2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与矩形、菱形、正方形问题（课件）

微专题二次函数与矩形、菱形、正方形问题微技能——分类讨论思想确定对应关系一阶一题多设问设问突破二阶

例1如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交直线BC于点E.例1题图①(1)求抛物线的解析式；例1题图①(1)将A(1，0)，B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋6x－5；(2)如图②，设点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】要求使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形的点M的坐标，已知点M是抛物线对称轴上一点，设点M的坐标，分别求出BC，BM，CM的长，然后根据矩形的性质分别讨论∠CBM，∠BCM，∠CMB为直角的情况，利用勾股定理列方程求解．例1题图②MN(2)存在．易得抛物线对称轴为直线x＝3，∵点M是对称轴上一点，设点M的坐标为(3，m),易得BC2＝52＋52＝50，BM2＝(5－3)2＋m2＝4＋m2，①如解图①，连接CM，CM2＝32＋(m＋5)2＝m2＋10m＋34,例1题解图①若∠CBM＝90°，则BC2＋BM2＝CM2,即50＋4＋m2＝m2＋10m＋34,解得m＝2,此时点M的坐标为(3，2);MN②如解图②，若∠BCM＝90°.则BC2＋CM2＝BM2,即50＋m2＋10m＋34＝4＋m2,解得m＝－8,此时点M的坐标为(3，－8);MN例1题解图②③如解图③④，若∠BMC＝90°.则BM2＋CM2＝BC2,即4＋m2＋m2＋10m＋34＝50,解得m＝1或m＝－6，此时点M的坐标为(3，1)或(3，－6).综上所述，满足条件的点M坐标为(3，2)或(3，－8)或(3，1)或(3，－6)；MMNN例1题解图③例1题解图④(3)如图③，点Q是平面直角坐标系内一点，当以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形时，请求出此时点Q的坐标．例1题图③例1题图③【思维教练】设点P的坐标为(x，－x2＋6x－5)，则点E的坐标为(x，x－5)，共分为四种情况讨论：①当PH＝HE，QH＝HB时，四边形PQEB是菱形；②当点P在x轴上方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形；③当点P与点A重合，且PB＝PE＝EQ＝QB时，四边形PEQB是菱形；④当点P在x轴下方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形．例1题图③(3)设点P的坐标为(x，－x2＋6x－5)设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；将B(5，0)，C(0，5)代入得解得∴直线BC的解析式为y＝x－5，则点E的坐标为(x，x－5)，例1题解图⑤如解图⑤∵PE⊥QB，∴当PH＝HE，QH＝HB时，四边形PQEB是菱形．此时yP＝－yE，即－x2＋6x－5＝－(x－5)，解得x1＝2，x2＝5(不合题意，舍去)，∴QH＝HB＝3，∴点Q的坐标为(－1，0)；例1题解图⑥如解图⑥，当点P在x轴上方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形．

∵PE＝－x2＋6x－5－(x－5)＝－x2＋5x，BE＝BH＝(5－x)，∴－x2＋5x＝(5－x)，解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝.当x＝时，BQ＝PE＝

，∴点Q的坐标为(5，)；例1题解图⑦如解图⑦，当点P与点A重合时，PB＝PE.

∴当PB＝PE＝EQ＝QB时，四边形PEQB是菱形．易得Q的坐标为(5，－4)；例1题解图⑧如解图⑧，当点P在x轴下方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形．

∵PE＝x－5－(－x2＋6x－5)＝x2－5x，BE＝BH＝(5－x)，∴x2－5x＝(5－x)，解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝－.当x＝－时，QB＝PE＝

，∴点Q的坐标为(5，)．综上所述，存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形．此时点Q的坐标为(－1，0)，(5，)，(5，－4)或(5，)．(4)如图④，点M是抛物线的顶点，坐标平面内是否存在点P、Q(点P在点Q左侧)，使得以B，M，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【思维教练】由BM为定边，可分以BM为正方形的边或以BM为正方形的对角线来确定点P.例1题图④【解法提示】当MB为正方形的边时，①当点P在点M的左侧时，如解图⑨，∵点M为抛物线的顶点，∴M点坐标为(3，4)，∵B(5，0)，∴BM＝，∴BM＝PM＝

