专题2.10圆的有关性质大题专练（培优强化30题）（解析版）

一、解答题12021·福建·平潭翰英中学九年级期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.(1)求证：∠DAC=∠DBA；(2)求证：P是线段AF的中点；(3)连接CD，若CD＝6，BD＝8，求⊙O的半径和DE的长.【答案】【答案】(1)见解析(2)见解析(3)半径是2.5；DE=2.4【分析】（1）利用角平分线的定义得出∠CBD=∠DBA，根据∠DAC=∠CBD，得出∠DAC=∠DBA；（2）利用圆周角定理推论得出∠ADB=90°,根据∠3的余角是∠1和∠5，得到∠1=∠5，根据∠2=∠5，得到∠1=∠2，推出PD=PA，根据∠2和∠4互余，∠3和∠5互余，∠2=∠5，推出∠3=∠4，推出PD=PF，即可得出答案；（3）连接CD，根据∠DAC=∠DBA=∠DCA，推出CD=AD=3，根据∠ADB=90°,BD=4，利用勾股定理求得AB的长，再求出圆半径的长，最后利用△ABD面积求出DE的长即可.∵BD平分∠CBA，“AB为直径，:上ADB=90°,“DE丄AB于E，:上DEB=90°,:上1+上3=上5+上3=90°,:上1=上5=上2，:PD=PA，“上4+上2=上1+上3=90°,:上3=上4，:PD=PF，:PA=PF，即P是线段AF的中点；连接CD，“上DAC=上DBA=上DCA，:CD=AD=3，“上ADB=90°,BD=4:AB=AD2+BD2=5，故ΘO的半径为2.5，:5DE=3×4，:DE=2.4.即DE的长为2.4.【点睛】本题主要考查了角平分线，圆周角定理，直角三角形，余角，等腰三角形，勾股定理，三角形面积公式，解决问题的关键是熟练掌握角平分线定义，圆周角定理及推论，直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等，等角对等边，用勾股定理解直角三角形，用三角形面积公式求线段长.22021·北京·九年级期中）已知AB是OO的直径，C为OO上一点，连接BC，过点O作OD丄BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F.(2)如图2，连接OF，若OF丄AB，DF=1，求AE的长.【答案】(1)见解析；(2)AE=6【分析】（1）根据AB是直径，得到∠ACB=90。，推出∠AEO=∠OAE，由此得到结论；度角的性质分别求出EF、AF的长即可.(1)证明：如图1中，:OE//AC，(2)解：如图2中，:FA=FB，:FO=EF，:EF=OF=2DF=2，AF=2OF=4，::AE=AF+EF=4+2=6.【点睛】本题考查圆周角定理，直角三角形30度角的性质，解题的关键是学会利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型.32022·全国·九年级单元测试）问题提出（1）如图①,OO的半径为8，弦AB=83，问题探究（2）如图②,OO的半径为5，点A、B、C都在OO上，AB=8，求△ABC面积的最大值.问题解决（3）如图③,是一圆形景观区示意图，OO的直径为80m，等腰直角三角形ABP的边AB是OO的弦，直角顶点P在OO内，延长AP交OO于点C，延长BP交OO于点D，连接CD、AD、BC．现准备在△ABP和△CDP区域内种植草坪，在△ADP和△BCP区域内种植花卉．记△ABP和△CDP的面积和为S1，△ADP和△BCP的面积和为S2.①求种植草坪的区域面积S1.②求种植花卉的区域面积S2的最大值.【答案】（【答案】（1）82）323）①S1=1600m2，②1600m2.【分析】（1）作OC丄AB交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；（2）作CD丄AB交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候△ABC面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出CD=OC+OD=8，进一步可求出△ABC的面积；（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出S1=AP2+CP2=AD2；②表示出S2=AP.DP，利用【详解】解：作OC丄AB交AB于点C，连接OA，由垂径定理可知：AC=BC=43，（2）作CD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵AB=8，若使△ABC面积最大，则CD应最大，∴当CD经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理可知：AD=BD=4，（3）①连接OD，OA，则OD=OA=40m，∵△ABP是等腰直角三角形，∴∠ABP=45°,∴∠AOD=90°,即△AOD是等腰直角三角形，∴AD=OA2+OD2=402m，∵∠DCP=∠ABP=45°,∠APB=∠CPD=90°,∴△CDP是等腰直角三角形，∵S△ABP=AP2，S△CDP=DP2，∴S1=AP2+DP2=AD2=1600m2，②由①可知：S2=⋅AP⋅DP+⋅BP⋅CP=AP⋅DP，设AP=x，DP=y，故S2=xy，∵(x−y)2=x2+y2−2xy≥0，∴xy≤,当x=y时，等号成立，∴S2=xy≤,当AP=DP时，S2有最大值为1600m2.