如何编制初中数学测试试卷

如何编制初中数学测试试卷

试卷编制的具体要求

(1)试卷考查的覆盖面要广。考查点分布合理，考查的内容有足够的代表性，考

查各部分知识和各层次能力的试题数量要符合双向细目表的规定。

(2)试卷中各道试题均要有相对的独立性。要尽量减少知识点的重复出现，这样

也可以避免试题之间存在互相提示的作用。任意试题的表述及正确解答不要构成对其它试

题正确解答的提示，任意试题的正确解答不能以其它某一试题正确解答为前提。试题之间

如果互相不独立，存在互相提示关系，那么对于应试能力较强，又能够注意到试题间的这

种提示关系的学生就比较有利，这样就降低了试题的测量效果。

(3)试卷中试题的排放要合理。同种类型试题之前应扼要说明该类试题的解答要

求，使学生明确干什么，怎么干，答案以什么形式出现。试题的排列顺序最好由浅入深，

由易到难，由简到繁，避免把繁、难题目排在前面，造成学生心理压力大，影响水平的发

挥。

(4)试卷的分量要适当。要让学生有较充裕的时间来完成试题的解答，并留有检

查的时间，使学生不至于因时间不够造成思想紧张、笔误、书写不规范等。

对组好的试卷进行审查、修改和调整，直到满意为止。

(-)学习研究课程标准、考试大纲，确定考试目标

平时的章节单元考试、期中考试、期末考试命题时，要认真学习和研究《课程标准》，

明确《课程标准》中的阶段性要求，明确考试的目的、考试的对象。必要时还可阅读有关

的参考资料及试卷，还应了解学生的实际情况。

毕业考试和升学考试命题时，要认真学习研究考试大纲，考试大纲是依据《课程标准》

制订的，要通过研究考试大纲明确《课程标准》对初中毕业生的终结性要求，明确考试的

目的、考试的性质、考试的对象。

考试目标是试卷编制的出发点和归宿，具有导向和制约功能。它可以根据教学目标，

结合不同的测试目的、内容范围、时间限制加以确定。

考试目标包括考试内容、考查目的和各种量化指标(例如，试卷难度系数、考试及

格率、优秀率、平均分等)。

(二)制定命题计划，列出双向细目表

命题计划包括两部分内容：一部分是命题的原则要求，包括：命题工作的指导思想，

即具体说明考试的目的和类型，命题的基本要求及其特点等内容；命题的原则，即指出考

试必须坚持的标准，交待考试的内容、范围、考试方法和试题类型，编出试题和组配试卷

的要求等。对重要的考试，常常写成命题大纲，以文件形式发给命题老师。另一部分是试

卷中试题的分布规定，具体规定出考试内容中各部分的试题数量和所占分数比例，常常列

由于准备段考，又挨出试题了。今天看了专家有关编制试题的视频，才知道出一份试题是

那么地不容易。不但要考虑各个知识点，还要考虑什么信度、效度、难度、区分度，还要

列出双向细目表，这岂是我们一般人所能完成的？所以要好好地学习才行。

(-)学习研究课程标准、考试大纲，确定考试目标

平时的章节单元考试、期中考试、期末考试命题时，要认真学习和研究《课程标准》，

明确《课程标准》中的阶段性要求，明确考试的目的、考试的对象。必要时还可阅读有关

的参考资料及试卷，还应了解学生的实际情况。

(二)制定命题计划，列出双向细目表

(三)编选试题

1.按命题计划编制出试题，同时写出每一试题的答案。编制试题的数量至少是需要量

的二倍。写答案的过程也就是试题质量的检验过程，因此应在编题的同时进行。

2.对编出的试题逐题逐道审查、修改和筛选，使备用试题及其答案都科学、合理、用

语准确。首先对照双向细目表，审查所编试题是否与各知识点及其学习水平的设计相符，

并根据具体情况进行增补或删减；其次，依据测验的时间要求，确定题量，并对试题做

进一步的调整，从科学性、逻辑性、独立性以及语言表达等方面做最后的审定和修改。同

时注明备用题的预计难度、考查目的及能力要求层次。

3.编选试题时，应先编后边几道综合题，然后编新颖、有特色的试题，最后编选择、

填空、解答题中的中、低档试题。

(四)组配试卷

1、编制试卷要考虑以下几个问题：

(1)题量及其分布(即每个章节各有多少题，各占多少分)；

(2)题型及其搭配(每种题型各有多少题，在各章中是怎样分配的)；

(3)难易及其层次(整份试卷的预计难度，不同难度的比例)；

(4)试题在卷面上的安排。

2.试卷编制的具体要求

(1)试卷考查的覆盖面要广。考查点分布合理，考查的内容有足够的代表性，考

查各部分知识和各层次能力的试题数量要符合双向细目表的规定。