，设P1(m，n)，过点P1作P1N1⊥x轴于点N1，例1题解图⑨P1P2P3Q1Q2Q3N2N1∴BN1＝5－m，P1N1＝n，∴P1O＝，P1B＝，P1M＝，解得m＝－1，n＝2，∴P1(－1，2)；例1题解图⑨P1P2P3Q1Q2Q3N2N1②当点P在点M右侧时，如解图⑨，∵点P2与点P1关于直线BM对称，∴P2(3×2＋1，4×2－2)，即P2(7，6)；当MB为正方形的对角线时，∵点P在点Q左侧，∴点P只能在点M的左侧，如解图⑨，∵BM＝，∴P3B＝PM＝，例1题解图⑨P1P2P3Q1Q2Q3N2N1设P3(m，n)，∴P3B＝，P3M＝，解得m＝2n，∵点P3与点Q3关于直线MB对称，∴Q3(5＋n，5－m)，

，∴3n＝3，n＝1，∴m＝2n＝2，∴P3(2，1)，综上所述，存在点P，使得以B，M，P，Q为顶点的四边形为正方形，此时点P的坐标为(－1，2)，(7，6)，(2，1)．例1题解图⑨P1P2P3Q1Q2Q3N2N1综合训练三阶第1题图1.(2023抚本铁辽葫定心卷)如图，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)交x轴于点A(4，0)、B，交

y轴于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过A(4，0)，C(0，4)两点，∴c＝解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；(2)∵点E是OA的中点，∴E(2，0)．由题意易知直线CE的解析式为y＝－2x＋4.∵直线MN到y轴的距离为

，∴点D的坐标为(

，0)或(－

，0)．当D(

，0)时，点M、N的横坐标为

，将x＝

代入y＝－2x＋4中，得y＝1，(2)如图①，点E是OA的中点，点D是线段BE上一点(不与点B、E重合)，过点D作x轴的垂线，交直线CE于点M，交抛物线于点N，若直线MN到y轴的距离为

，求点M与点N之间的距离；第1题图将x＝

代入y＝－

x2＋x＋4中，得y＝

.∴M(

，1)，N(

)，∴MN＝

；当D(－

，0)时，点M、N的横坐标为－

，将x＝－

代入y＝－2x＋4中，得y＝7，将x＝－

代入y＝－

x2＋x＋4中，得y＝

.第1题图∴M(－

，7)，N(－

，

)，∴MN＝7－

＝

.∴点M与点N之间的距离为

或

；第1题图第1题图(3)如图②，点F在抛物线的对称轴上且在x轴上方，点G在坐标平面内，当以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点F的坐标．【解法提示】已知抛物线解析式为y＝－

x2＋x＋4，令y＝0，即－

x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴B(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1.设点F的坐标为(1，m)．∵C(0，4)，∴BC2＝OB2＋OC2＝20，BF2＝9＋m2

，CF2＝1＋(m－4)2.要使以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形，分两种情况讨论，当BC为菱形的边时，①当BC＝BF时，即20＝9＋m2

，解得m1＝，m2＝－(不符合题意，舍去)，∴点F的坐标为(1，)；②当BC＝CF时，即20＝1＋(m－4)2，解得m3＝4＋，m4＝4－(不符合题意，舍去)，∴点F的坐标为(1，4＋)；第1题图当BC为菱形的对角线时，则点F在线段BC的垂直平分线上．∴BF＝CF，即9＋m2＝1＋(m－4)2，解得m＝1.∴点F的坐标为(1，1)，综上所述，点F的坐标为(1，)或(1，4＋)或(1，1)．(3)点F的坐标为(1，)或(1，4＋)或(1，1)．第1题图2.如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋b与x轴交于点A(－2，0)和点B，与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式；第2题图备用图解：(1)将点A、C的坐标分别代入抛物线的解析式，得解得