【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质3）小问较难，解题的关键是表示出S1=AP2+CP2=AD2，求出AD，利用完全平方公式求出S2=xy≤.42022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.(1)(1)求证：AB=AC.(2)若BD=18，DE=2，求CD的长.【答案】(1)见解析(2)14用AD平分∠BDF，可以得到∠ADF=∠ADB，从而得出∠ABC=∠ACB，即证明AB=AC；即可求得CD长.∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB.∴AB=AC.如图，过点A作AG⊥BD于点G.∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°.又∵AD=AD，∴△AED≌△AGD(HL)，∴GD=ED=2.AB=AC在Rt△AEC和Rt△AGB中，AE=AB=AC∴△AEC≌△AGB(HL)，∴BG=CE.∴CD=CE-DE=16-2=14.【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键.52022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）△ABC内接于⊙O，连接OB，∠ACB=2∠OBC.(1)如图1，求证：CA=CB；(2)如图2，点D在⊙O外，BD⊥OB，CD∥OB，求证：∠BAC+∠BCD=90°;(3)如图3，在（2）的条件下，点E在圆周上（若与点C位于AB的两侧连接EB、EC，若∠ABE=2∠BAC，BC=EC，CD=3，求⊙O的半径长.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)⊙O的半径长为【分析】（1）利用圆的两个半径构成的三角形是等腰三角形，最后用等腰三角形性质即可得出结论；（2）先判断出∠CFB=90°,进而得出∠OBD=90°,再判断出∠BCD=∠ODB，进而判断出∠CAB=∠CBA，即可得出结论；（3）先判断出∠ABE=∠AEB，进而判断出△AEM≌△ABN，得出CE-CM=CB+CN，再判断出CM=CN，最后用勾股定理求出BC，即可得出结论.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA，∵∠ACB=2∠OBC，∴∠OCA+∠OCB=2∠OBC，∴∠OCA=∠OBC=∠OCB=∠OAC，∴∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OBC，∴∠CAB=∠CBA，如图2，连接CO并延长AB交于F，∴∠ABE=∠AEB，∴△AEM≌△ABN，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD2=BC2−CD2=9a2−3，在Rt△CAM和Rt△AEM中，根据勾股定理得，AE2−EM2=AC2−CM2，即：49a2−3−(4a)2=(3a)2−a2，解得a=1或a=−1（舍连接OC交AB于G,在Rt△BCG中，根据勾股定理得，CG=3，设设OB=r，在Rt△BOG中，r2=(r−3)2+(6)2，【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形和全等三角形是解本题的关键.62021·湖南长沙·九年级阶段练习）如图，已知抛物线y=mx2−8mx−9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，-3∠ACB=90°,过A，B，C三点作⊙O'，连接AC，BC.(1)求⊙O'的圆心O'的坐标；(2)点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O'于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)点O'的坐标为（4，0）(2)点D的坐标为（4，-5直线BC的表达式为x-3，直线BD的表达式为：y=x-9；(3)存在9+41，41−29）或（14，25）【分析】（1）求出点A、B的坐标，利用O'为AB的中点，即可求解；（2）证明∠O'DB=90°,即O'D⊥AB，即可求解；（3）分点P在直线BD下方、P在BD的上方两种情况，分别求解即可.解：y=mx2−8mx−9m，令y=0，解得：x=-1或9，∵过A，B，C三点作⊙O'，故O'为AB的中点，∴点O'的坐标为（4，0圆的半径为AB=5，故点D的坐标为（4，-5设直线BC的表达式为：y=kx+b，则解得故直线BC的表达式为：yx-3，同理可得直线BD的表达式为：y=x-9；∴抛物线的表达式为：y=x2−x−3①,①当点P（P'）在直线BD下方时，∵∠PDB=∠CBD，∴DP'∥BC，则设直线DP'的表达式为：yx+t，将点D的坐标代入上式并解得：t=-，故直线DP'的表达式为：yx-②,联立①②并解得舍去负值②当点P在BD的上方时，由BD的表达式知，直线BD的倾斜角为45°,以BD为对角线作正方形DMBN，边MB交直线DP'于点H'，直线DP交NB边于点H，对于直线DP'：yx-，当x=9时，y=-，即BH'=，根据点的对称性知：BH=BH'=，故点H由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y=3x-17③,联立①③并解得：x=3或14（舍去3故点P的坐标为（14，25故点P的坐标为或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、正方形的性质、圆的基本知识等，综合性强，难度较大.72022·江苏淮安·九年级期中）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形.