高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第4课时简单的三角恒等变换学案

第4课时简单的三角恒等变换[考试要求]能运用公式进行简单的三角恒等变换．考点一三角函数式的化简1．降幂公式(1)sin2α＝1-cos(2)cos2α＝1+cos(3)tan2α＝1-cos2．常用的部分三角公式(1)1－cosα＝2sin2α2，1＋cosα＝2cos2α(2)1±sinα＝sinα(3)tanα2＝sinα1+(4)sin2α＝2tan(5)cos2α＝1-tan[典例1]化简1+sin[解]原式＝2sin2θ+2sinθcos三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点，如本题需将二倍角转化为单角的形式进行化简．跟进训练1已知0<θ<π，则1+sin－cosθ[原式＝2＝cosθ2·sin因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos所以原式＝－cosθ．]考点二三角函数式的求值1．角的变换：在化简、求值、证明中，需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如α3是2α3的半角，α2是α4的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋2．函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通常化切为弦，变异名为同名．给角求值[典例2]求值：cos40A．1 B．3C．2 D．2C[原式＝cos220°-sin2给值求值[典例3]已知α，β都是锐角，cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，求cos[解]∵α，β都是锐角，cosα＝17∴sinα＝1-cos2α又0<α＋β<π，cos(α＋β)＝－1114∴sin(α＋β)＝1-cos2α+β故cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×给值求角[典例4](易错题)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－－3π4[∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα-β+tan∴0＜α＜π2又∵tan2α＝2tanα1-tan2α＝2×131-132＝34＞0，∴0＜2α∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－∴2α－β＝－3π(1)给角求值问题需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角得解．(2)给值求值问题关键在于用“已知角”表示“未知角”，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．(3)给值求角问题解题的关键在于“变角”，一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角．跟进训练2(1)(2024年1月九省联考)已知θ∈3π4，π，tan2θ＝－4tanθ+A．14 B．C．1 D．3(2)(2024·山东威海模拟)cos10A．32 B．C．3 D．2(3)已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝________，2(1)A(2)A(3)17π3[(1)由题θ∈3π4，π得2tanθ1-tan2θ＝-4则2tanθ+1tanθ+2＝0，所以tan因为θ∈3π4，π，所以tanθ∈-1，0所以1+sin2θ2cos2故选A．(2)cos10°＝cos10°-2sin20°2sin故选A．(3)因为cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝又因为α，β均为锐角，sinβ＝33所以sinα＝217，cosβ＝1314，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝437×1314因为α为锐角，所以0<2α<π．又cos2α>0，所以0<2α<π2又β为锐角，所以－π2<2α－β<π又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π【教师备用】(2024·云南曲靖质检)已知向量a＝cosx2+sinx2，2sinx2，b(1)求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取得最大值时x的取值集合；(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，f(β)＝65，求f[解](1)f(x)＝cos2x2－sin2x2＋23sinx2cosx2＝cosx＋3令x＋π6＝π2＋2kπ(k∈Z)，得x＝π3＋2kπ，k∴f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为x│(2)由α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213得sin(α＋β)＝513∵0<β<π2，∴π6<β＋π6又f(β)＝2sinβ+π6＝∴sinβ+π6＝35∴π6<β＋π6<∴cosβ+π6＝∴cosα-π6＝cos(α＋β)cosβ+π6＋sin(α＋β)sinβ+π∴fα+π6＝2sinπ2+α-π6＝2cos课后习题(二十二)简单的三角恒等变换1．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T4(1)改编)cosα－3sinα化简的结果可以是()A．12cosπ6-αC．12sinπ3-αBD[cosα－3sinα＝21＝2cosαcos＝2sinπ62．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sinα＝55，cosα＝255A．2－5 B．2＋5C．5－2 D．±(5－2)C[∵sinα＝55，cosα＝2∴tanα2＝sinα1+3．(苏教版必修第二册P72练习T3改编)已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－A．π4 B．π4C．－3π4 D．π4或C[因为tanα＝13>0，且α∈(0，π)，所以α∈0，π2又tan2α＝2tanα1-tan2α＝2×1因为tanβ＝－17<0，且β∈(0，π)，所以β∈π2，π，所以2α－又tan(2α－β)＝tan2α-tanβ1+tan2αtanβ4．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈5π2，3π且sinθcosθ2－255－55[∵θ∈5π2∴cosθ＝－35，θ2∈∴sinθ2＝－1+35cosθ2＝－1-355．(2024·安庆模拟)已知θ∈0，π2，tanθ＝2A．－23 B．C．－13 D．C[cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos＝1-tan2θ6．