2024年约数与倍数竞赛辅导

一．选择题（共31小题）1．在1，2，3，…，99，100这100个自然数中，不是2的倍数，不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有k个，则k＝（）A．25 B．26 C．27 D．282．若非零自然数a，b的最大条约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（）10＝（）A．1 B．1024 C．2104 D．3．从1，2，3，…，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的倍数，则n的最大值为（）A．25 B．26 C．27 D．284．将2，6，10，14，…中3或5的倍数删去后，剩余的数列（串）中，第90个是（）A．354 B．674 C．866 D．9345．13个不一样的正整数的和为1615，则它们的条约数的最大值是（）A．25 B．21 C．17 D．136．的所有正约数的和是（）A．3528 B．2607 C．2521 D．7．1998的不一样约数的个数是（）A．20 B．16 C．14 D．128．已知自然数a，b，c的最小公倍数为48，而a和b的最大条约数为4，b和的c最大条约数为3，则a+b+c的最小值是（）A．55 B．35 C．31 D．309．已知自然数a、b、c满足：①a和b的最小公倍数为24；②a和b的最大条约数为6；③c和a的最小公倍数为36，则满足上述条件的（a，b，c）共有（）组．A．4 B．3 C．2 D．110．在正整数范围内，方程组（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，y≤1000有多少组解？其中（）、[]分别表示最大条约数和最小公倍数．A．3 B．6 C．12 D．2411．把1，2，3，…，19提成几个组，每组最少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则最少要分多少组（）A．9 B．7 C．6 D．512．已知两个自然数a＜b，a+b＝78，a、b的最小公倍数是[a、b]＝252，则b﹣a＝（）A．50 B．22 C．14 D．613．已知x和y都是自然数，x和y的最大条约数是2，最小公倍数是100，则x2+y2＝（）A．2516 B．10004 C．2516或10004 D．无法计算14．两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标按时间中午12点时，通过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为（）个昼夜．A．120 B．180 C．240 D．36015．某班学生不足50人，在一次数学测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则不及格的学生有（）A．0人 B．1人 C．3人 D．8人16．古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个中文和地支的12个中文对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个次序得来的，如公历是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）A．是 B．是2031年 C．是2043年 D．没有对应的年号17．用（a，b）表示a，b两数的最大条约数，[a，b]表示a，b两数的最小公倍数，例如（4，6）＝2，（4，4）＝4．[4，6]＝12，[4，4]＝4，设a，b，c，d是不相等的自然数，（a，b）＝P，（c，d）＝Q，[P，Q]＝X；[2，6]＝M，[c，d]＝N，（M，N）＝Y．则（）A．X是Y的倍数，但X不是Y的约数 B．X是Y的倍数或约数都有也许，但X≠Y C．X是Y的倍数、约数或X＝Y三者必居其一 D．以上结论都不对18．和3002的最大条约数是（）A．1 B．7 C．11 D．1319．360×473和172×361这两个积的最大条约数是（）A．43 B．86 C．172 D．420．在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33 B．34 C．35 D．3721．用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，最少需要（）块．A．6 B．8 C．12 D．1622．的正约数的个数是（）A．3 B．4 C．6 D．823．所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，能够相同，但a≠0）的最大条约数是（）A．1001 B．101 C．13 D．1124．设a与b是正整数，且a+b＝33，最小公倍数[a，b]＝90，则最大条约数（a，b）＝（）A．1 B．3 C．11 D．925．三角形三边长a，b，c都是整数，且[a，b，c]＝60，（a，b）＝4，（b，c）＝3（注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大条约数），则a+b+c的最小值（）A．