(1)如图1，点C是弧BD的中点，∠DAB是弧BD所对的圆周角，AD>AB，连接AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形.(2)如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A=∠D，AC=DF，BC=EF，猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以△ABC与△DEF为例说明)；(3)如图3，△ABC内接于⊙O，AC=6，∠A=30°,∠C=45°,若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD>CD，求AD的值.【答案】(1)见解析(2)互补，理由见解析【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得出BC=CD，再由公共边AC即可证明△ACB与△ACD是偏等三角形；（2）在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG．易证△ABC≅△DGF(SAS)，得出∠B=∠DGF，BC=GF，从而得出GF=EF，再根据等边对等角可知∠E=∠FGE．最后由邻角互补即∠DGF+∠FGE=180°,可求出∠B+∠E=180°,即另一组等边的对角互补；（3）分类讨论：①当BC=CD时和②当AB=CD时，再由圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可解答.∵点C是弧BD的中点，∴BC=CD，∠BAC=∠DAC.又∵AC=AC，∴△ACB与△ACD是偏等三角形；如图，在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG.由题意可知在△ABC和△DGF中，∴△ABC≅△DGF(SAS)，∵BC=EF，∴GF=EF，∴∠E=∠FGE.∵∠DGF+∠FGE=180°,故答案为：互补；分类讨论：①当BC=CD时，如图，∴∠DAC=30°.∵∠ABC=180°−∠CAB−∠ACB=105°,∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−105°=75°,∴∠ADC=∠ACD，∠ACD>∠DAC，∴AD=AC=6；②当AB=CD时，如图，过点D作DE⊥AC于点E，∴∠DAC=45°,∴AE=DE，∠ACD=180°−∠DAC−∠ADC=180°−45°−75°=60°,∴∠ACD>∠DAC，∴AD>CD，符合题意.设CE=x，则AE=DE=3X，综上可知AD的值为6或92−36.【点睛】本题考查新定义，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等知识．理解偏等三角形的定义是解题关键.82020·河南·新乡市第十中学九年级期中）已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D为⊙O上异于A、C的一点.(1)若AD＝CD，上ADC＝130°,则上DAB=.【答案】(1)65°(2)见解析【分析】（1）连接BC，先求出上DAC，上CAB可得结论.（2）先证明OD丄AC，利用垂径定理，可得结论.」AB是直径，:上ACB＝90°,」DA＝DC，上ADC＝130°,」上ADC+上ABC＝180°,:上ABC＝180°-130°=50°,:上CAB＝90°-50°=40°,:上DAB＝上DAC+上CAB＝25°+40°=65°,故答案为：65°.:上ACB＝90°,即ACⅡCB」ODⅡBC，:OD丄AC，【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，圆的性质，熟练掌握垂径定理，圆的内接四边形性质是解题的关键.92022·全国·九年级单元测试）【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积，则四边形ABCD的面积【应用】如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；【灵话运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，∠CAB=∠ACB=∠BDC=60°,四边形ADBC的面积为43，则线段CD=.【答案】（【答案】（1）92）83）4【分析】（1）根据∠ABC+∠ADC=180°可得∠ABC=∠ADE，根据AB=AD,BC=DE证明△ABC≌△ADE进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积，根据∠ACD=45°,AC=32，即可求解.（2）由△ACD旋转得到△BCE，可得△ACD≌△BCE，根据∠CAD+∠CBD=180°,可得∠CBD+∠CBE=180°,根据（1）的模型即可求解.