(2)试卷中各道试题均要有相对的独立性。要尽量减少知识点的重复出现，这样

也可以避免试题之间存在互相提示的作用。任意试题的表述及正确解答不要构成对其它试

题正确解答的提示，任意试题的正确解答不能以其它某一试题正确解答为前提。试题之间

如果互相不独立，存在互相提示关系，那么对于应试能力较强，又能够注意到试题间的这

种提示关系的学生就比较有利，这样就降低了试题的测量效果。

(3)试卷中试题的排放要合理。同种类型试题之前应扼要说明该类试题的解答要

求，使学生明确干什么，怎么干，答案以什么形式出现。试题的排列顺序最好由浅入深，

由易到难，由简到繁，避免把繁、难题目排在前面，造成学生心理压力大，影响水平的发

挥。

(4)试卷的分量要适当。要让学生有较充裕的时间来完成试题的解答，并留有检

查的时间，使学生不至于因时间不够造成思想紧张、笔误、书写不规范等。

初中数学命题技术与创新

随着义务教育数学课程改革的深人，对学生数学学习的评价，从单一的“考试”转向多

元化，将过程评价与结果评价相结合，定性与定量相结合，关注学生的个性差异，发挥评

价的激励作用，时刻保护着学生的自尊心和自信心。但“考试”作为一种评价方式其重要性

仍然是不可替代的，甚至可以影响新课程改革的实施。而“考试”中的命题能否体现新课程

要求，关键之处就在于能否编制出符合新课程理念和学科课程标准要求的试题。

所以，对数学教师来说，深入研究数学命题技巧，是课改的需要，是教师反思自身教

学行为，改进教学方法的重要环节之一。研究命题也是正确地发挥新课改理念下的评价功

能、导向功能、选拔功能所必需的。

一、命题原则

(一)命题应突出体现基础性

《数学课程标准》(实验稿)(以下简称《标准》)中指出，初中阶段对基础知识和

基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以本学段的知识与技能目标为基准，考察

学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。应当强调的是，学段目标是本学段结束时

学生应达到的基本要求。

新课程理念要求关注学生发展，恰当考查学生的基础知识与基本技能。在新课程教学

中，基础知识与基本技能依然是“基础”重要的组成部分，而且是其它基础的载体，扎实的“双

基”是提高数学素养，发展创新能力与实践能力的基础，是学生发展的必要条件。命制的题

目要把考查学生的数学基础知识与基本技能放在首位，针对学生在该学段的学习内容，命

题要点多面广，难度适宜，着眼于基本要求，考查全体学生的基础情况，尽可能把所学过

的重要概念、公式以及基础性的知识融汇其中，试题的难易度要以大部分学生都能达到的

目标为底线，要按照《标准》的要求，避免偏题、怪题和死记硬背的题目，使大多数学生

在练习时都能获得成功的喜悦、对数学产生浓厚的学习兴趣。同时重视课本教学，摒弃“题

海战术”，充分体现数学学科的教育价值。

案例：如图，四边形.四的对角线与AD相交于。点，

Zl=Z2,Z3=Z4.求证

(1)△ABC泣XADC;\

(2)BO=DO.04XC

评析：此题简洁、明快、美观，难易适中，较好地考查了考生对图形的观察与直观把

握能力、对三角形和四边形特征的理解及基本的推理证明能力。这种基础性的几何题，体

现了《课标》对考生逻辑思维能力的基本要求。

(-)命题要突出体现知识的发展性

命题在注重考查基础知识的同时，更应突出体现它的发展性。培养学生运用知识举一

反三、触类旁通的能力，由于学生的认知起点不同，思维发展也不一致，对于一些思维层

次比较高的学生来说，应给他们提供一些深层次思考的问题，鼓励他们向知识更深、更广

处发展。为学生们提供充分施展才能的空间。

数学知识本身不仅要包括数学的一些现成结果，还包括这些结果的形成过程，学生通

过这个过程，初步理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是怎样形成的，一个

数学结论是怎样获得和应用的，要在一个充满探索的过程中学习数学，从中感受数学发现

的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识和创新意识，从而达到素质教育的目的。因

此，我们的命题要充分体现学生知识的获得过程。

（三）命题要紧密联系社会生活实践，重视考查学生的应用能力

数学来源于社会生活实际，又应用于指导实践活动。能用数学的眼光认识世界，并用

