人教A版普通高中数学一轮复习第四章第四节三角函数的图象与性质学案

第四节三角函数的图象与性质考试要求：1.能画出三角函数的图象．2．了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值．3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在-π自查自测知识点一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)y＝sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称．(√)(2)y＝cosx，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π2成轴对称．(×(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．(×)(4)函数y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同．(√)2．函数y＝cosx＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为π2，4，3π2，4解析：由y=cosx+4，y=4所以交点的坐标为π2，4核心回扣1．在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)2．在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)注意点：“五点法”作图时要注意五点的选取，一般令ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2自查自测知识点二正弦、余弦函数的图象与性质1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)已知y＝cosx在第一、二象限内单调递减．(×)(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(√)(3)函数y＝sinx的图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．(×(4)若y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.(×)2．(教材改编题)函数f(x)＝12sin2x-π3(x∈R5π12+kπ，11π12+kπ(k∈Z)解析：由π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得5π12＋kπ≤x≤11π核心回扣正弦、余弦函数的图象与性质正弦函数余弦函数图象定义域R值域[－1，1]周期2π奇偶性奇函数偶函数单调递增区间2k(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)单调递减区间2k(k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)对称轴x＝kπ＋π2(k∈Zx＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)(k∈Z)kπ+π2，知识点三正切函数的图象与性质1．(多选题)已知函数f(x)＝tan2x+πA．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的图象关于点π12C．函数f(x)在定义域上单调递增D．若－π24≤x≤π12，则f(x)BD解析：f(x)的最小正周期为T＝π2，A选项错误；令2x＋π3＝kπ2，k∈Z，解得x＝－π6＋kπ4，k∈Z，当k＝1时，x＝π12，所以π12，0是函数f(x)的对称中心，B选项正确；因为0＜π，f(0)＝f(π)，所以函数f(x)在定义域上不是单调递增的，C选项错误；若－π24≤x≤2．(教材改编题)函数y＝tan2x-3π4π8+kπ2，5π8+kπ2(k∈Z)解析：由－π2＋kπ＜2x－3π4＜π2＋k正切函数的图象与性质图象定义域xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈值域R周期π奇偶性奇函数单调递增区间-π2+kπ，对称中心kπ2，0(【常用结论】1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是122．奇偶性(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)若f(x)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)；若f(x)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z(2)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)若f(x)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若f(x)为奇函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z(3)若f(x)＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．应用1若函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为π4，则fπ12的值是3解析：由题意可得f(x)的周期为π4，则πω＝π4，所以ω＝4，则fπ12＝tan4×π应用2若函数f(x)＝3sin2x-π3+φ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ5π6解析：若函数f(x)＝3sin2x-π3+φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，则φ＝5π6＋kπ，k∈三角函数的定义域1．函数f(x)＝－2tan2x+πA．{x|xB．{x|xC．{x|xD．{x|xD解析：由2x＋π6≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ2＋π62．函数y＝cosx-A．-B．kπ-π6，C．2kπ-π6，D．RC解析：由cosx－32≥0，得cosx≥3所以2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈3．函数y＝sinx-cosxx2k解析：(方法一)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0，2π]内，当sinx＝cosx时，x＝π4或5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(方法二)sinx－cosx＝2sinx-π4将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k所以原函数的定义域为x2kπ三角函数的定义域的求法根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数的图象及性质求解．