初中数学试题大全（四十五）一次函数难题

初中数学组卷：一次函数难题

一.选择题(共10小题)

1.如图所示，已知直线广八叵x+1与X、y轴交于B、C两点，A(0,0),在4

3

ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等

边三角形分别是第1个△AAiBi,第2个△B1A2B2,第3个4B2A3B3,...则第n个

2.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途

中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S(km)与慢车行驶时间t

(h)之间的函数图象如图所示，下列说法：

①甲、乙两地之间的距离为560km；

②快车速度是慢车速度的1.5倍；

③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；

④相遇时，快车距甲地320km

3.已知过点(2,-3)的直线y=ax+b(aWO)不经过第一象限，设s=a+2b,则

S的取值范围是（)

A.-5WsW-』B.-6<sW-』C.-6<s<-2D.-7<s<--1

2222

4.如图，直线yi=kx+b过点A(0,2),且与直线y2=mx交于点P(1,m),则

不等式组mx>kx+b>mx-2的解集是()

A.l<x<2B.0<x<2C.0<x<lD.l<x

5.小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的

距离忽略不计），一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好

乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课,

于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小明与家的距离s

（单位：米）与他所用时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小

明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10

分钟，下列说法：

①小明从家出发5分钟时乘上公交车②公交车的速度为400米/

分钟

③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分钟④小明上课没有迟到

其中正确的个数是（）

3200r....................."TrT：

4QQ\.^/\•

12办钟

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，直线y=-3x+3与x轴，y轴交于A,B两点•点P是线段OB上的一

4

动点（能与点O,B重合），若能在斜边AB上找到一点C,使NOCP=90。.设点P

的坐标为（m,0）,则m的取值范围是（)

A.3WmW4B.2WmW4C.OWmWHD.0WmW3

2

7.如图所示.直线y=x+2与y轴相交于点A,OBi=OA,以OBi为底边作等腰三

角形AQBi,顶点Ai在直线y=x+2上，△AQBi记作第一个等腰三角形；然后过

Bi作平行于OAi的直线B1A2与直线y=x+2相交于点A2,再以B1A2为腰作等腰三

角形A2B1B2,记作第二个等腰三角形；同样过B2作平行于OAi的直线B2A3与直

钱y=x+2相交于点A3,再以B2A3为腰作等腰三角形A3B2B3,记作第三个等腰三

角形；依此类推，则等腰三角形A10B9B10的面积为（）

A.3»48B.3»49C.3«410D.3»4U

8.如图，已知点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（旦，-2）,点P在直线

22

9.在^ABC中，点。是^ABC的内心，连接OB、0C,过点。作EF〃BC分别交

AB、AC于点E、F,已知BC=a（a是常数），设^ABC的周长为y,4AEF的周长

为x,在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（）

10.如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的。点是坐标原点，A的坐标是（-

4,0）,直角顶点B在第二象限，等腰直角4BCD的C点在y轴上移动，我们发

现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）

A.y=-2x+lB.y=-b+2C.y=-3x-2D.y=-x+2

2

二.填空题（共10小题）

11.如图，已知一条直线经过点A（0,2）、点B（1,0）,将这条直线向左平移

与x轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为.

12.如图，把ABC放在直角坐标系内，其中NCAB=90。，BC=5,点A、B的

坐标分别为（1，0）、（4,0）,将^ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x

-6上时，线段BC扫过的面积为cm2.

13.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax,②丫4*,③丫^*,

14.如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1,1）,C为y轴上一点，

连接PC,线段PC绕点P顺时针旋转90。至线段PD,过点D作直线AB±x轴，垂

足为B,直线AB与直线y=x交于点A,且BD=2AD,连接CD,直线CD与直线y=x

交于点Q,则点Q的坐标为.

15.如图是一次函数的y=kx+b图象,则关于x的不等式kx+b>0的解集为

16.如图，一次函数丫=1<*+12(kVO)的图象经过点A.当y<3时，x的取值范围

17.如图，已知点A是第一象限内横坐标为2、,亏的一个定点，AC，x轴于点M,

交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，NAPB=30。，BA±PA,

则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点。运动到

C

18.如图，点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=2x-4上运动，当线段AB

19.如图，直角坐标系中，点P(t,0)是x轴上的一个动点，过点P作y轴的

平行线，分别与直线y=b,直线y=-x交于A,B两点，以AB为边向右侧作正

2

方形ABCD.