30 B．31 C．32 D．3326．若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（）A．9，10，11 B．10，11，12 C．11，12，13 D．12，13，1427．105的负约数的和等于（）A．﹣105 B．﹣87 C．﹣86 D．﹣19228．设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大条约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（）A．p≥q≥a＞b B．q≥a＞b≥p C．q≥p≥a＞b D．p≥a＞b≥q29．两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273 B．819 C．1199 D．191130．下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大条约数不小于等于a B．正整数a和b的最小公倍数不小于等于ab C．正整数a和b的最大条约数小于等于a D．正整数a和b的公倍数不小于等于ab31．祖孙两人的年龄都是合数，来年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（）A．70岁、23岁 B．69岁、22岁 C．115岁、14岁 D．114岁、13岁二．填空题（共10小题）32．记2的所有正约数为d1，d2，…，dm，则++…+＝．33．清溪汽车站开设三条线路的公共汽车，①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，假如他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次同时开出的时间是．34．锐角三角形ABC的三边长BC＝a，CA＝b，AB＝c．a、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大条约数为2，a+b+c＝，则△ABC的周长为．35．记者向五羊初级中学校长问询学生人数，校长回答说不足5000人，其中初一、初二、初三分别占，，，余下的是尤其设置的“奥林匹克班”的学生，学校在学生中成立了数学兴趣者协会，会员包括了初一学生的，初二学生的，初三学生的，而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学兴趣者协会总人数为．36．以（）、[]分别表示最大条约数和最小公倍数，则（[[（24，60，84），1，20]，7，5，3]，19）＝．37．（19941994+19941995，1994×1995）＝．38．设m和n为不小于0的整数，且3m+2n＝225，假如m和n的最大条约数为15，m+n＝．39．用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大条约数是7，最小公倍数是7×20．则围成这个长方形最少需要条长为1的线段，它的面积是．40．已知a、b和9的最大条约数为1，最小公倍数为72，则a+b的最大值是41．已知m，n，l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是，最小值是．

参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．在1，2，3，…，99，100这100个自然数中，不是2的倍数，不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有k个，则k＝（）A．25 B．26 C．27 D．28【分析】首先求出在1～100的自然数中，2、3、5的倍数分别有多少个，然后求出2和3的公倍数、2和5的公倍数、3和5的公倍数、2、3和5的公倍数分别有多少个，再求出1～100中既不是2的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有多少个即可．【解答】解：在1～100的自然数中，2的倍数有：100÷2＝50（个），3的倍数有：100÷3＝33（个）…1，5的倍数有：100÷5＝20（个），2和3的公倍数有：100÷6＝16（个）…4，2和5的公倍数有：100÷10＝10（个），3和5的公倍数有：100÷15＝6（个）…10，2、3和5的公倍数有：100÷30＝3（个）…10，因此1～100中既不是2的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有：100﹣（50+33+20）+（16+10+6）﹣3＝100﹣103+32﹣3＝26（个），即k＝26．故选：B．【点评】此题重要考查了约数与倍数，数的整除的特性问题的应用，解答此题的核心是纯熟掌握是2、3、5的倍数的特性．2．若非零自然数a，b的最大条约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（）10＝（）A．1 B．1024 C．2104 D．