2025苏科版高一数学必修一第1章 1.2 第2课时　全集、补集新高一暑假自学课堂第1章 1.2 第2课时　全集、补集含答案

2025苏科版高一数学必修一第1章1.2第2课时全集、补集新高一暑假自学课堂第1章1.2第2课时全集、补集第2课时全集、补集1．了解全集的意义，理解补集的含义．(重点)2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)1．通过补集的运算，培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在学校应用文写作比赛与数学建模大赛中获得过金奖的学生集合为A＝{甲，乙}，那么没有获奖的学生有哪些？若用集合B表示没有获奖的同学，则集合B与S，集合A、B和S之间有怎样的关系？知识点1补集(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁SA＝{x|x∈S，且xA}．(3)图形表示：(4)补集的性质①∁S∅＝S，②∁SS＝∅，③∁S(∁SA)＝A．知识点2全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U．两个不同的集合A、B在同一个全集U中的补集可能相等吗？[提示]不可能相等．因为集合A、B是两个不同的集合，所以必定存在元素在集合A的补集中，但不在集合B的补集中．补集符号∁SA有三层含义：(1)A是S的一个子集，即A⊆S；(2)∁SA表示一个集合，且∁SA⊆S；(3)∁SA是S中所有不属于A的元素构成的集合．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全集一定含有任何元素． ()(2)集合∁RA＝∁QA． ()(3)一个集合的补集一定含有元素． ()(4)研究A在S中的补集时，A可以不是S的子集． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁UA＝{0}，则A＝()A．{－1,1} B．{－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}A[∵U＝{－1,0,1}，∁UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．]3．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________．{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．]类型1全集与补集【例1】(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________．(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________．(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．]常见补集的求解方法1列举求解.适用于全集U和集合A可以列举的简单集合.2画数轴求解.适用于全集U和集合A是不等式的解集.3利用Venn图求解.eq\o([跟进训练])1．(1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，则∁UA等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}(2)设全集U＝{1,2,6,8,9}，集合A＝{1，|a－6|,9}，∁UA＝{6,8}，则a的值是()A．4 B．8C．－4或8 D．4或8(1)C(2)D[(1)∵U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，∴∁UA＝{x|0<x≤2}，故选C．(2)A＝∁U(∁UA)＝{1,2,9}＝{1，|a－6|,9}，∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D．]类型2补集与子集的综合应用【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．[思路点拨]首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁UB，然后再利用A⊆∁UB得关于a的不等式求解即可．[解]若B＝∅，则a＋1>2a－1，所以a<2．此时∁UB＝R，所以A⊆∁UB；若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁UB＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，由于A⊆∁UB，如图，则a＋1>5，所以a>4，所以实数a的取值范围为a<2或a>4．[母题探究](变条件)若将本例中的“A⊆∁UB”改为“B⊆∁UA”，求实数a的取值范围．[解]∁UA＝{x|x<－2或x>5}．因为B⊆∁UA，当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝∅，B⊆∁UA．当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠∅．所以2a－1<－2或a＋1>5，即a>4，综上，a的取值范围为a<2或a>4．1．解决此类问题应注意以下几点(1)空集作为特殊情况，不能忽略；(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；(3)端点值能否取到，应注意分析．2．U是由集合A与∁UA的全体元素所构成，对于某一个元素a，a∈A与a∈∁UA中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性．eq\o([跟进训练])2．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}．(1)求∁UA，∁UB；(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．[解](1)因为A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}，所以借助于数轴知∁UA＝{x|x<3，或x≥10}，∁UB＝{x|x≤2，或x>7}．(2)要使A⊆C，只需a<3即可．所以a的取值范围为{a|a<3}．1．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U等于()A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}C．{6} D．∅A[∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，∴U＝{0,2,4,6}，故选A．]2．(多选题)设集合S＝{x|x>－2}，集合A⊆∁RS，则集合A中的元素可能是()A．－2B．2C．－3D．3AC[因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}，故选AC．]3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列举法表示集合∁SA＝________．{(0,0)}[∁SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．]4．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4<x≤7，x∈N}，则∁AB＝________．