(1)当t=2时，正方形ABCD的周长是.

(2)当点(2,0)在正方形ABCD内部时，t的取值范围是

20.小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始

按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间

的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是折.

三.解答题（共10小题）

21.在平面直角坐标系中，。为原点，直线I：x=l,点A（2,0）,点E,点F,

点M都在直线I上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P.

（工）若点M的坐标为（1,-1）,

①当点F的坐标为（1,1）时，如图，求点P的坐标；

②当点F为直线I上的动点时，记点P（x,y）,求y关于x的函数解析式.

（II）若点M（1,m）,点F（1,t）,其中岸0,过点P作PQ_LI于点Q,当

22.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为

(12,0)、(12,6),直线y二-』x+b与y轴交于点P,与边OA交于点D,与边

2

BC交于点E.

(1)若直线y=-lx+b平分矩形OABC的面积，求b的值；

2

(2)在(1)的条件下，当直线y=-当+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x

2

轴分别交于点N、M,问：是否存在ON平分NCNM的情况？若存在，求线段

DM的长；若不存在，请说明理由；

(3)在(1)的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出

该点坐标；若不在边BC上，求将(1)中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC

沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC

上.备用图留用图

23.方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀

速前往N地.设乙行驶的时间为t(h),甲乙两人之间的距离为y(km),y与t

的函数关系如图1所示.

方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发lh；甲出发0.5小时与乙相

遇.

请你帮助方成同学解决以下问题：

(1)分别求出线段BC,CD所在直线的函数表达式；

(2)当20Vy<30时，求t的取值范围；

(3)分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给

的直角坐标系中分别画出它们的图象；

(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过当h

3

与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇?

^S(km)

图1图2

24.如图，直线y=-&<+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出

3

发，以每秒2个单位的速度沿A0方向向点。匀速运动，同时动点Q从B点出

发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另

一个点也随之停止运动，连接PQ,设运动时间为t(s)(0VtW3).

(1)写出A,B两点的坐标；

(2)设△AQP的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值

时，△AQP的面积最大？

(3)当t为何值时，以点A,P,Q为顶点的三角形与AABO相似，并直接写出

此时点Q的坐标.

25.一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途

停车休整后提速行驶至乙地.货车的路程yi(km),小轿车的路程丫2(km)与时

间x(h)的对应关系如图所示.

(1)甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？

(2)①写出yi与x的函数关系式；

②当xN5时，求丫2与X的函数解析式；

(3)货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？

26.已知一次函数y=2x-4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点P在该函

数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为山、d2.

（1）当P为线段AB的中点时，求di+cb的值；

（2）直接写出山+d2的范围，并求当dl+d2=3时点P的坐标；

（3）若在线段AB上存在无数个P点，使di+ad2=4（a为常数），求a的值.

27.快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行

驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地.慢车到达

甲地比快车到达甲地早1小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲

2

地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函

数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接写出快、慢两车的速度；

（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案.

28.高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，"五一"期间，乐乐和颖颖

相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高

铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车去游乐园(换车时间忽略不

计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(千米)与乘车时间t

(小时)的关系如图所示.

请结合图象解决下面问题：

(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？

(2)当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？

(3)若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小

29.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点

B在x轴正半轴上，OA、0B的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(0A

>0B).

(1)求点D的坐标.

(2)求直线BC的解析式.

(3)在直线BC上是否存在点P,使4PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出

点P的坐标；若不存在，说明理由.

30.模型建立：如图1,等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，CB=CA,直线ED

经过点C,过A作ADLED于D,过B作BELED于E.

求证：ABEC咨Z^CDA.

模型应用：

(1)已知直线li：y=&<+4与y轴交与A点，将直线k绕着A点顺时针旋转45。

3

至12,如图2,求12的函数解析式.

(2)如图3,矩形ABCO,O为坐标原点，B的坐标为(8,6),A、(：分别在坐

标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m,已知点D在第一象限，且是直线y=2x

-6上的一点，若4APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐

标.

初中数学组卷：一次函数难题

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

L（2015•黄冈中学自主招生）如图所示，已知直线产二应x+1与x、y轴交于B、

3

C两点，A（0,0）,在^ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶

点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AAiBi，第2个△B1A2B2，第3

个AB2A3B3,…则第n个等边三角形的边长等于（）

【分析】根据题目已知条件可推出，叵OC=叵,BIA2=LXIBI=4,依此类

2

2222

推，第n个等边三角形的边长等于区.

