示第2次取出的产品.总的大事个数为6,而且可

以认为这些样本点是等可能的.

设大事A=”取出的两件中恰有一件次品〃，

所以A={(ai,b),(。2,b),(b,ai),(b,ai)},

所以"(4)=4,

I1H~、丁(A)42

从而P(A)=”(0=f

(2)有放回地连续取出两件，其全部可能的结果为31,。1),31,

。2),(。1,b),(。2,Qi),(。2,。2),(。2,b),(/7,a\),(b,ai),(b,b),

共9个样本点组成.由于每一件产品被取到的时机均等，因此可以认

为这些样本点的消失是等可能的.设大事5="恰有一件次品〃，那

么5={(0,b),(。2,b),(b,ai),(b,ai)},所以"(5)=4,从而尸(5)

n(B)4

一“(0

课后篇•根底达标延长阅读

1.以下关于古典概型的说法中正确的选项是（）

①样本空间的样本点只有有限个；②每个大事消失的可能性相

等；③每个样本点发生的可能性相等；④样本点的总数为%随机大

事4假设包含上个样本点，那么P（A）=*

A.②④B.①③④

C.①④D.③④

答案：B

解析：依据古典概型的特征与公式进行推断，①③④正确，②不

正确，应选B.

2.某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，

现从中任意取出1个，那么取出的球恰好是白球的概率为（）

A—n—04pj

答案：c

解析：袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种

取法.取出的球恰好是白球，共有4种取法.故取出的球恰好是白球

4

的概率为应选C.

3.某地区有学校21所，中学14所，高校7所，现实行分层抽

样的方法从这些学校中抽取6所学校对同学进行视力调查.

（1）求应从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目；

（2）假设从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分

析