第1课时　正方形的性质课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质

正方形的定义1.如图，直线

l

过正方形

ABCD

的顶点

B

，点

A

，

C

到直线

l

的距离分别

是3和4，则正方形的边长是(

A

)A.5B.3C.

D.

A12345678910

12345678910

正方形的性质2.【教材第21页随堂练习第2题改编】如图，在正方形

ABCD

中，

∠

DAF

＝20°，

AF

交对角线

BD

于点

E

，交

CD

于点

F

，则∠

BEC

的度数为(

C

)A.80°B.70°C.65°D.60°第2题图C12345678910【解析】∵四边形

ABCD

是正方形，∴

AD

＝

CD

，∠

ADE

＝∠

CDE

＝45°.又∵

DE

＝

DE

，∴

AD

＝

CD

，∠

ADE

＝∠

CDE

，

DE

＝

DE

，∴△

AED

≌△

CED

(SAS).∴∠

ECD

＝∠

DAF

＝20°.又∵∠

CDE

＝45°，∴∠

BEC

＝∠

ECD

＋∠

CDE

＝20°＋45°＝65°.第2题图12345678910

A.(－2，0)B.(2，0)C.(0，

)D.(0，2)第3题图D12345678910【解析】如图，连接

OB

.

∵将正方形

OABC

绕原点

O

顺时针旋转45°，∴点

B

的对应点

B1在

y

轴的正半轴上，且

OB1＝

OB

＝2.∴点

B1的坐标为(0，2).12345678910

以上结论正确的为(

C

)A.①B.①②C.①②③D.②③C12345678910【解析】∵四边形

ABCD

、四边形

OGMN

均是正方形，∴

OA

＝

OB

，∠

AOB

＝∠

GON

＝90°，∠

BAO

＝∠

CBO

＝45°.∴∠

AOE

＋∠

BOE

＝∠

BOF

＋∠

BOE

.

∴∠

AOE

＝∠

BOF

.

∴△

AOE

≌△

BOF

(ASA).∴

OE

＝

OF

，

AE

＝

BF

，故①正确；∴

S△

AOE

＝

S△

BOF

.

12345678910

123456789105.(2023·承德平泉市期末)如图，正方形

ABCD

的边长为4，

G

为

AB

的中

点，过顶点

A

作直线

AH

与

CD

边交于点

H

(点

H

不与点

C

，

D

重合)，分

别过点

B

，

D

作直线

AH

的垂线

BE

，

DF

，垂足分别为

E

，

F

.

(1)

DG

＝

⁠；

12345678910(2)求证：△

ABE

≌△

DAF

；证明：∵四边形

ABCD

为正方形，∴∠

BAD

＝90°，

AB

＝

DA

.

∵

BE

⊥

AH

，

DF

⊥

AH

，∴∠

AEB

＝∠

DFA

＝90°.∴∠

BAE

＋∠

DAF

＝∠

BAE

＋∠

ABE

＝90°.∴∠

DAF

＝∠

ABE

.

∴△

ABE

≌△

DAF

(AAS).12345678910(3)计算：

BE2＋

DF2＝

⁠.【解析】∵△

ABE

≌△

DAF

，∴

DF

＝

AE

.

在Rt△

ABE

中，由勾股定理，得

AE2＋

BE2＝

AB2＝42＝16，∴

BE2＋

DF2＝16.16

12345678910

A.1B.2

－2C.

－1D.

第6题图C12345678910

第6题图12345678910

第6题图12345678910

A.48B.54C.81－18

D.108－36

第7题图D12345678910【解析】如图，设

CD

与

PQ

交于点

G

，连接

AG

.

∵四边形

ABCD

和四边形

APQR

均是正方形，∴

AB

＝

AP

＝

AD

，∠

BAD

＝∠

P

＝∠

D

＝90°.∵

BAP

＝30°，∴∠

PAD

＝60°.又∵

AG

＝

AG

，∴Rt△

APG

≌Rt△

ADG

(HL).∴∠

PAG

＝∠

DAG

＝30°.12345678910∴

AG

＝2

PG

.