2n

【解答】解：：OB=近，OC=1,

，BC=2,

AZOBC=30°,ZOCB=60°.

而^AAiBi为等边三角形，ZAiABi=60",

ZCOAi=30°,则ZCAiO=90".

在RtACAAi中，/\/\益叵QC=®,

22

同理得：B1A2=L\1B1=Y或

222

依此类推，第n个等边三角形的边长等于1

2n

故选A.

【点评】本题考查了一次函数综合题.解题时，将一次函数、等边三角形的性质

及解直角三角形结合在一起，从而归纳出边长的规律.

2.(2015•铁岭)一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而

行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S(km)与慢

车行驶时间t(h)之间的函数图象如图所示，下列说法:

①甲、乙两地之间的距离为560km；

②快车速度是慢车速度的1.5倍；

③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；

④相遇时，快车距甲地320km

其中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据函数图象直接得出甲乙两地之间的距离；根据题意得出慢车往返分

别用了4小时，慢车行驶4小时的距离，快车3小时即可行驶完，进而求出快车

速度以及利用两车速度之比得出慢车速度；设慢车速度为3xkm/h,快车速度为

4xkm/h,由(3x+4x)X4=560,可得x=20,从而得出快车的速度是80km/h,慢

车的速度是60km/h.由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离，当慢车

行驶了7小时后，快车已到达甲地，可求出此时两车之间的距离即可.

【解答】解：由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；

由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增

大直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小

时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：

4,故②错误；

・••设慢车速度为3xkm/h,快车速度为4xkm/h,

(3x+4x)X4=560,x=20

・••快车的速度是80km/h,慢车的速度是60km/h.

由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4X60=240km,故④错误，

当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240-3X

60=60km,故③正确.

故选：B.

【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，读

懂图，获取正确信息是解题关键.

3.(2014•镇江)已知过点(2,-3)的直线y=ax+b(aWO)不经过第一象限，

设5=2+213,则s的取值范围是()

A.-5WsW-』B.-6VsW-』C.-6WsW-』D.-7<s<-

2222

【分析】根据直线y=ax+b(aWO)不经过第一象限，可知aVO,bWO,直线y=ax+b

(aWO)过点(2,-3),可知2a+b=-3,依此即可得到s的取值范围.

【解答】解：•••直线y=ax+b(aWO)不经过第一象限，

.,.a<0,bWO,

,直线y=ax+b(aWO)过点(2,-3),

2a+b=-3,

.*.a=zkz±L,b=-2a-3,

2

••.s=a+2b=-b-3+2b=/b-1^-1,

2222

s=a+2b=a+2(-2a-3)=-3a-6>-6,

即s的取值范围是-6<sW-1.

2

故选：B.

【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答

本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.

k>0时，直线必经过一、三象限；

kVO时，直线必经过二、四象限；

b>0时，直线与y轴正半轴相交；

b=0时，直线过原点；

b<0时，直线与y轴负半轴相交.

4.(2013•潍坊二模)如图，直线yi=kx+b过点A(0,2),且与直线y2=mx交于

点P(1,m),则不等式组mx>kx+b>mx-2的解集是()

A.l<x<2B.0<x<2C.0<x<lD.l<x

【分析】由于一次函数yi同时经过A、P两点，可将它们的坐标分别代入yi的解

析式中，即可求得k、b与m的关系，将其代入所求不等式组中，即可求得不等

式的解集.

【解答】解：由于直线yi=kx+b过点A(0,2),P(1,m),

则有：［k+b=m,

lb=2

解得『5-2.

lb=2

直线yi=(m-2)x+2.

故所求不等式组可化为：

mx>(m-2)x+2>mx-2,

不等号两边同时减去mx得，0>-2x+2>-2,

解得：l<x<2,

故选A.

【点评】本题主要考查了根据图形确定k、b与m的关系，从而通过解不等式组

得到其解集，难度适中.

5.(2015•哈尔滨)小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁(小明家、学

校到这条公路的距离忽略不计），一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行

到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现

还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），

小明与家的距离s（单位：米）与他所用时间t（单位：分钟）之间的函数关系

如图所示，已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他

到达学校共用10分钟，下列说法：

①小明从家出发5分钟时乘上公交车②公交车的速度为400米/

分钟

③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分钟④小明上课没有迟到

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据图象可以确定他家与学校的距离，公交车时间是多少，他步行的时

间和公交车的速度和小明从家出发到学校所用的时间.