提醒：涉及与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域．三角函数的值域或最值【例1】(1)(2024·武汉模拟)已知函数f(x)＝2sinxcosx+π3＋32，x∈0，πA．-32C．-1，1B解析：f(x)＝2sinxcosx+π3＋32＝sinxcosx－3sin2x＋32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x+π3．当x∈0，π2(2)函数f(x)＝sin2x+3π2－3cosx－4解析：因为f(x)＝sin2x+3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2cosx+342＋178，－1≤cosx(3)函数f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的值域为．34，3+2解析：设sinx＋cosx＝2sinx+π4＝t则2sinxcosx＝t2－1.由函数f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2可知，y＝f(x)＝t2＋t＋1＝t+122＋34，t∈当t＝－12时，ymin＝34；当t＝2时，ymax＝3＋因此函数f(x)的值域为34三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)化为形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)的三角函数，可设sinx＝t(或设cosx＝t)转化为关于t的二次函数求值域(或最值)．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．1．函数y＝tanπ2A．[－1，1]B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)B解析：因为－π4≤x≤π4且x所以π4≤π2－x≤3π4且π2所以函数y＝tanπ2-x的值域为(－∞，－1]∪[1，＋2．(2024·青岛质检)已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋sinx的值域为()A．0，9C．(0，1) D．0D解析：由f(x)＝cos2x＋sinx＝1－2sin2x＋sinx，设sinx＝t，因为x∈(0，π)，所以t∈(0，1].令g(t)＝f(x)＝－2t-142＋98，所以g(t)∈0，98，即f(x)＝cos2三角函数的单调性考向1求三角函数的单调区间【例2】(1)函数f(x)＝tanx2A．2kπ-2πB．2kπ-2πC．4kπ-2πD．4kπ-2πB解析：(1)由kπ－π2＜x2－π6＜kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－2π3＜x＜2kπ＋4π3，k∈Z，所以函数f((2)函数f(x)＝sinπ3-2x的单调递减区间为kπ-π12，kπ+5π12，k∈Z解析：函数f由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k故函数f(x)的单调递减区间为kπ-π12，[变式]本例(2)中函数不变，求f(x)在[0，π]上的单调递减区间．解：令A＝kπ-π12，kπ所以A∩B＝0，5π所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，5π已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．考向2已知三角函数的单调性求参数【例3】(1)(2024·淄博模拟)若函数f(x)＝cosx-π3在区间[－a，a]上单调递增，则实数A．π3 C．2π3A解析：函数f(x)＝cosx-π3的单调递增区间为-2π3+2kπ，π3+2kπ(k∈Z)，又函数f(x)在[－a，a]上单调递增，所以-a≥-(2)已知函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω＞0)，且在π3，π2上单调递增，则满足条件的133解析：f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sinωx+π3(由2kπ－π2≤ωx＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得2kπω－5π6ω≤x≤2k所以f(x)的单调递增区间为2kπω-5π由题知，π3，π即2kπω-5所以6k－52≤ω≤4k＋13，k∈因为ω＞0，所以当k＝0时，－52≤ω≤13，即0＜ω≤13；当k＝1时，72≤ω≤133；当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，所以已知单调区间求参数范围的两种方法(1)求出原函数相应的单调区间，由已知区间是该单调区间的子集，列不等式(组)求解．(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．考向3利用三角函数的图象确定其单调区间【例4】求函数y＝－sinx+解：设x＋π4＝u，则y＝－|sinu函数的周期为π.当u∈-π2+kπ，kπ(k当u∈kπ，π2+kπ(k∈所以函数y＝－sinx+π4的单调递增区间为-3π4+kπ，-π一般含绝对值的函数式可以先画出函数图象，再结合图象确定单调区间，一般地，函数y＝|sin(ωx＋φ)|(或y＝|cos(ωx＋φ)|)的最小正周期是y＝sin(ωx＋φ)(或y＝cos(ωx＋φ))最小正周期的一半．1．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()A．f(x)在-πB．f(x)在-πC．f(x)在0，D．f(x)在π4C解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，周期T＝π，所以f(x)的单调递减区间为kπ，π2+kπ(k∈Z)，单调递增区间为对于A，f(x)在-π对于B，f(x)在-π4，对于C，f(x)在0，对于D，f(x)在π4，π2．(2024·石家庄模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx+π4在π2，π上单调递减，则12，54解析：由π2＜x＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜因为y＝sinx的单调递减区间为2kπ+π2，所以ωπ2+π解得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈又由4k＋12－2k+54≤0，k∈Z，且4k＋12＞0，k∈Z，解得k＝0，所以三角函数的周期性、奇偶性、对称性的应用考向1三角函数的周期性和奇偶性【例5】(1)函数f(x)＝2cos2x-πA．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2D．