【分析】此题设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n互质），然后依照题意可得mx•nx＝mnx+x，再变形为x＝1+，再依照x是正整数进行分析论证得出答案．【解答】解：设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n互质），因此mx•nx＝mnx+x，因此x＝1+，∵m，n，x都是正整数，且m，n互质，∴m＝n＝1，∴x＝1+1＝2，∴a＝b＝2，∴（）10＝（）10＝210＝1024．故选：B．【点评】此题重要考查了学生对最大条约数与最小公倍数之和的了解和掌握．要求学生能正确利用其解答问题．此题较难，是好题．3．从1，2，3，…，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的倍数，则n的最大值为（）A．25 B．26 C．27 D．28【分析】不妨设找出的任意三个数为a、b、c，依照条件可推出a、b、c都是18的倍数，进而可得到找出的n个数都是18的倍数．因为找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍．然后分别讨论就可处理问题．【解答】解：不妨设找出的任意三个数为a、b、c，由题可得：a+b＝36n1①，a+c＝36n2②，b+c＝36n3③，其中n1、n2、n3是正整数．由①+②﹣③得：2a＝36（n1+n2﹣n3），即a＝18（n1+n2﹣n3）．则a是18的倍数．同理可得：b、c都是18的倍数．因为a、b、c表示任意的三个数，因此找出的n个数都是18的倍数．因为找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍．①若找出的n个数都是18的奇数倍，则找出的最大的数可表示为18（2n﹣1）．解18（2n﹣1）≤1000得：n≤．因此n取到最大值，为28．②若找出的n个数都是18的偶数倍，则找出的最大的数可表示为18×2n即36n．解36n≤1000得：n≤．因此n取到最大值，为27．综上所述：n的最大值为28．故选：D．【点评】本题重视对推理能力的考查，而证到找出的n个数都是18的倍数是处理本题的核心．4．将2，6，10，14，…中3或5的倍数删去后，剩余的数列（串）中，第90个是（）A．354 B．674 C．866 D．934【分析】在数列2，6，10，14，…中3的倍数是3个一循环，5的倍数是5个一循环，3和5的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩余8个，因为90÷8＝11…2，可知是第11个循环的第4个，依此即可求解．【解答】解：观测数列2，6，10，14，…中3的倍数是3个一循环，5的倍数是5个一循环，3和5的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩余8个，因为90÷8＝11…2，是第11个循环的第4个，15×11+4＝165+4＝169，则第90个是169×4﹣2＝676﹣2＝674．故选：B．【点评】考查了约数与倍数，本题核心是熟悉3或5的倍数的特点，难点是得到第90个是第11个循环的第4个．5．13个不一样的正整数的和为1615，则它们的条约数的最大值是（）A．25 B．21 C．17 D．13【分析】应先把1615分解，找到约数也许的数．再设出最大条约数，找出13个数最小值，进而求得最大条约数．【解答】解：设13个不一样的正整数的最大条约数为d，则，13个不一样的正整数为：da1、da2、…、da13为互不相同正整数，1615＝da1+da2+…+da13＝d（a1+a2+…+a13）a1+a2+…+a13最小为1+2+…+13＝（13+1）×13÷2＝91，1615＝5×17×19，1615的约数中，不小于91的最小约数是5×19＝95，即：a1+a2+…+a23最小为95，故最大条约数d也许达成的最大值＝1615÷95＝17．故选：C．【点评】处理本题的核心是先得到1615也许的约数，再求得13个数除去约数外最小的和．6．的所有正约数的和是（）A．3528 B．2607 C．2521 D．【分析】将表示成几个数相乘的形式，然后得出的所有约数，继而求和即可得出答案．【解答】解：＝1×＝2×1006＝4×503，因为503是质数，∴的约数有：1、、2、1006、4、503，∴的所有正约数的和是1+2+4+503+1006+＝3528．故选：A．【点评】此题考查了最大条约数和最小公倍数的知识，解答本题的核心是将表示成几个因数相乘的形式，得出的约数，难度一般．7．1998的不一样约数的个数是（）A．20 B．16 C．14 D．12【分析】因为1998＝2×33×37，于是能够分别求出单个质因数组成的约数、有两个质因数的约数、有三个质因数组成的约数个数，然后求和即可．【解答】解：1998＝2×33×37，单个质因数组成的约数有：2、3、9、27、37，有两个质因数的约数有：6、18、54、74、111、333、999，有三个质因数组成的约数有：222、666、1998，再加上约数1，共有16个约数，故选：B．【点评】本题重要考查最大条约数与最小公倍数的知识点，解答本题的核心是纯熟掌握质因数的知识，此题难度不大．8．已知自然数a，b，c的最小公倍数为48，而a和b的最大条约数为4，b和的c最大条约数为3，则a+b+c的最小值是（）A．