高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量培优专题11球的切、接、截问题学案

球的切、接、截问题[培优技法]1．球的截面有关性质解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形)．球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为：R2＝d2＋r2．2．柱体的外接(内切)球正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．球的直径等于球的内接长方体的体对角线长．结论：(1)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：①球内切于正方体，此时2R＝a；②球与正方体的棱相切，此时2R＝2a；③球外接于正方体，此时2R＝3a．(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则外接球的半径是a23．锥体的外接(内切)球正四面体、三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥、相对棱相等的三棱锥，这些几何体的外接球问题可以补形成长方体或正方体来解决．正四面体的内切球、外接球的球心都是正四面体的中心，它是高的一个四等分点，若四面体的棱长为a，则其内切球半径为612a，外接球半径为64[培优案例][例1](2024·临沂质检)在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是()A．11π B．20πC．32π D．27πB[设球心为O，内部点为D，则截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值．因为半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，所以截面与OD垂直时截面圆的半径为36-16＝20，所以截面面积的最小值为20π．故选B．][例2](1)(2024·湛江模拟)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且过一个顶点的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．(2)(2024·南昌调研)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1(1)14π(2)63π[(1)长方体外接球直径等于长方体体对角线长，设外接球半径为则2R＝12+2所以球的表面积S＝4πR2＝14π．(2)设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×34×a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r＝14×63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26[例3](1)(2024·合肥模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝3π4，AA1＝BC＝2，则球A．43πB．8πC．12πD．20π(2)(2024·太原模拟)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且AB＝5，BC＝7，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为()A．83π B．8C．163π D．32(1)A(2)B[(1)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r＝BC2sin∠BAC＝2则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R＝r2+AA1则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为43πR3＝43(2)∵AB＝5，BC＝7，AC＝2，∴PA＝1，PC＝3，PB＝2．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图所示，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的