【解答】解：①小明从家出发乘上公交车的时间为7-（1200-400）4-400=5

分钟，①正确；

②公交车的速度为（3200-1200）4-（12-7）=400米/分钟，②正确；

③小明下公交车后跑向学校的速度为（3500-3200）+3=100米/分钟，③正确；

④上公交车的时间为12-5=7分钟，跑步的时间为15-12=3分钟，因为3<4,

小明上课没有迟到，④正确；

故选：D.

【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横、纵坐标

表示的意义是解题的关键，注意，在解答时，单位要统一.

6.（2014春•海曙区校级期中）如图，直线y=-当+3与x轴，y轴交于A,B两

4

点.点P是线段OB上的一动点（能与点0,B重合），若能在斜边AB上找到一

点C,使NOCP=90。.设点P的坐标为（m,0）,则m的取值范围是（）

A.3<m<4B.2<m<4C.OWmWaD.0WmW3

2

【分析】令y=0求出点B的坐标，过点C作CD，x轴于D,设点C的坐标横坐标

为a,则OD=a,PD=m-a,求出△OCD和^CPD相似，利用相似三角形对应边成

比例列式表示出m,然后求出m的最小值，再根据点P在线段0B上判断出0C

_LAB时，点P、B重合，m最大，然后写出m的取值范围即可.

【解答】解：令y=0,则-3x+3=0,

4

解得x=4,

所以，点B的坐标为（4,0）,

过点C作CD，x轴于D,

设点C的坐标横坐标为a,则OD=a,PD=m-a,

VZOCP=90°,

.,.△OCD^ACPD,

；iCD=DP；

,,0DCD）

.*.CD2=OD»DP,

（-Aa+3）2=a（m-a）,

4

整理得，-1,

16a2

所以，m^2Ma.2-|=3,

•••点P是线段OB上的一动点（能与点0,B重合），

...OCLAB时，点P、B重合，m最大，

m的取值范围是3Wm<4.

故选A.

【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法,

相似三角形的判定与性质，难点在于列不等式求出m的最小值.

7.（2013秋•宁波期末）如图所示.直线y=x+2与y轴相交于点A,OBi=OA,以

OBi为底边作等腰三角形AQBi,顶点Ai在直线y=x+2上，AAiOBi记作第一个

等腰三角形；然后过团作平行于OAi的直线B1A2与直线y=x+2相交于点A2,再

以B1A2为腰作等腰三角形A2B1B2,记作第二个等腰三角形；同样过B2作平行于

OAi的直线B2A3与直钱y=x+2相交于点A3,再以B2A3为腰作等腰三角形A3B2B3,

记作第三个等腰三角形；依此类推，则等腰三角形A10B9B10的面积为（）

【分析】令x=0求解得到点A的坐标，然后求出0A的长，过点Ai作AiCiLx轴

于Ci，根据等腰三角形三线合一的性质求出0J,再根据直线解析式求出AiJ,

然后判断出aAzBiB2s△AQBi,过点A2作A2C2±x轴于C2,根据相似三角形的

性质用B1C2表示出A2c2,再根据A2在直线上列式求解得到第二个等腰三角形的

底边与高，同理求出第三个等腰三角形的底边与高，然后根据规律判断出△

A10B9B10的底边与高，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】解：令x=0,则y=2,

・•.点A的坐标为（0,2）,

.*.OA=2,

.*.0Bi=0A=2,

过点Ai作AiJ_Lx轴于Ci，

则0CI=1-0BI=-LX2=1,

22

在直线y=x+2上,

.,.AiCi=x+2=l+2=3,

/.AiCi=30Ci,

由题意得，^AzBiB2s△AQBi,

过点A2作A2c2_l_x轴于Cl)

则A2c2=3BG，

设BK2=a,则A2c2=3a,

•；A2在直线y=x+2上,

；.A2c2=X+2=(2+a)+2=3a,

解得a=2,

.,.BIB2=2X2=4,

同理可得B2B3=8=23,A2c3=12=3X22,

...,

10

AA10B9B10的底边B9BI0=2,高为3X

AAioBgBio的面积=LX210X3X29,

2

=3.4、

故选B.

【点评】本题是一次函数综合题型，主要考查了等腰三角形的性质，一次函数图

象上点的坐标特征，求出等腰三角形底边上的高等于底边一半的3倍是解题的关

键，也是本题的难点.