（3）根据（1）的模型可得S四边形ADBC=S△ADC+S△BDC=S△BEC+S△BDC=S△DCE，根据等边△CDE的面积为43，即可求解.:△ABC≥△ADE，:S△ABC=S△ADE，:S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ADE+S△ADC=S△ACE，:△ACE是等腰直角三角形，:S四边形ABCD=S△ACE=2×32)=9，故答案为：9（2）解：如图，△ACD旋转得到△BCE，使得AC与BC重合，∵AB是直径，∵△ACD旋转得到△BCE，∴△ACD≥△BCE，∵点A、C、B、D在OO上，∴D、B、E三点共线∴四边形ADBC的面积=S△ACD+S△BCD=S△OCE+S△BCD=S△OCE=×DC×CE=×4×4=8.（3）如图，将△ADC绕点C旋转使得AC与BC重合，∵△ACD旋转得到△BCE，∴△ACD≥△BCE，:△ABC是等边三角形，:A,B,C,D四点共圆”△ACD≥△BCE，:S△ACD=S△BCE，2:S四边形ADBC=S△ADC+S△BDC=S△BEC+S△BDC=S△DCE=CD)，:CD=4，故答案为：4.【点睛】本题考查了旋转的性质，直径所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，勾股定理，全等的性质，理解题意，转化四边形的面积为三角形的面积是解题的关键.102021·江西景德镇·九年级期中）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O内一点，请用无刻度直尺完成下列作图.(1)如图①,在△ABC中，作出BC边的高AD.(2)如图②,在△ABC中，作出AB边的高CF.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，延长BC交⊙O于点D，连接AD，则AD丄BC，AD即为所求，（2）根据直径所对的圆周角是直角，以及三角形的三条高线交于同一点C，延长AC，交⊙O于点E，延长BC交⊙O于点D，延长AD,BE交于点G，作射线GC，交AB于F，则DF丄AB，CF即为所求.CF即为所求【点睛】本题考查了作三角形的高，直径所对的圆周角是直角，垂心的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.112021·山东·无棣县教育科学研究中心九年级期中）如图，在⊙O中CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.(1)求证：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°,OA＝2，求四边形DOEC的面积.【答案】【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC=∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案.证明：连接OC，∴∠AOC=∠BOC，∴△OCD的面积×OD×CD=同理可得，△OCE的面积=×OE×CE=,∴四边形DOEC的面积【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.122022·江西景德镇·九年级期中）如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请用无刻度直尺完成下列作图.(1)如图1，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余（并标记）.(2)如图2，已知ADⅡBC交⊙O于点D，过点A作AE将∠BAC平分.【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】（1）根据圆周角定理及其推论“直径所对的圆周角为直角”即可作图；（2）连接CD交AB于点F．连接FO，并延长交⊙O于点E．根据在⊙O中ADⅡBC易证四边形ADBC为等腰梯形，即可判定FE垂直平分BC，得出=，即得出∠BAE=∠CAE，即AE将∠BAC平分.(1)连接CO（或BO）并延长，交⊙O于点P（或Q连接BP（或CQCP（或BQ则∠BCP（或∠CBQ）与∠CAB互余.标记如图.(2)如图，连接CD交AB于点F．连接FO，并延长交⊙O于点E，连接AE即可.【点睛】本题考查作图—复杂作图．涉及圆周角定理及其推论，等腰梯形的判定和性质，垂径定理．熟练掌握圆的相关知识是解题关键.132022·湖南·九年级期中）如图，∠A的两边分别交⊙O于D、B、C、E四点，AE＝AD，连接CD、BE交于点F，连接BC、DE.(1)请写出三对全等三角形（不再添加任何线或字母(2)任选一对全等三角形加以证明.【答案】【答案】(1)△ABE≌△ACD，△BCE≌△CBD，△EFC≌△DFB(2)见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，找出全等的三角形即可；（2）根据全等三角形的判定定理，选取△ABE≌△ACD加以证明.△ABE≌△ACD，△BCE≌△CBD，△EFC≌△DFB；△ABE≌△ACD；理由如下：在△ABE和△ACD中，∠ABE=∠ACDAE=AD∴△ABE≌△ACD.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.142021·浙江·嵊州市三界镇中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E.(1)求证：BD=CD.