55 B．35 C．31 D．30【分析】依照a，b，c的最小公倍数为48确定a，b，c的取值范围，然后依照3和4分别是b的约数得出b的最小值，继而可分别得出c及a的最小值，代入计算即可得出答案．【解答】解：a，b，c最小公倍数是48，因此它们都是48的约数，则a，b，c只能在1，2，3，4，6，8，12，16，24，48中取值，又∵a，b最大条约数是4；b，c最大条约数是3；∴b的最小值是12，c最小值为3，a的最小值是16，则a+b+c的最小值＝12+3+16＝31．故选：C．【点评】本题考查了最大条约数及最小公倍数的知识，核心是先求出a，b，c的取值范围，依照3和4分别是b的约数得出b的最小值，难度一般．9．已知自然数a、b、c满足：①a和b的最小公倍数为24；②a和b的最大条约数为6；③c和a的最小公倍数为36，则满足上述条件的（a，b，c）共有（）组．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】依照a和b的最小公倍数为24，a和b的最大条约数为6可得出a、b只能在6，12，24中取值，再由c和a的最小公倍数为36，可确定符合题意的a，b，c的组合，进而得出答案．【解答】解：∵a和b的最小公倍数为24，∴a、b可取1，2，3，4，6，8，12，24，又∵a和b的最大条约数为6，∴a、b只在6，12，24中取值，若要满足c和a的最小公倍数为36，则只有a＝6，c＝36，b＝24时成立．故（a，b，c）＝（6，24，36），共一组．故选：D．【点评】本题考查了最大条约数及最小公倍数的知识，难度一般，解答本题的核心是依照①②的条件得出a、b的取值范围．10．在正整数范围内，方程组（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，y≤1000有多少组解？其中（）、[]分别表示最大条约数和最小公倍数．A．3 B．6 C．12 D．24【分析】依照60、90分别是y的约数可得出y＝180k（k取正整数），结合y≤1000讨论k的值，然后每一个y值可得出符合题意的x、z的组合，继而可得出答案．【解答】解：由题意得，60、90都是y的约数，∴y＝180k（k取正整数），又∵y≤1000，则k≤5；①当k＝1时，y＝180，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，∴可得x＝120，z＝90，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．②当k＝2时，y＝360，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，没有符合题意的x和z，此时没有解．③当k＝3时，y＝540，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．④当k＝4时，y＝720，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，∴可得x＝60，z＝90，又∵[z，x]＝360，∴没有符合题意的x和z，此时没有解．⑤当k＝5时，y＝900，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，∴可得x＝60或120或360，z＝90或360，又∵[z，x]＝360，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．综上可得共有3组解．故选：A．【点评】本题考查了最大条约数及最小公倍数，依照题意得出y＝180k是解答本题的核心，难点在于分类讨论k的值时，判断符合题意的x、z的组合，难度较大，要求细心解答．11．把1，2，3，…，19提成几个组，每组最少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则最少要分多少组（）A．9 B．7 C．6 D．5【分析】首先1不能和任何一个数一组，然后依照2、4、8、16不能在一组，故以这四个数自立一组，先尽也许往2所在的组填数，依次填写4、8、16，假如有不兼容的就再另行分组，由此可得出答案．【解答】解：①1不能和任何一个数一组，故1自立一组；②第二组可为：2，3，5，7，11，13，17，19；③第三组为：4，6，9，10，14，15，④第四组为：8，12，18，19；⑤第五组为：16；以上分组中的数在符合题意的基础上能够不固定，不过1、2、4、8、16需要各自一组，即最少分5组．故选：D．【点评】本题考查了最大条约数及最小公倍数的知识，解答本题的核心是得出2、4、8、16不能在一组，难点在于往这四个数所在的组瑱数．12．已知两个自然数a＜b，a+b＝78，a、b的最小公倍数是[a、b]＝252，则b﹣a＝（）A．50 B．22 C．14 D．6【分析】此题为选择题，可利用排除法进行求解．