8.（2009•鄂州校级模拟）如图，已知点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（旦,

2

当|PA-PB|最大时点P的坐标为（)

（―,-—）D.（5,-5）

22

【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案.

【解答】解：作A关于直线y=-x对称点C,易得C的坐标为（-1,0）；连接

BC,可得直线BC的方程为y=-4<-q；

55

求BC与直线y=-x的交点，可得交点坐标为（4,-4）；

此时|PA-PB|=|PC-PB=BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形

三边的关系可得IPC-PB|<BC;

故答案为B.

【点评】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大.

9.（2016•景德镇三模）在4ABC中，点O是4ABC的内心，连接OB、OC,过

点。作EF〃BC分别交AB、AC于点E、F,已知BC=a（a是常数），设^ABC的

周长为y,4AEF的周长为x,在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的

【分析】由于点0是4ABC的内心，根据内心的性质得到OB、OC分别平分NABC、

NACB,又EF〃BC,可得到N1=N3,则EO=EB,同理可得FO=FC,再根据周长

的所以可得到y=x+a,(x>a),即它是一次函数，即可得到正确选项.

【解答】解：如图，

•点0是ZXABC的内心，

/.Z1=Z2,

又：EF〃BC,

AZ3=Z2,

.*.Z1=Z3,

AEO=EB,

同理可得FO=FC,

Vx=AE+EO+FO+AF,

y=AE+BE+AF+FC+BC,

y=x+a,(x>a),

即y是x的一次函数，

所以C选项正确.

故选C.

A

【点评】本题考查了一次函数y=kx+b(kWO,k,b为常数)的图象和性质.也

考查了内心的性质和平行线的性质.

10.（2012•温岭市校级三模）如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的。点

是坐标原点，A的坐标是（-4,0）,直角顶点B在第二象限，等腰直角4BCD

的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线

的解析式是（）

A.y=-2x+lB.y=-Xx+2C.y=-3x-2D.y=-x+2

2

【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重

合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b,将两位置

D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确

定出所求直线解析式.

【解答】解：当BC与x轴平行时，过B作BE，x轴，过D作DF，x轴，交BC

于点G,如图1所示，

:等腰直角△ABO的。点是坐标原点，A的坐标是（-4,0）,

；.AO=4,

，BC=BE=AE=EO=GF=1OA=2,OF=DG=BG=CG=1.BC=1,DF=DG+GF=3,

22

；.D坐标为（-1,3）；

当C与原点。重合时，D在y轴上，

此时OD=BE=2,即D（0,2）,

设所求直线解析式为y=kx+b（kWO）,

将两点坐标代入得：1T+b=3,

lb=2

解得：1'I.

lb=2

则这条直线解析式为y=-x+2.

故选D

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解

析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题

的关键.

二.填空题(共10小题)

11.(2013•包头)如图，已知一条直线经过点A(0,2)、点B(1,0),将这条

直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC,则直线CD的函数解

析式为Y=-2x-2.

【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式.

【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b,

把A(0,2)、点B(1,0)代入，得,

lk+b=0

解得产之

lb=2

故直线AB的解析式为y=-2x+2；

将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D,使DB=DC,

.,.DO垂直平分BC,

.*.OC=OB,

,直线CD由直线AB平移而成,

，CD=AB,

点D的坐标为（0,-2）,

•••平移后的图形与原图形平行，

・••平移以后的函数解析式为：y=-2x-2.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，列

出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意

平移时k的值不变，只有b发生变化.

12.（2016・自贡）如图，把RtaABC放在直角坐标系内,其中NCAB=90°,BC=5,

点A、B的坐标分别为（1,0）、（4,0）,将^ABC沿x轴向右平移，当点C落在

直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为16cm2.

【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC

的长，底是点C平移的路程.求当点C落在直线y=2x-6上时的横坐标即可.

【解答】解:如图所示.

:点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),

「・AB=3.

VZCAB=90°,BC=5,

・・・AC=4.

・・.At'=4.

•••点U在直线y=2x-6上,

A2x-6=4,解得x=5.

即OA'=5.

：.CC=5-1=4.

2

•*.SDBCCB'=4X4=16(cm).

即线段BC扫过的面积为16cm2.

故答案为16.

【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等.