(3)过点D作DF丄AB于点F，若BC=8，AB=10，求DF的长.【答案】(1)证明见解析；,计算求解即可.(1)证明：如图，连接AD、OD、OE(2)(3)解得【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用.152022·浙江·九年级单元测试）如图，AB是OO直径，弦CD丄AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的(2)若CD=EG=8，求OO的半径.【答案】【答案】(1)见解析(2)5即可得证；（2）连接OC，设OO的半径为r，则OA=OC=r，再根据等腰三角形的三线合一可得AE=EG=8，根据垂径定理可得EC=ED=1CD=4，从而可得OE=8一r，然后在Rt△OEC中，利用勾股定理求解即可得.2∵∠DBE=∠GBF，解：如图，连接OC，设⊙O的半径为r，则OA=OC=r，∵CA=CG，CD⊥AB，CD=EG=8，∴AE=EG=8，EC=ED=CD=4，∴OE=AE−OA=8−r，在Rt△OEC中，OC2=OE2+EC2，即r2=(8−r)2+42，解得r=5，∴⊙O的半径为5.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键.162022·全国·九年级单元测试）如图，已知ABCD是某圆的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM.【答案】见解析【分析】在MA上截取ME=MC，连接BE，利用圆周角定理易得△ABE≈△DBC(AAS)，利用三角形的性质得到AE=CD即可求解.【详解】证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，:BE=BC，:<BEC=<BCE.:AB=BD，:<BCE=<BAD.:<BEA=<BCD.:ΔABE≈ΔDBC(AAS)，:AE=CD，【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键.172021·广东·广州市第二中学南沙天元学校九年级阶段练习）如图1，点D为△ABC的外接圆上的一动点（点D在上，且不与点A，C重合∠ADB=∠BAC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)连接CD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，记BD与AC交于点E，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接MN，若AB＝6，求MN的最小值.【答案】(1)见解析(2)BD＝AD+CD，理由见解析2(3)2【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝60°,由等边三角形的判定可得出结论；（2）把△BCD绕点B逆时针旋转至△BAM，如图1，证出△BDM是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论；（3）取BE的中点O，以O为圆心，OB的长为半径作圆，连接OM，ON，过点O作OH⊥MN于点H，求出∠MOH=∠MON＝60°,由直角三角形的性质求出BE的长，则可得出答案.∴△ABC是等边三角形；理由如下：把△BCD绕点B逆时针旋转至△BAM，如图1，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∵∠BAM=∠BCD，∴M，A，D三点共线，∴△BDM是等边三角形，解：如图2，取BE的中点O，以O为圆心，OB的长为半径作圆，∴M，N在圆O上，连接OM，ON，过点O作OH⊥MN于点H，∴当BE⊥AC时，BE最小，此时BE的最小值为×6＝33，∴MN的最小值为×33=.【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握等边三角形的判定与性质.182022·贵州六盘水·中考真题）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图.(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m(2)若∠COD=162°,点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.【答案】【答案】(1)14.2m(2)∠CMD=99°,因为CD在∠CMD的内部，所以点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况【分析】（1）根据垂径定理可得CD=14，勾股定理解Rt△OBC，即可求解；内接四边形对角互补即可求解．根据因为CD在∠CMD的内部，所以点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.设半径为r，则OB=r−AB=r−12r2=(r−12)2+142因为CD在∠CMD的内部，所以点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键.192021·河南洛阳·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,以边AC上一点O为圆心，以OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.