【解答】解：A、若b﹣a＝50，b＝64，a＝14，a，b的最小公倍数是[a、b]＝448，故本选项错误；B、若b﹣a＝22，b＝50，a＝28，a，b的最小公倍数是[a、b]＝700，故本选项错误；C、若b﹣a＝14，b＝46，a＝32，a，b的最小公倍数是[a、b]＝736，故本选项错误；D、若b﹣a＝6，b＝42，a＝36，a，b的最小公倍数是[a、b]＝252，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查最小公倍数的知识，注意对这一概念的纯熟掌握，同时要注意排除法在选择题中的灵活利用．13．已知x和y都是自然数，x和y的最大条约数是2，最小公倍数是100，则x2+y2＝（）A．2516 B．10004 C．2516或10004 D．无法计算【分析】依照题意可得x和y的乘积是200，又因为x和y的最大条约数是2，可知200＝2×100＝4×50，因此分情况讨论即可．【解答】解：∵最小公倍数是100，∴x和y的乘积是200，∵200＝2×100＝4×50（因有最大条约数2，二者均为偶数），∴①x＝4，y＝50，或②x＝2，y＝100，∴①x2+y2＝2516；②x2+y2＝10004．故选：C．【点评】此题重要考查了最大条约数和最小公倍数的知识，解题的核心是仔细审题，搞清题意．14．两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标按时间中午12点时，通过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为（）个昼夜．A．120 B．180 C．240 D．360【分析】分别得到快钟和慢钟在标按时间里回到12点的时间，求出其最小公倍数即可．【解答】解：24×60÷8＝180（个）；﹣﹣﹣﹣快钟每隔180个昼夜在标按时间里回到12点；24×60÷4＝360（个）；﹣﹣﹣﹣慢钟每隔360个昼夜在标按时间里回到12点；180和360的最小公倍数为360．故选：D．【点评】本题通过实际问题考查了最小公倍数，得到两个失准的时钟再次回到标按时间的时间是解题的核心．15．某班学生不足50人，在一次数学测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则不及格的学生有（）A．0人 B．1人 C．3人 D．8人【分析】在一次数学测验中有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则总人数一定能被2、3、7整除，求出2、3、7的最小公倍数，再找出小于50的即可解答．【解答】解：2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数中小于50的只有42，故全班有42人，42×（1﹣）＝1人．故选：B．【点评】本题重要考查3个数的最小公倍数的求法，纯熟掌握求最小公倍数的措施是解题的核心．16．古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个中文和地支的12个中文对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个次序得来的，如公历是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）A．是 B．是2031年 C．是2043年 D．没有对应的年号【分析】首先求得10与12的最小公倍数60．因而从丁亥年开始算，即可判定是否有甲亥年，详细是哪年．【解答】解：∵10与12的最小公倍数为60，∴按照天干与地支组合循环60次后又开始循环．故只要检测这60年即可．可知没有甲亥年．故选：D．【点评】本题考查最小公倍数．处理本题的核心是了解题意，天干地支循环是60年（天干与地支的最小公倍数），再重新循环．17．用（a，b）表示a，b两数的最大条约数，[a，b]表示a，b两数的最小公倍数，例如（4，6）＝2，（4，4）＝4．[4，6]＝12，[4，4]＝4，设a，b，c，d是不相等的自然数，（a，b）＝P，（c，d）＝Q，[P，Q]＝X；[2，6]＝M，[c，d]＝N，（M，N）＝Y．则（）A．X是Y的倍数，但X不是Y的约数 B．X是Y的倍数或约数都有也许，但X≠Y C．X是Y的倍数、约数或X＝Y三者必居其一 D．以上结论都不对【分析】依照题意和最大条约数和最小公倍数的有关知识依次判断即可．【解答】解：A、取a，b，c，d为4，3，2，1，则X＝1，y＝2，X是y的约数，取a，b，c，d为4，2，3，1，则X＝2，y＝1，X是y的倍数，故本选项错误；B、再取a，b，c，d为5，3，2，1，则X＝y＝1，故本选项错误；C、再取a，b，c，d为6，3，2，1，则X＝3，y＝2，X既不是y的倍数也不是y的约数，故本选项错误；故选：D．【点评】本题考查了最大条约数和最小公倍数，紧记概念是核心．18．和3002的最大条约数是（）A．1 B．7 C．11 D．13【分析】先把两数的条约数找出来，再找出最大条约数即可．【解答】解：∵和3002的条约数是1，∴和3002的最大条约数是1．故选：A．【点评】本题考查了最大条约数的概念以及两个数最大条约数的求法，紧记概念是解题的核心．19．360×473和172×361这两个积的最大条约数是（）A．43 B．86 C．172 D．4【分析】处理此类问题一般需要将这两个式子分解质因数，但因为361是一个质数，我们只要将172分解，再看一看前面的式子中有无这几个质因数就不难得出答案．