高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第3课时导数与函数的极值、最大(小)值学案

第3课时导数与函数的极值、最大(小)值[考试要求]1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会求闭区间上函数的最大值、最小值．考点一利用导数求函数的极值及极值点1．函数的极值(1)函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．对极值的诠释(1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小；(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3．求函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x);(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左、右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．[典例1](1)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．①当x＝32②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．(2)(2023·四川成都统考二模)函数f(x)＝13x3－x2(3)(2023·吉林延边统考二模)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝3处有极小值，则c的值为________．(1)①(2)1(3)3[(1)由图象可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．故答案为：①．(2)因为f(x)＝13x3－x2＋1，所以x∈R所以f′(x)＝x2－2x＝x(x－2)，所以在(－∞，0)，(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在(0，2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)在x＝0处取得极大值：f(0)＝13×03－02故答案为：1．(3)因为f(x)＝x(x－c)2，所以f′(x)＝(x－c)(3x－c)，又因为函数f(x)＝x(x－c)2在x＝3处有极小值，所以f′(3)＝(3－c)(9－c)＝0，解得c＝3或c＝9，当c＝3时，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，所以x>3时，f′(x)>0，1<x<3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝3处取得极小值；当c＝9时，f′(x)＝(x－9)(3x－9)，所以3<x<9时，f′(x)<0，x<3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝3处取得极大值，不合题意，舍去，故答案为：3．]本例(1)判别f(x0)是极大、极小值的方法：若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．本例(3)要注意根据极值点处导数为0求解后验证根的合理性．【教师备用】已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝12时，求f(x(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．[解](1)当a＝12时，f(x)＝lnx－12x，x>0，f′(x)＝1x－1令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1-ax当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，若x∈0，1a，则f若x∈1a，+∞，则f′(x)<0，故函数在x综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点．跟进训练1(1)(多选)如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是()A．在区间(2，4)内单调递减B．在区间(2，3)内单调递增C．x＝－3是极小值点D．x＝4是极大值点(2)(2024·阜新模拟)已知函数f(x)＝x3＋f'25x2－9x，则fA．－3 B．1C．27 D．－5(3)若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围为________．(1)BD(2)C(3)(0，1)[(1)A．函数y＝f(x)在区间(2，4)内f′(x)>0，则函数单调递增，故A错误；B．函数y＝f(x)在区间(2，3)的导数f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(2，3)上单调递增，故B正确；C．由图象知当x＝－3时，函数f′(x)取得极小值，但是函数y＝f(x)没有取得极小值，故C错误；D．x＝4时，f′(x)＝0，当2<x<4时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增，当x>4时，f′(x)<0，此时函数y＝f(x)单调递减，则函数y＝f(x)有极大值，x＝4是极大值点，故D正确．故选BD．(2)∵f(x)＝x3＋f'25x2∴f′(x)＝3x2＋2f'∴f′(2)＝12＋45f′(2)－9，解得f∴f(x)＝x3＋3x2－9x，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，∴当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，∴当x＝－3时，f(x)取得极大值27．故选C．(3)由f(x)＝x3－3ax＋1可得f′(x)＝3x2－3a，当a≤0时，f′(x)＝3x2－3a>0恒成立，所以f(x)在(0，1)上单调递增，无极值；当a>0时，令f′(x)＝3x2－3a>0，可得x>a或x<－a；令f′(x)＝3x2－3a<0，可得－a<x<a，所以a>0时，f(x)＝x3－3ax＋1在x＝a处取得极小值，若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则0<a<1，解得0<a<1．综上所述，实数a的取值范围为(0，1)．]考点二利用导数求函数的最值1．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[典例2](2021·北京卷)已知函数f(x)＝3-2xx(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及其最大值与最小值．[解](1)当a＝0时，f(x)＝3-2xx2，∴又f′(x)＝2x-6x3，故f′(1)＝－4，故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－4(x－1)＋1，即4x＋(2)由题意得f′(x)＝2x2-6x-2ax2+a2故f(x)＝3-2xx2+4，x∈R，f′(x)＝2令f′(x)>0，解得x>4或x<－1；令f′(x)<0，解得－1<x<4，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)．所以f(x)的极大值为f(－1)＝1，f(x)的极小值为f(4)＝－14又当x∈(－∞，－1)时，3－2x>0，故f(x)>0；当x∈(4，＋∞)时，3－2x<0，故f(x)<0，∴f(x)max＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(4)＝－14(1)当a＝0时，求出f(1)与f′(1)的值，再写出切线方程；(2)由f′(－1)＝0求出a的值，再通过导函数的符号求出f(x)的单调区间和最值．跟进训练2设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间-3[解](1)函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为-3又f′(x)＝22x+3＋2x＝4令f′(x)>0，解得x>－12或－32<x<令f′(x)<0，解得－1<x<－12所以函数f(x)在-32，-1，(2)由(1)可得：函数f(x)在区间-34，所以当x＝－12时，函数f(x)取得最小值f-12又f-34＝916＋ln32，f14而f-34－f14＝916＋ln3＝12＋ln37＝所以当x＝14时，函数f(x)取得最大值为116＋ln即f(x)在区间-34，14上的最大值为1课后习题(十六)导数与函数的极值、最大(小)值1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4A[由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f(x)在x＝－1左减右增，f(x)在x＝－1处取得极小值．故选A．]2．(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)函数f(x)＝2x－xlnx的极大值是()A．1e B．C．e D．e2C[f′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx．令f′(x)＝0，得x＝e．当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0．所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e．]3．(人教A版选择性必修第二册P104T9改编)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A．4 B．2或6C．2 D．6C[函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2．由题意知，f(x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6．又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正．当c＝2时，f(x)＝x(x－2)2的导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，即在x＝2处有极小值．而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值．故c＝2．]4．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m4[f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m．所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4．]5．(2023·巴蜀中学一模)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x＋1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)C．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)D．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)C[由题图可知，当x＜－3时，x＋1＜0，则f′(x)＜0，当－3＜x＜－1时，x＋1＜0，则f′(x)＞0，当－1＜x＜3时，x＋1＞0，则f′(x)＞0，当x＞3时，x＋1＞0，则f′(x)＜0，所以函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)．故选C．]6．(多选)(2023·山西运城统考三模)已知函数f(x)＝e2x－2ex－12x，则下列说法正确的是()A．曲线y＝f(x)在x＝0处的切线与直线x＋12y＝0垂直B．f(x)在(2，＋∞)上单调递增C．f(x)的极小值为3－12ln3D．f(x)在[－2，1]上的最小值为3－12ln3BC[因为f(x)＝e2x－2ex－12x，所以f′(x)＝2e2x－2ex－12＝2(ex－3)(ex＋2)，所以f′(0)＝－12，故A错误；令f′(x)>0，解得x>ln3，所以f(x)的单调递增区间为(ln3，＋∞)，而(2，＋∞)⊆(ln3，＋∞)，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，故B正确；当x<ln3时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln3)，所以f(x)的极小值为f(ln3)＝3－12ln3，故C正确；f(x)在[－2，1]上单调递减，所以最小值为f(1)＝e2－2e－12，故D错误．故选BC．]7．(2023·陕西宝鸡二模)函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3lnx在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为()A．-32，C．-43，A[f′(x)＝2x＋(a－1)－3x＝2设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24＞0，因此g(x)＝0有两个不同实根，又g(0)＝－3＜0，因此g(x)＝0的两根一正一负，由题意正根在(1，2)内，所以g解得－32＜a8．(2024·苏州模拟)函数f(x)＝－13x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a[－2，1)[由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，则a<1，10-9．求函数f(x)＝12x2－ln