(2024·山东枣庄模拟)在平面直角坐标系中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点-3，4，则tanA．－12或2 C．－13或3 B[由角α的终边经过点-3，sinα＝4-32+cosα＝-3-32+故tanα2＝sinαcos故选B．]7．(2024·威海模拟)tan67.5°－1tanA．1 B．2C．2 D．4C[tan67.5°－1tan67.5°＝＝sin67.5°＝sin28．(2024·山东济宁模拟)已知α为锐角，且(3－tan10°)cosα＝1，则α的值为()A．40° B．50°C．70° D．80°B[由3-tan103cos10°-sin10°cos所以cosα＝cos10°＝cos10又α为锐角，故α＝50°，故选B．]9．(2024·威海模拟)已知α∈π，3π2，若tanα+A．31010 C．－1010 D．－C[因为α∈π，3π2，则α＋π又tanα+π故α＋π3∈3则cosα+π3＝55，sinα+故cosα+π12＝cosα+π3cosπ4＋sin＝55×22＋-＝－101010．求值：3-8[原式＝3＝3＝2＝2＝8．]11．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈-π2，π2－3π4∴tan(α＋β)＝tanα+tan又tan∴tanα＜0且tanβ＜0，∴－π2＜α＜0且－π2＜即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π12．已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ-π4＝13，sin(α＋(1)求sin2β的值；(2)求cosα+π[解](1)∵cosβ-π4＝cosπ4cosβ＋sinπ4sinβ＝22cosβ＋2∴cosβ＋sinβ＝23，∴1＋sin2β＝2∴sin2β＝－79(2)∵0＜α＜π2＜β∴π4＜β－π4＜3π4，π2＜α∴sinβ-π4＞0，cos(α＋∵cosβ-π4＝13，sin(α＋β∴sinβ-π4＝223，cos(α＋∴cosα+π4＝cos(α＋β)cosβ-π4＋sin(α＋β＝－35×13＋45×2阶段提能(六)三角函数的概念及三角恒等变换1．(北师大版必修第二册P13习题1－3B组T4)已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．)[解]∵扇形的弧长为l＝4R－2R＝2R，∴圆心角α＝2RR∴S扇形＝12R2α＝R2∵AB＝2AD＝2Rsin1，△AOB的高OD＝Rcos∠AOD＝Rcos1，∴S△AOB＝12AB·OD＝R2sin1cos1＝12·故S弓形＝S扇形－S△AOB＝R2－12R22．(人教B版必修第三册P26练习BT2)已知tanα＝－4，求下列各式的值．(1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sinαcosα；(4)4sin[解](1)sin2α＝sin2αsin2α+cos(2)cos2α－sin2α＝cos2α-sin2αcos(3)3sinαcosα＝3sinαcosαsin(4)4sinα-2cosα53．(人教A版必修第一册P195习题5.3T9)化简下列各式，其中n∈Z：(1)sinnπ(2)cosnπ[解](1)sinnπ2+α＝sinα(2)cosnπ2-α＝cosα4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sinπ3-x＝13，且0<x<π2，求sin[解]因为0<x<π2，所以－π6<π3－x所以cosπ3-x＝所以sinπ6+x＝sinπ2-πcos2π3+x＝cosπ-π5．(2021·全国乙卷)cos2π12－cos25A．12 B．C．22 D．D[法一(公式法)：因为cos5π12＝sinπ2所以cos2π12－cos25π12＝cos2π＝cos2×π12＝cosπ6法二(构造法)：设cos2π12－cos25π12＝a，sin2π12－sin2则a＋b＝cos2π12+a－b＝cos2π＝cos2×π12－cos2×5π＝2cosπ6＝3，所以根据①＋②可得2a＝3，即a＝32即cos2π12－cos25π12法三(代值法)：因为cosπ12＝6cos5π12＝所以cos2π12－cos25π12＝6+26．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则sinθA．－65 B．－C．25 D．C[法一(求值代入法)：因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以sinθ=所以sinθ1+＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ＝45－25＝法二(弦化切法)：因为tanθ＝－2，所以sinθ1+＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ+法三(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，所以sinθ＝－2cosθ．则sinθ1+＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ+sinθ7．(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosA．1515 B．C．53 D．A[因为α∈0，π2，所以tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα2cos2α-1＝cosα2-sinα⇒2sinα2cos2α-1＝12-8．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα+π4sinA．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1D[法一：设β＝0，则sinα＋cosα＝0，取α＝3π再取α＝0，则sinβ＋cosβ＝2sinβ，取β＝π4法二：由sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2sinα+β+π4＝2sinα+π4+β＝2sinα+π4cosβ故2sinα+π4cosβ＝2cosα+π故sinα+π4cosβ－cosα+π即sinα+π故sinα-β+π4＝22sin(α－β)＋22cos(故sin(α－β)＝－cos(α－β)，故tan(α－β)＝－1，故选D．]9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，则cos(2α＋2A．79 B．C．－19 D．－B[依题意，得sin所以sinαcosβ＝12，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋16＝23，所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×210．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝1+54，则sinA．3-58