【解答】解：∵361是质数且不能被473整除，172＝2×2×43，473＝43×11，360＝4×90，∴360×473和172×361这两个积的最大条约数是4×43＝172．故选：C．【点评】此题重要考查最大条约数的求法，纯熟掌握特殊的最大条约数的求法是解题的核心．20．在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33 B．34 C．35 D．37【分析】在1﹣n之间，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，同时能被2和3整除的数有个．【解答】解：在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有100÷2＝50（个）；能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有100÷6≈16（个），因此，能被2整除但不能被3整除的数的个数是50﹣16＝34（个）．故选：B．【点评】本题重要考查了有有关最大条约数与最小倍数的一道题．最小公倍数：①6及6的倍数能同时被2和3整除；②10及10的倍数能同时被2和5整除；③15及15的倍数能同时被3和5整除；④30及30的倍数能同时被2、3和5整除．21．用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，最少需要（）块．A．6 B．8 C．12 D．16【分析】45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求．【解答】解：∵[45，30]＝90（cm），∴所求正方形的面积是：90×90＝8100（cm）2，∴铺成该正方形所需的砖的块数为：8100÷（45×30）＝6（块）；故选：A．【点评】本题重要考查了最小公倍数在实际生活中的应用．22．的正约数的个数是（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】先分解质因数＝3×23×29，然后依照约数个数定理来解答．【解答】解：∵＝3×23×29，∴的约数应为8个：1，3，23，29，3×23，3×29，23×29，．故选：D．【点评】本题考查了最大条约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约数个数定理：对于一个数a能够分解质因数：a＝a1•a22a33…则a的约数的个数就是（r1+1）（r2+1）（r3+1）…需要指出来的是，a1，a2，a3…都是a的质因数．r1，r2，r3…是a1，a2，a3…的指数．例如，360＝23×32×5，因此360约数的个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）＝24个．23．所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，能够相同，但a≠0）的最大条约数是（）A．1001 B．101 C．13 D．11【分析】首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大条约数．【解答】解：∵100000a+10000b+1000c+100a+10b+c＝100100a+10010b+1001c＝1001（100a+10b+c）1001是四位数，比100a+10b+c大，∴最大条约数一定是1001．故选：A．【点评】此题重要考查了最大条约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是处理问题的核心．24．设a与b是正整数，且a+b＝33，最小公倍数[a，b]＝90，则最大条约数（a，b）＝（）A．1 B．3 C．11 D．9【分析】假设出（a，b）＝x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的条约数，得出x的值是x＝1或x＝3，深入利用数的整除性知识进行分析，得出符合要求的答案．【解答】解：令（a，b）＝x，则x是a，b，a+b及[a，b]的条约数，故x是33和90的条约数，知x＝1或x＝3．当x＝1时，a与b互质，而a+b＝33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而[a，b]＝90，阐明a、b最少有一个能被3整除．当a能被3整除，由a+b＝33，则b也能被3整除，故（a，b）≠1，即x≠1．当x＝3时，即有（a，b）＝3，∴ab＝x[a，b]，ab＝3×90＝32×5×6，而a+b＝33，∴a＝15，b＝18，（a，b）＝3．故选：B．【点评】此题重要考查了数的整除性以及最大条约数和互质等知识，利用整除性得出a，b的关系是处理问题的核心．25．三角形三边长a，b，c都是整数，且[a，b，c]＝60，（a，b）＝4，（b，c）＝3（注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大条约数），则a+b+c的最小值（）A．30 B．31 C．32 D．33【分析】首先分解60＝3×4×5，得出a，b，c中含的因数有4，3，5，由（a，b）＝4，（b，c）＝3得出a的最小值是4，b的最小值是3×4，进而得出c的最小值是3×5，从得出a+b+c的最小值．