13.(2013•茂名)如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax,②丫4*,

③丫工*,将a,b,c从小到大排列并用"V"连接为a<c<b

【分析】根据直线所过象限可得aVO,b>0,c>0,再根据直线陡的情况可判

断出b>c,进而得到答案.

【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a<0,b>0,c>0,

再根据直线越陡，Ik|越大，则b>c.

则b>c>a,

故答案为：a<c<b.

【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k>0时，图象经过

一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的

增大而减小.同时注意直线越陡，则|k|越大

14.(2013•重庆)如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P(1,1),C

为y轴上一点，连接PC,线段PC绕点P顺时针旋转90。至线段PD,过点D作直

线AB，x轴，垂足为B,直线AB与直线y=x交于点A,且BD=2AD,连接CD,

直线CD与直线y=x交于点Q,则点Q的坐标为.

【分析】过P作MN，y轴，交y轴于M,交AB于N,过D作DH，y轴，交y

轴于H,ZCMP=ZDNP=ZCPD=90o,求出NMCP=/DPN,证△MCP之Z\NPD,推

出DN=PM,PN=CM,设AD=a,求出DN=2a-1，得出2a-1=1,求出a=l,得出

D的坐标，在Rt^DNP中，由勾股定理求出PC=PD=遥，在Rt^MCP中，由勾股

定理求出CM=2,得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+3,把D(3,2)

代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解

即可.

【解答】解：

过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交AB于N,过D作DH_Ly轴，交y轴于H,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90o,

AZMCP+ZCPM=90°,NMPC+NDPN=90°,

AZMCP=ZDPN,

VP（1,1）,

.\OM=BN=1,PM=1,

在△MCP和ANPD中

'NCMP=/DNP

<NMCP=NDPN

,PC=PD

.,.△MCP^ANPD（AAS）,

，DN=PM,PN=CM,

VBD=2AD,

设AD=a,BD=2a,

VP（1,1）,

.\DN=2a-1,

则2a-1=1,

a=l,即BD=2.

,直线y=x,

.•.AB=0B=3,

在Rt^DNP中，由勾股定理得：PC=PD=y（3T居②］）2=巡,

在Rt^MCP中，由勾股定理得：CM寸（9）2_12=2,

则C的坐标是（0,3）,

设直线CD的解析式是y=kx+3,

把D（3,2）代入得：k=-1,

3

即直线CD的解析式是y=-b+3,

3

{9

x二—

即方程组尸石x+3得：4,

9

Iy=x

即Q的坐标是（2,旦），

44

故答案为：（2,2）.

44

【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和

判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运

用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度.

15.（2015•甘南州）如图是一次函数的y=kx+b图象，则关于x的不等式kx+b>0

的解集为x>-2.

【分析】一次函数的y=kx+b图象经过点（-2,0）,由函数表达式可得，kx+b>

0其实就是一次函数的函数值y>0,结合图象可以看出答案.

【解答】解：由图可知：当x>-2时，y>0,即kx+b>0；

因此kx+b>0的解集为：x>-2.

【点评】本题考查了数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这

也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用.易错易混点：学生往往由于不

理解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误.

16.（2011•长春）如图，一次函数y=kx+b（k<0）的图象经过点A.当y<3时,

x的取值范围是x>2.

【分析】根据一次函数的图象可直接进行解答.

【解答】解：由函数图象可知，此函数是减函数，当y=3时x=2,

故当y<3时，x>2.

故答案为：x>2.

【点评】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求出x的取值范围是解答

此题的关键.

17.（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2正的一个定点，AC

轴于点M,交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，NAPB=30。，

BA_LPA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点

0运动到点N时，点B运动的路径长是—2b.

【分析】（1）首先，需要证明线段BoBn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图

②所示.利用相似三角形可以证明；

（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△ABoBnS^AON,求出线段B0Bn

的长度，即点B运动的路径长.

【解答】解：由题意可知，OM=2j5，点N在直线y=-x上，AC，x轴于点M,

则△OMN为等腰直角三角形，ON=&OM=ex2后2注.

如答图①所示，设动点P在。点（起点）时，点B的位置为Bo，动点P在N点

（终点）时，点B的位置为Bn,连接BoBn

VAOXABo，AN±ABn,/.ZOAC=ZB0ABn,

XVAB0=AO»tan30°,ABn=AN«tan30°,AABo：AO=ABn：AN=tan30°（此处也可用

30。角的Rt△三边长的关系来求得），

.,.△ABoBn^AAON,且相似比为tan30。，

X

BoBn=ON«tan30°=2V6—=272.