{3,4}[由题意知A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴∁AB＝{3,4}．]5．已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且∁UA＝{1,3,5}，则m＝________．4[由已知m∈U，且m∁UA，故m＝2或4．又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2，故m＝4．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．求集合的补集前提是什么？同一集合在不同全集下的补集相同吗？[提示]求集合的补集前提是必须明确全集．同一集合在不同全集下的补集不同．2．本节课主要学习哪些内容？通过内容的学习，哪些核心素养有所提高？[提示]补集和全集的概念及运算．数学运算．3．本节课主要运用了哪些数学方法？你认为哪些地方易出错？[提示]数形结合．求补集时忽视全集，求参数时忽视端点的取舍．课时分层作业(四)全集、补集一、选择题1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|1<x<5，x∈Z}，则集合∁UA＝()A．∅ B．{1,2,5}C．{1,5} D．{1,4,5}C[由于1<x<5，x∈Z，∴A＝{2,3,4}，∴∁UA＝{1,5}．]2．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁UM＝{5,7}，则实数a＝()A．3 B．5C．7 D．8D[由题知a－5＝3，a＝8．]3．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝()A．5B．6C．7D．8C[∵∁U(∁UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7．]4．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于()A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}A[因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．]5．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1A，且k＋1A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5}，由S的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合的个数是()A．4 B．5C．6 D．7D[依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有3个．而S＝{1,2,3,4,5}的三个元素的子集有10个，所以含“孤立元”的集合共有7个．故选D．]二、填空题6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}．则∁UA与∁UB的包含关系是________．∁UA∁UB[由题意∁UA＝{x|x<0}，∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}，故∁UA∁UB．]7．已知全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}．则集合B＝________，∁AB＝________．{－2，－1}{0,1,2}[全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}＝{－2，－1}．∴∁AB＝{0,1,2}．]8．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，则实数a的值为________．2[由已知，得－1∈U，且－1P，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a2＝－1，,a2－a－2＝0，))解得a＝2．当a＝2时，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，满足题意．因此实数a的值为2．]三、解答题9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}，且集合A、B均是U的子集．(1)若∁U(∁UB)＝{0,1}，求实数a的值；(2)若∁UA＝{3,4}，求实数a的值．[解](1)∵∁U(∁UB)＝{0,1}，∴B＝{0,1}，且B⊆U，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－1|＝0，,a－2a－1＝1，))得a无解；或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－1|＝1，,a－2a－1＝0，))得a＝2．∴a＝2．(2)∵∁UA＝{3,4}，又∁UA⊆U，∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，∴a＝4或a＝－2或a＝eq\f(3±\r(13),2)．经验证，当a＝4时，不合题意，舍去．∴所求实数a的值为－2或eq\f(3±\r(13),2)．10．设全集U＝R，A＝{x|3m－1<x<2m}，B＝{x|－1<x<3}，若A∁UB，求实数m的范围．[解]由题意知，∁UB＝{x|x≥3或x≤－1}．(1)若A∁UB，且A≠∅时，则3m－1≥3或2m≤－1，∴m≥eq\f(4,3)或m≤－eq\f(1,2)．又A≠∅，∴3m－1<2m，∴m<1，即m≤－eq\f(1,2)．(2)若A＝∅，则3m－1≥2m，得m≥1．综上所述，m≤－eq\f(1,2)或m≥1．11．(多选题)已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若∁RA⊆C，则a的可能取值为()A．－2 B．2C．－3 D．3AC[由题知∁RA＝{x|－1≤x≤5}，要使∁RA⊆C，则a<－1，故选AC．]12．设全集U和集合A，B，P，满足A＝∁UB，B＝∁UP，则A与P的关系是()A．A＝P B．A⊆PC．P⊆A D．A≠PA[由A＝∁UB，得∁UA＝B．又∵B＝∁UP，∴∁UP＝∁UA，即A＝P．]13．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁UA＝________．{2}[若x＝2，则x2－2＝2与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍)，故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则∁UA＝{2}．]14．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．{1}[阴影部分可以看作A与B的公共部分在集合A中的补集．由题知A与B的公共部分为{2,3,4,5}，设C＝{2,3,4,5}．∴∁AC＝{1}．]15．对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B．例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，据此，试回答下列问题．(1)已知C＝{a}，D＝{