∴

DG

＝6.

123456789108.如图，在平面直角坐标系中，直线

l

：

y

＝

x

－1与

x

轴交于点

A1，

如图所示，依次作正方形

A1

B1

C1

O

，正方形

A2

B2

C2

C1，…，正方形

AnBnCnCn－1，使得点

A1，

A2，

A3，…在直线

l

上，点

C1，

C2，

C3，…

在

y

轴的正半轴上，则点

B2024的坐标为(

C

)A.(22023，22024＋1)B.(22024，22024－1)C.(22023，22024－1)D.(22023，22023＋1)C12345678910【解析】当

y

＝0时，

x

－1＝0，解得

x

＝1，∴点

A1的坐标为(1，0).∵四边形

A1

B1

C1

O

为正方形，∴点

B1的坐标为(1，1).同理可得

A2(2，1)，

A3(4，3)，

A4(8，7)，

A5(16，15)，…，∴

B2(2，3)，

B3(4，7)，

B4(8，15)，

B5(16，31)，….∴

Bn

(2

n－1，2

n

－1)(

n

为正整数).∴点

B2024的坐标为(22023，22024－1).第8题图123456789109.(2023·保定涿州市校考期中)如图，

E

是正方形

ABCD

内的一点，连

接

AE

，

BE

，

CE

，将△

ABE

绕点

B

顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若

AE

＝1，

BE

＝2，

CE

＝3，则∠BE'C的度数为

⁠°.第9题图135

12345678910【解析】如图，连接EE'.∵将△

ABE

绕点

B

顺时针旋转90°到△CBE'的位置，

AE

＝1，

BE

＝2，

CE

＝3，∴∠EBE'＝90°，

BE

＝E'B＝2，

AE

＝E'C＝1.

∴E'E2＋E'C2＝8＋1＝9，

EC2＝9.∴E'E2＋E'C2＝

EC2.∴△EE'C是直角三角形，且∠EE'C＝90°.∴∠BE'C＝∠BE'E＋∠EE'C＝135°.12345678910

10.

定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相

等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”.(1)下列一定是“郡外四边形”的是

(填序号)；①平行四边形；

②矩形；

③菱形；

④正方形.④

12345678910(2)如图，

P

是正方形

ABCD

对角线

AC

上一点，

O

是线段

AC

的中点，

E

是射线

BC

上一点，且

PE

＝

PB

，连接

PD

.

12345678910①如图1，当点

P

在线段

AO

上时，求证：四边形

PECD

为“郡外四边形”；证明：∵四边形

ABCD

是正方形，

AC

是对角线，∴

BC

＝

DC

，∠

BCP

＝∠

DCP

＝45°.又∵

PC

＝

PC

，∴△

BCP

≌△

DCP

(SAS).∴

PB

＝

PD

，∠

PBC

＝∠

PDC

.

∵

PE

＝

PB

，∴

PD

＝

PE

，∠

PBC

＝∠

PEB

.

∴∠

PEB

＝∠

PDC

.

∴∠

PEC

＋∠

PDC

＝180°.∵四边形

PECD

的内角和为360°，∴∠

DPE

＋∠

DCE

＝180°.∵∠

DCE

＝90°，∴∠

DPE

＝90°.又∵

PE

＝

PD

，∴四边形

PECD

为“郡外四边形”.12345678910②如图2，当点

P

在线段

CO

上时，试用等式来表示

PB

，

BC

，

CE

之间

的数量关系，并证明.②解：

BC2＋

CE2＝2

PB2.证明：∵四边形

ABCD

是正方形，

AC

是对角线，∴

BA

＝

DA

，∠

BAP

＝∠

DAP

＝45°.∵

PA

＝

PA

，∴△

BAP

≌△

DAP

(SAS).∴

PB

＝

PD

.

∵

PE

＝

PB

，∴

PD

＝

PE

.

(ⅰ)当点

E

与点

C

重合时，点

P

恰好在

AC

中点处，此时，

PD

⊥

PE

，

CE

＝0，易得2

PB2＝

BC2；123456789