现在来证明线段B°Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.

如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi,连接

AP,AB,,BoBi

VAO±AB0,AP±ABi,ZOAP=ZB0ABi,

又•.•ABo=AO・tan30°,ABi=AP・tan3O°,.\AB0：AO=ABi：AP,

.,.△ABOBI^AAOP,.,.ZAB0Bi=ZAOP.

又•.•△ABoBnS^AON,.*.ZAB0Bn=ZAOP,

NABoBi=NABoBn,

...点Bi在线段BoBn上，即线段BoBn就是点B运动的路径（或轨迹）.

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段BoBn,其长度为2圾.

故答案为：2友.

【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大.本题

的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的

空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度,

可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.

18.（2012・北海）如图，点A的坐标为（-1,0）,点B在直线y=2x-4上运动,

当线段AB最短时，点B的坐标是（工，-A）.

55

【分析】作AB，，BB-B，即为当线段AB最短时B点坐标，求出AB，的解析式，与

BB，组成方程组，求出其交点坐标即可.

【解答】解：设AB，解析式为丫=1«<+>

,,解析式为

VAB±BB,BB'y=2x-4,kiXk2=-1,

：.2k=-1,

k=-l,于是函数解析式为y=-b+b,

22

将A（-1,0）代入y=-—x+b得，L+b=0,b=-—）

222

则函数解析式为y=-Lx-工，

22

将两函数解析式组成方程组得，

y=2x-4

<11，

［尸亍方

f7

解得，故B点坐标为（工，-0）.

55

故答案为（工，-1）.

55

【点评】本题考查了一次函数的性质和垂线段最短，找到B，点是解题的关键，同

时要熟悉待定系数法求函数解析式.

19.（2014•武义县模拟）如图，直角坐标系中，点P（t,0）是x轴上的一个动

点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y=b,直线y=-x交于A,B两点，以

2

AB为边向右侧作正方形ABCD.

（1）当t=2时，正方形ABCD的周长是12.

（2）当点（2,0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是1<-4或/<1<2.

【分析】（1）根据点P的横坐标利用两条直线的解析式求出PA、PB的长度，再

求出正方形的边长AB,然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解；

（2）根据点P的横坐标表示出AB,再分①t<0时，点C的横坐标大于2列出不

等式求解即可；②t>0时，点P的横坐标小于2点C的横坐标大于2列出不等

式求解即可.

【解答】解：（1）t=2时，PA=1X2=1,

2

PB=|-1X2|=2,

...AB=PA+PB=l+2=3,

，正方形ABCD的周长=4AB=4X3=12；

（2）•.,点P（t,0）,AB〃y轴，

.•.点A（t,Lt）,B（t,-t）,

2

AB=A.t-（-1）।=।a।,

22

©t<o时，点c的横坐标为t-2t=-Xt,

22

•点（2,0）在正方形ABCD内部，

-lt>2,

2

解得t<-4,

②t>0时，点C的横坐标为t+』t=$t,

22

•点（2,0）在正方形ABCD内部，

.•.刍>2,且t<2,

2

解得且t<2,

5

.*.A<t<2,

5

综上所述，t<-4或❷<t<2.

5

故答案为：（1）12；（2）t<-4或

5

【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，

正方形的性质，难点在于（2）要根据点P的位置分情况讨论.

20.（2015•阜新）小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，

从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个

数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折

扣是七折.

【分析】根据函数图象求出打折前后的单价，然后解答即可.

【解答】解：打折前，每本练习本价格：20・10=2元，

打折后，每本练习本价格：（27-20）4-（15-10）=1.4元，

£1=0.7,

2

所以，在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是七折.

故答案为：七.

【点评】本题考查了一次函数的应用，比较简单，准确识图并求出打折前后每本

练习本的价格是解题的关键.

三.解答题（共10小题）

21.（2014•天津）在平面直角坐标系中，。为原点，直线I：x=l,点A（2,0）,

点E,点F,点M都在直线I上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线

OF交于点P.

（工）若点M的坐标为（1,-1）,

①当点F的坐标为（1,1）时，如图，求点P的坐标；

②当点F为直线I上的动点时，记点P（x,y）,求y关于x的函数解析式.

（口）若点M（1,m）,点F（1,t）,其中tWO,过点P作PQ±I于点Q,当

OQ=PQ时，试用含t的式子表示m.

【分析】(工)