最小正周期为π2A解析：因为f(x)＝2cos2x-π4－1＝cos2x-π4＝cos所以T＝2π2＝π，f(x)＝sin2故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．(2)设函数f(x)＝cosωx+π6在[－π，π]的图象大致如图，则f(A．10π9C．4π3C解析：(方法一)由题图知，函数f(x)的最小正周期T满足0－(－π)＜T＜π－-4π9，即π＜T＜13π9，即π＜2πω＜13π9，即1813＜|ω|＜2.因为函数f(x)的图象过点-4π9，0，所以cos-4π9ω+π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝－9(方法二)由题图知，函数f(x)的最小正周期T满足0－(－π)＜T＜π－-4π9，即π＜T＜13π9，即π＜2πω＜13π9，即1813＜|ω|＜2.因为x＝－4π9是函数f(x)的一个上升零点，故－4π9ω＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝32－1．奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．2．周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为考向2三角函数的对称性【例6】(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，φ＜π2的图象关于直线xA．π3，C．5π12B解析：(1)由题意可得2πω＝π，所以可得f(x)＝Asin(2x＋φ)．再由函数图象关于直线x＝π3故2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，得φ＝kπ－π6，k∈Z，又|φ|＜π2所以函数f(x)＝Asin2x-π令2x－π6＝kπ，k∈Z可得x＝kπ2＋π12，k∈Z，故函数f(x)图象的对称中心为kπ2所以函数f(x)图象的一个对称中心是π12(2)(2022·新高考全国Ⅰ卷)记函数f(x)＝sinωx+π4＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若2π3＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点3A．1 B．32C．52 A解析：函数f(x)＝sinωx+π4＋b(ω＞0)的最小正周期为T，则T＝由2π3＜T＜π，得2π3＜2因为y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，所以则3π2ω＋π4＝kπ，k所以ω＝23k-14，因为2＜ω＜3，所以取k＝4，可得ω＝52所以f(x)＝sin52则fπ2＝sin5[变式]将本例(2)中的函数变为g(x)＝cosωx+π4＋b(ω＞0)，4π5＜解：由函数的最小正周期T满足4π5＜T＜π，得4π5＜2π又因为函数g(x)的图象关于点3π所以3π2ω＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，且b＝2，所以ω＝2k3＋1由2＜ω＜52，得k＝3，所以ω＝13所以g(x)＝cos136x+π4＋2，则求三角函数对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)整理，求对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，求对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)图象的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求考向3与不等式的综合运用【例7】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋π)＝2f(x)，当x∈[0，π)时，f(x)＝sinx．若存在x0∈(－∞，m]使f(x0)≥43，则m的取值范围为．10π3，+∞解析：因为f(x＋π)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－π)．因为当x∈[0，π)时，f(x)＝sinx，所以当x∈[π，2π)时，f(x)＝2sin(x－π)时，当x∈[2π，3π)时f(x)＝4sin(x－2π)，当x∈[3π，4π)时，f(x)＝8sin(x－3π)．作出函数y＝令8sin(x－3π)＝43，解得x＝10π3或x＝11π3．若存在x0∈(－∞，m]，使得f(x0)≥43，则(1)不等式f(x)＜k在x∈I时恒成立⇔f(x)max＜k，x∈I或f(x)的上界小于k.(2)不等式f(x)＜k在x∈I时有解⇔f(x)min＜k，x∈I或f(x)的下界小于k.(3)不等式f(x)＞k在x∈I时恒成立⇔f(x)min＞k，x∈I或f(x)的下界大于k.(4)不等式f(x)＞k在x∈I时有解⇔f(x)min＞k，x∈I或f(x)的上界大于k.解决恒成立和有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性，最值(或上、下界)，图象求解，基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等．1．(多选题)(2024·1月九省适应性测试)已知函数f(x)＝sin2x+3π4A．函数fx-πB．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈ZC．f(x)在区间π3D．f(x)的最小值为－2AC解析：f(x)＝sin2x+3π＝sin2xcos3π4＋sin3π4cos2x＋cos2xcos3＝－22sin2x＋22cos2x－22cos2x－22sin2x＝－即f(x)＝－2sin2x.对于A，fx-π4＝－2sin2x-π2＝对于B，曲线f(x)＝－2sin2x的对称轴为2x＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π4＋kπ2，对于C，x∈π3，π2，则2x∈2π3，π，此时y＝sin2x单调递减，则对于D，因为f(x)＝－2sin2x，又sin2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－2，故选AC.2．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间π6，2π3上单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数yA．－32 B．－1C．1D解析：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间π6，2π3上单调递增，且直线x＝π6和x＝2π3为函数f(x)的图象的两条对称轴，设函数f(x)的最小正周期为T，所以T2＝2π3－π6当x＝π6时，f(x)取得最小值，则2×π6＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，则φ＝2kπ－5π6不妨取k＝0，则f(x)＝sin2x-5则f-5π12＝sin-课时质量评价(二十四)1．