【解答】解：∵60＝2×2×3×5，∵（a，b）＝4，（b，c）＝3，∴a与b是4的倍数，b，c是3的倍数，∵[a，b，c]＝60，即a，b，c的最小公倍数是60，∴a，b，c中含的因数有4，3，5，∴当a＝4，b＝4×3＝12，c＝3×5＝15时，a+b+c的最小值是：4+4×3+3×5＝31．故选：B．【点评】此题重要考查了最大条约数与最小公倍数，得出a，b，c的最小值，是处理问题的核心．26．若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（）A．9，10，11 B．10，11，12 C．11，12，13 D．12，13，14【分析】设这三个数为x，x+1，x+2，依照三个连续自然数的最小公倍数为660，可得x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又由660＝2×2×3×5×11，即可得出答案．【解答】解：设这三个数为x，x+1，x+2，∵三个连续自然数的最小公倍数为660，∴x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又∵660＝2×2×3×5×11，∴这三个数分别10，11，12，故选：B．【点评】本题考查了最小公倍数，难度一般，核心是把660分解成几个质数的乘积，然后依照题意求解．27．105的负约数的和等于（）A．﹣105 B．﹣87 C．﹣86 D．﹣192【分析】只要考虑105的负约数肯定有﹣1和﹣105，两个加起来就﹣106，因此A、B、C肯定不符合答案．【解答】解：∵105＝（﹣1）×（﹣105），＝（﹣3）×（﹣35），＝（﹣5）×（﹣21），＝（﹣7）×（﹣15），∴105的负约数有﹣1、﹣105、﹣3、﹣35、﹣5、﹣21、﹣7、﹣15，∴﹣1﹣105﹣3﹣35﹣5﹣21﹣7﹣15＝﹣192．故选：D．【点评】本题考查了一个数的条约数，即将这个数写成几个数的积的形式，这几个数为它的因数．28．设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大条约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（）A．p≥q≥a＞b B．q≥a＞b≥p C．q≥p≥a＞b D．p≥a＞b≥q【分析】依照两个数的最大条约数与最小公倍数的关系判定即可．【解答】解：∵（a，b）＝p且[a，b]＝q，∴p|a且p|b，即a|q且b|q．∴q≥a＞b≥p．故选B．【点评】本题重要考查最大条约数与最小公倍数，两个数的最大条约数最小是一，最大是其中较小的数，两个数的最小公倍数最大是他们的积，最小是其中较大的数．29．两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273 B．819 C．1199 D．1911【分析】先对273分解质因数273＝3×7×13，因此，两个数为3，7，13中的任意两数的乘积．【解答】解：∵273＝3×7×13，∴这两个数为3，7，13中的任意两个数的乘积，∴有3，7，13，21，39，91，273这七个数，又∵两数和为60，∴这两个数为21，39，因此乘积为21×39＝819．故选：B．【点评】本题重要考查了有有关最大条约数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用273分解质因数，然后利用“凑项法”解答．30．下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大条约数不小于等于a B．正整数a和b的最小公倍数不小于等于ab C．正整数a和b的最大条约数小于等于a D．正整数a和b的公倍数不小于等于ab【分析】利用特殊值法进行排除，例如3是6和9的条约数，小于6，因此正整数a和b的最大条约数不小于等于a，同理可得出符合要求的答案．【解答】解：A、3是6和9的条约数，小于6，因此排除A；B、6和9的最小公倍数是18，小于54，因此排除B；C、正整数a与b的最大条约数小于等于a是成立的；故C正确；D、6和9的最小公倍数是18，小于54，因此排除D；故选：C．【点评】此题重要考查了最大条约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是处理问题的最简捷措施．31．祖孙两人的年龄都是合数，来年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（）A．70岁、23岁 B．69岁、22岁 C．115岁、14岁 D．114岁、13岁【分析】首先先了解下合数质数的概念质数：除了1和它自身外，没有别的因数的数是质数．合数：除了1和它自身外，尚有别的因数的数是合数．再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后确定其答案．【解答】解：1610/2＝805，805/5＝161，161/7＝23，因此由来年他们的岁数相乘是1610，可得1610＝2×5×7×23．这里能够确定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别是（1）2和805，（2）5和322，（3）7和230，（4）35和46．