∴抛物线的解析式为y＝x2＋x＋4；(2)点P是第四象限抛物线上一点，连接AC、AP，当∠PAB＝2∠ACO时，求点P的坐标；(2)如解图，在OB上取一点R，使OR＝OA＝2，连接CR，则∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，过点A作AK⊥CR于点K，设直线AP交y轴于点H，HR第2题图在y＝－

x2＋x＋4中，令y＝0，即－

x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝4，∴B(4，0)．K∵A(－2，0)，C(0，4)，∴AR＝4，OC＝4，AC＝CR＝∴S△ACR＝

AR·OC＝

CR·AK，即

×4×4＝解得AK＝

，∴CK＝，∴tan∠ACK＝

HR第2题图K∵∠PAB＝2∠ACO＝∠ACK，∴tan∠ACK＝tan∠PAB.在Rt△AOH中，OH＝OA·tan∠PAB＝.∴H(0，)．由点A、H的坐标得直线AP的解析式为y＝.联立

解得或

(舍去)，

∴点P的坐标为(

)；HR第2题图K(3)点M是抛物线的对称轴上一动点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图【解法提示】∵y＝

x2＋x＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.设点M的坐标为(1，m)，∵B(4，0)，C(0，4)，∴BM2＝9＋m2，CM2＝m2－8m＋17，BC2＝32.当以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形时，需分以BC为边和BC为对角线两种情况讨论．①当BC为边时，以M、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形，则分以MC为斜边和以MB为斜边，当以MC为斜边时，BC2＋BM2＝CM2，即32＋9＋m2＝m2－8m＋17，解得m＝－3，∴点M的坐标为(1，－3)．由xC＋xM＝xB＋xN，得xN＝－3，同理可得yN＝1，∴点N的坐标为(－3，1)；第2题图当以MB为斜边时，BC2＋CM2＝BM2，即32＋m2－8m＋17＝m2＋9，解得m＝5，∴M(1，5)．由xB＋xM＝xC＋xN，得xN＝5，同理可得yN＝1，∴点N的坐标为(5，1)；②当以BC为对角线时，以M、B、C为顶点的三角形是以BC为斜边的直角三角形，则BM2＋CM2＝BC2，即9＋m2＋m2－8m＋17＝32，解得m1＝2＋，m2＝2－，∴点M的坐标为(1，2＋)或(1，2－)，第2题图由xB＋xC＝xM＋xN，得xN＝3，同理可得yN＝2－或2＋，∴点N的坐标为(3，2－)或(3，2＋)．综上所述，存在点N使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形，满足条件的点N的坐标为(－3，1)或(5，1)或(3，2－)或(3，2＋)．(3)存在，点N的坐标为(－3，1)或(5，1)或(3，2－)或(3，2＋)．第2题图3.直线y＝－x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式；第3题图①备用图(1)在y＝－x＋3中，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，∴A(3，0)，B(0，3)，把A(3，0)，B(0，3)代入y＝ax2＋2x＋c得，∴∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)如图①，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G，当DE＝FG时，求点D的坐标；第3题图①由(1)可知抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，直线AB的解析式为y＝－x＋3，设D(m，－m2＋2m＋3)，∵DE∥y轴，∴E(m，－m＋3)，∴DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，ME＝－m＋3，(2)如解图，延长DE交x轴于点M，则DM⊥x轴M∵B(0，3)，A(3，0)∴OB＝OA＝3，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵DM⊥x轴，DF⊥AB，∴∠DEF＝∠AEM＝45°，∴DE＝EF，AF＝FG，∵DE＝FG，∴AF＝2EF，∴AE＝EF，∵FG⊥x轴，∴FG∥ME，∴

∴FG＝2ME，∴DE＝2ME，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，∴m＝2或m＝3(舍去)，∴D(2，3)；第3题图①M(3)如图②，在(2)的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过点H作HK∥y轴，交直线CD于点K.P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．第3题图②【解法提示】在y＝－x2＋