(2024·广州模拟)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，A．π6 B．C．π3A解析：由题意得3cos2×4π3+φ＝3cos所以2π3＋φ＝kπ＋π2(k所以φ＝kπ－π6(k∈Z取k＝0，得|φ|的最小值为π62．已知函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝sinπ2x B．f(x)＝cosπC．f(x)＝sinπ4x D．f(x)＝cosπB解析：对于A，f(x)＝sinπ2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f(2)＝sinπ＝0，所以函数f(x)＝sinπ2x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f(x)＝cosπ2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f(2)＝cosπ＝－1，所以函数f(x)＝cosπ2x的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数f(x)＝sinπ43．(多选题)已知函数f(x)＝3sin2x-πA．f(x)的最大值为3B．f(x)的最小正周期为πC．fx-πD．f(x)的图象关于直线x＝11πABD解析：因为函数f(x)＝3sin2x-π所以f(x)的最大值为3，故A正确；最小正周期为2πfx-π12＝3sin2x-π12-π3＝f(x)的图象的对称轴满足2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝4．函数y＝sin2x＋22cosx的定义域为-3π4，αA．0，3C．-π4A解析：由y＝sin2x＋22cosx＝1－cos2x＋22cosx＝－(cosx－2)2＋3，令t＝cosx，得y＝－(t－2)2＋3，显然当t＝cos-3π4＝－22时，令－(t－2)2＋3＝22，得t＝1.可知cosx∈-2又x∈-3π4所以有0≤α≤3π所以α的取值范围是0，5．(2024·泸州诊断)写出一个具有下列性质①②③的函数f(x)＝．①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；③f(x＋π)＝f(x)．解析：由③f(x＋π)＝f(x)知所求函数的周期为π，再结合性质①②，故所求的函数可以是f(x)＝sin2x，答案不唯一．6．设函数f(x)＝cosωx-π6(ω＞0)，若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω23解析：因为f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，所以fπ4为f所以π4ω－π6＝2kπ(k∈所以ω＝8k＋23(k∈Z因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值为237．已知函数f(x)＝sin12x+φ(0≤φ≤π)在π2，ππ4≤φ≤π解析：当x∈π2，π时，∈φ+π又因为函数f(x)＝sin12x+φ(0≤φ≤π)在所以φ+π4，所以φ+π4≥π2，8．(2024·海淀模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，φ条件①：f(x)的图象关于点π3条件②：f(x)的图象关于直线x＝π12(1)请写出你选择的条件，并求f(x)的解析式；(2)当x∈-π4，m时，若(1)中所求函数f(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)因为f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞所以T＝2πω＝π，得ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋若选条件①，因为f(x)的图象关于点π3，0对称，则即fπ3＝2sin2π3+φ＝0，所以2π3＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－因为|φ|＜π2，所以φ＝π所以f(x)＝2sin2x+π若选条件②，因为f(x)的图象关于直线x＝π12所以fπ12＝±2，即fπ12＝2sinπ6所以π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得φ＝π3＋kπ，k因为|φ|＜π2，所以φ＝π所以f(x)＝2sin2x+π(2)因为x∈-π4，m，所以－π6≤2x＋π3因为当x∈-π4，m时，函数所以π2≤2m＋π3≤7π6，得π12所以m的一个值可以为π39．(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝sinωx-π4(ω＞0)，x∈0，π2A．0，3C．3，7B解析：因为ω＞0，所以当x∈0，π2时，ωx－π因为函数f(x)＝sinωx-π4(ω＞0)，x∈0，π2的值域是-22，1，所以π2≤ω10．(多选题)(2024·青岛模拟)设函数f(x)＝sinωx＋3cosωx，x∈R，其中ω＞0，在曲线y＝f(x)与直线y＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则A．f(x)的最大值为1B．ω＝2C．f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ2＋π12，D．f(x)的一个单调递增区间为-BCD解析：由题意可得f(x)＝sinωx＋3cosωx＝212sinωx+32cosωx＝2sinωx+π3，易知f(x)的最大值为2，A错误；由2sinωx+π3＝3，可得sinωx+π3＝32，得到ωx＋π3＝2kπ＋π3或ωx＋π3＝2kπ＋2π3(k∈Z)，令k＝0，可得x1＝0，x2＝π3ω，由|x1－x2|＝π6，可得π3ω＝π6，解得ω＝2，B正确；易得f(x)＝2sin2x+π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，C正确；令2kπ－π2≤211．已知函数f(x)＝1x-1＋3sinπx，则函数f(xA．2 B．4C．2π D．4πB解析：令f(x)＝1x-1＋3sinπx则1x-1＝－3sinπx所以函数f(x)的零点就是函数y＝1x-1与函数y＝－3sinπx因为y＝1x-1的图象关于点(1，0)对称，函数y＝－3sinπx由图象可知，两函数图象在[－1，3]上共有4个交点，且这4个点关于点(1，0)对称，所以其横坐标的和为4，所以函数f(x)在[－1，3]上的所有零点的和为4.12．(多选题)(数学与生活)声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是y＝Asinωt，其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大，音调与频率有关，频率低的声