假设孙子来年的年龄是2×7＝14，那么今年孙子来年的年龄是14﹣1＝13（质数）与已知矛盾，不成立．假如由1610＝2×5×7×23，设孙子来年的年龄是23，那么爷爷来年的年龄是2×5×7＝70．又23﹣1＝22，70﹣1＝69，22、69都是合数符合题意．故选：B．【点评】此题重要考查了学生对质数、合数意义的了解和掌握．此题核心是把1610写成几个质数的积的形式．二．填空题（共10小题）32．记2的所有正约数为d1，d2，…，dm，则++…+＝．【分析】先针对于22的3个正约数，对于32的3个正约数，对于42的5个正约数，对于52的3个正约数，对于62的9个正约数分别计算，找出n2的正约数的个数的规律（假如n2分解质因数为ae×bf×ch，那么正约数的个数为（e+1）（f+1）（h+1），和所求结论的规律则+++…+＝，规律，即可得出结论．【解答】解：对于22的（2+1）＝3个正约数1，2，22，有++＝；对于32的（2+1）＝3个正约数1，3，32，有++＝＝；对于42＝24的（4+1）﹣5个正约数1，2，22，23，24，有++++＝．对于52的（2+1）＝3个正约数1，5，52，有++＝，对于62＝22×32的（2+1）（2+1）＝9个正约数1，2，22，3，32，2×3，22×3，2×32，22×32，有++++++++＝，……即：若n2的所有正约数为d1，d2，d3，d4，…，dm，则+++…+＝∵2＝210×34×72∴m＝（10+1）（4+1）（2+1）＝m＝165，∴当n＝时，++…+＝＝，故答案为．【点评】此题是约数与倍数，重要考查了一个正整数的平方的正约数确实定，以及正约数的个数确实定，找出规律是解本题的核心，也是难点．是一道比较难度比较大的规律题．33．清溪汽车站开设三条线路的公共汽车，①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，假如他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次同时开出的时间是7点36分．【分析】要解答本题只要求出4、6、9的最小公倍数就能够了，也就是说4、6、9的最小公倍数就是同时开出的循环时间，而4、6、9的最小公倍数是36，则下次同时开出的时间是36分钟时，这么就能够得出结论．【解答】解：∵①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，而4、6、9的最小公倍数是36，∴同时开出的时间是7点36分．故答案为：7点36分．【点评】本题考查了最大条约数和最小公倍数的知识，重点是解答中确定最小公倍数的措施“短除法”的利用．34．锐角三角形ABC的三边长BC＝a，CA＝b，AB＝c．a、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大条约数为2，a+b+c＝，则△ABC的周长为6或35．【分析】由题目可知，c＝﹣（a+b）＝，因为三角形中，有a+b＞c，则﹣（a+b）＝＜a+b，整顿得：3ab＜（a+b）2＜6ab，因为ab≤（）2，因此（a+b）2≥4ab，假设（a+b）2＝4ab，则a＝b，因为a，b的最大条约数为2，因此a＝b＝2，代入a+b+c＝，得c＝2，符合题意．当△ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，从而求出△ABC的周长．【解答】解：三角形中，有a+b＞c，则﹣（a+b）＝＜a+b，整顿得：3ab＜（a+b）2＜6ab，因为ab≤（）2，因此（a+b）2≥4ab，假设（a+b）2＝4ab，则a＝b，因为a，b的最大条约数为2，因此a＝b＝2，代入a+b+c＝，得c＝2，符合题意．则△ABC的周长＝2+2+2＝6．当△ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，满足a+b+c＝，则△ABC的周长＝10+14+11＝35．故答案为：6或35．【点评】考查了最大条约数与三角形三边关系，本题得到a＝b，依照a，b的最大条约数为2，得到a＝b＝2是解题的核心，题目较难．35．记者向五羊初级中学校长问询学生人数，校长回答说不足5000人，其中初一、初二、初三分别占，，，余下的是尤其设置的“奥林匹克班”的学生，学校在学生中成立了数学兴趣者协会，会员包括了初一学生的，初二学生的，初三学生的，而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学兴趣者协会总人数为183．【分析】设五羊初级中学中有x名学生，则数学兴趣者协会中初一学生为×x＝x，初二学生为×x＝x，初三学生为×x＝x，找到120，56，45的最小公倍数，依照学生人数不足5000人，求解即可．【解答】解：设五羊初级中学中有x名学生，则数学兴趣者协会中初一学生为×x＝x，初二学生为×x＝x，初三学生为×x＝x，∵120，56，45的最小公倍数是2520，∴五羊初级中学中有2520名学生，∴数学兴趣者协会总人数为（x+x+x）÷（1﹣）＝183名．故数学兴趣者协会总人数为183．故答案为：183．【点评】考查了最大条约数与最小公倍数的应用，此题贴近学生生活，核心是找到120，56