(2)填空：①当∠AOE为度时，四边形ABDE是菱形；②当∠AOE为度时，△ADE是直角三角形.【答案】【答案】(1)证明见解析(2)(2)①120；②180或60∠∠AED=90°去分析求解即可求得答案.解：①当解：①当<AOE=120。时，四边形ABDE是菱形.设设DE交AC于点M，∴∠DAO=∠ADO=30°.∵四边形ABDE是菱形，∠BAC=90°∴DE∥AB，故答案为：120；②∠AOE=180°或60°时，△ADE是直角三角形，若∠ADE=90°,则点E与点F重合，此时∠AOE=180°,∴AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°∴△ADE是直角三角形；若∠DAE=90°,则DE是⊙O的直径，∴△ADE是直角三角形；∵AD不是⊙O的直径，∴∠AED≠90°,∴此时△ADE不是直角三角形综上可得：当∠AOE=180°或60°时，△ADE是直角三角形.故答案为：180，60.【点睛】本题属于圆的综合题．考查了菱形的性质、直角三角形的判定和性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质等知识．注意利用分类讨论思想求解是解此题的关键.202022·江西赣州·九年级期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是OO的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出<AOD的角平分线OP；(2)如图2，已知AB是OO的直径，点C是的中点，ABⅡCD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交OO于点P，OP即为所求；（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P，四边形ABPD即为所求.解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交OO于点P，OP即为所求；:AF=DF，如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P，四边形ABPD即为所求；:DE=EB，:<ABE=<PDE，在△ABE与△PDE中，<ABE=<PDEDE=BE:△ABE≥△PDE，:AB=DP，:四边形ABPD是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键.212022·上海奉贤·二模）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度.(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB求该手机的宽度.【答案】(1)支撑杆CD的高度为9cm.(2)手机的宽度为8cm.【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,由OD⊥AB,先求解OD,从而可得答案；（2）如图，记圆心为O，连结OA，证明AE=CD=BF=AB,设AD=BD=X,则AE=CD=BF=AB=2X,则OD=2X−5,再利用勾股定理建立方程求解即可.解：如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,∵CD⊥AB,即OD⊥AB,∴AD=BD=3,所以此时支撑杆CD的高度为9cm.解：如图，记圆心为O，连结OA，由题意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,∴四边形AEFB为正方形，∵CD⊥EF,∴AE=CD=BF=AB,∵CD⊥AB,∴设AD=BD=x,则AE=CD=BF=AB=2x,由勾股定理可得：52=x2+(2x−5)2,解得x1=0,x2=4,经检验x=0不符合题意，舍去，取x=4,AB=8（cm即手机的宽度为8cm.【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键.222022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E.(1)当BC=1时，求线段OD的长；(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；(3)在△DOE中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数，如果不存在，请说明理由.(2)(2)存在，△DOE中，DE的长度保持不变为2(3)存在，△DOE中，∠DOE的度数保持不变为45°【分析】（1）根据垂径定理，可得BD的长度，根据勾股定理，可得答案；（2）利用三角形的中位线定理即可解决问题；（3）利用等腰三角形的性质即可解决问题.∵OD⊥BC在Rt△BOD中OD=存在，连接AB∴△DOE中，DE的长度保持不变为2.存在，∴△DOE中，∠DOE的度数保持不变为45°【点睛】该命题以圆为载体，在考查垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理的同时，还渗透了对动态观念、直觉思维等能力的考查；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求.仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，连接OD，E是弦AB上一点，且DE//AC，请仅用无刻度的直尺，确定出△ABC的内心I（三条角平分线的交点）.【答案】见详解【分析】（1）由于=，则等弧所对的圆周角相等，所以连接AP即可.（2）延长OD交OO于E，根据垂径定理可知，E为的中点，连接AE即可.（3）连接OD延长至点F，连接OE延长至点G，根据垂径定理得：=，=，连接AF，CG，则AF、CG的交点I即为所求.如图所示，连接AP，根据等弧所对的圆周角相等，:<BAP=<CAP.（2）如图所示，延长OD交OO于E，根据垂径定理，可得BD=CD,BE=CE连接根据等弧所对的圆周角相等，:<BAE=<CAE.（3）如图所示，连接OD延长至点F，连接OE延长至点G，D是BC的中点，根据平行线段分线段成比例可得，E为AB的中点；则根据垂径定理得：AG=BG连接AF，CG，根据等弧所对的圆周角相等，则AF、CG分别为∠BAC、∠BCA的角平分线，则AF、CG的交点I即为所求.【点睛】本题考查垂径定理，等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练应用垂径定理.242022·上海普陀·二模）如图，已知矩形ABCD中，AD=5，以AD上的一点E为圆心，EA为半径的圆，经过点C，并交边BC于点F（点F不与点C重合）.(1)当AE=4时，求矩形对角线AC的长；(2)设边AB=x,CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)设点G是的中点，且∠GEF=45°,求边AB的长.【分析】（1）连接CE，AC，由勾股定理可求出答案；（2）过点E作EH⊥BC于点H，连接CE，由矩形的性质得出AB=EH=x，AE=5-y，由勾股定理可求出答（3）当点G在弧CF上时，设EF与AC的交点为M，连接CE，求出∠DEC=30°,由直角三角形的性质可得出答案；当点G在弧AF上时，则点F与点C重合，不合题意.解：连接EC，AC.在Rt△CDE中，由勾股定理得CD2=CE2−DE2=42−12=15.在Rt△ACD中，同理得，过点E作EH⊥BC，垂足为点H.由垂径定理可得y．那么BH=5−由四边形ABHE为矩形，得EH=x,AE=5−y.那么EC=5−y.在Rt△CHE中，由股定理得：化简得①当点G在弧CF上时，设EF与AC的交点为M.同理得<EFC=<ECF.∴CE=2CD②当点G在弧AF上时，则点F与点C重合，不符合题意.【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键.252022·山西·寿阳县教研室九年级期末）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和；(2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO.∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由.【答案】【答案】(1)120°(2)是，见解析【分析】（1）根据四边形内角和以及新定义进行计算即可求解；（2）证明△BED≌△BEO，可得∠BCF=∠BDE，连接OC，设∠EAF=则∠AFE=2∠EAF=2α,根据三角形内角和以及等边对等角可得∠ABC=∠AOC=∠EFC，根据定义即可得证.(1)解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∴3∠B+3∠C=360°.即∠B与∠C的度数之和120°.(2)证明：在△BED和△BEO中，BD=BO∠EBD=∠EBO.BE=BB∴△BED≌△BEO（SAS）.∴∠BDE=∠BOE.又∵∠BCF=∠BOE.如图，连接OC，设∠EAF=α,则∠AFE=2∠EAF=2α.∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=α.∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α,则∠AOC=∠EFC又∵∠ABC=∠AOC∴四边形DBCF是半对角四边形.【点睛】本题考查了几何图形的新定义，四边形内角和，圆内接三角形，圆的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键.262022·江苏·九年级课时练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家.阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦BC>AB，M是AC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD=AB+BD，过程如下：证明：如图2所示，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG.∵M是AC的中点，∴MA=MC，⋯任务：(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=4，D为上一点，∠ABD=45°,AE⊥BD于点E，请直接写出△BDC的周长.【答案】(1)证明见解析；(2)△BDC的周长为42+4即可得出答案；（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS进而得出AF=