数学知识和数学方法处理周围的问题，是每个人应具备的基本素养。为加强考查学生运用

数学知识分析、解决简单实际问题的能力，实际应用题要取材于学生熟悉的生活实际或其

他学科知识，如银行存款利率，节水节电问题，低碳生活等富有一定的实用性和挑战性，

时代气息与教育价值较强的内容，这种做法有利于引导学生关注生活中的数学，关注身边

的数学，培养他们从实际问题中形成抽象数学模型的能力，促进学生形成学数学、用数学、

做数学的意识。

案例：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津

间单程直达运行时间为半小时.某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时

间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同。如果这次试车时，由天津

返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速

度是每小时多少千米？

评析：城际铁路是件新兴事物，时代气息非常浓厚，把这样一个新的事物作为背景，

从中提取有效的数学信息，解决问题，有利于学生形成数学意识。

（四）命题要体现人文精神，形成良好导向

数学命题要体现“依标（标准）用本”，试题尽量源于课本，有利于使学生摆脱题海，

减轻过重的学业负担。试卷要体现以学生为本的人文精神，从而使全体考生能充分发挥自

己应有的水平，也使试卷能更好了解、鉴别考生的不同能力。如个别题目加注提示语，关

键字眼加注着重号，以减少考生出现非知识性的错误。命制的试题要有梯度，使更多的学

生通过努力，能达到合格的水平，更好地体现了“人人学有价值的数学；人人都能获得必需

的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的理念。

（五）命题过程中还要注意以下几点：

1.命制的试题不超纲，要围绕双基进行命题;

2.既要考查学生理解和掌握“双基”的情况，又要考查学生的能力，包括解决简单的

实际问题的能力，还要尽可能编写一些能对学生进行思想品德教育的试题；

3.提问的方式，设置的解题任务的情境要新颖，形式要多样化，不落俗套，既要有

重点，又要注意知识的覆盖面；

4.命题的条件与结论要匹配，不能违背数学概念和原理；

5.应有多种解法，尽管某试题有较好解法，但不拒绝其他方法的使用；

6.题干表述要清楚，简单扼要，含义明确，用词准确，不能随意理解，不能模棱两

可，图形要正确。提出的要求合理、准确、明了；

7.难易要适当，要有较高的区分度，即能保护学生的积极性，又能拉开学生的档次;

8.评分标准公平、合理，要求命题的制定应有利于评分标准的量化；

9.命题的编制要有考查的意义。

总之，命题要体现数学学科的特点，要注重考查基本知识和基本技能，要突出数学思

想方法的理解与应用，努力创造探索思考的机会与空间。同时注重考查学生提出问题、理

解问题，获取数学信息的能力。在命题的创新上要有所作为，既要利用各种传统题型，又

要适当采用新颖的题型，使“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维目标更

多地融入试卷之中，使中学数学命题能充分发挥考试的导向作用，从而促进学生的全面发

展。

二、命题中常用的技术指标

一般来说，测试（也称书面评价）分为两大类，水平测试（也叫过程性评价）与选拔

性考试（即中、高考等选拔性评价）。

选拔性考试的实质是“选拔”，是“区分”；而过程性评价的关键却在于“诊断”，在于“过

关”。

水平测试主要是指：阶段性（或单元或周或课堂小测）测试，以及学期（或学年）测

试。

下面介绍有关命题中常用的几个技术指标:

1.效度

效度是指试卷对于一定的考试目的来说准确有效的程度。也就是命题应与教学目的和

内容相适应，试卷所得分数应能真实地反映被试者水平。现代的试卷不仅要测出学生掌握

知识技能的数量，而且要测出学生掌握知识技能的思路和方法。试卷的效度要落实在命题

上，命题时必须注意鉴别力。这种鉴别力通常体现在命题的难度、命题范围的广度和学生

解题的速度等三种测试上。

案例：(1)如图1,点。是线段,仞的中点，

分别以X。和。。为边在线段出的同恻作

等边三角形Q1B和等边三角形OCD,

连结和3。，相交于点E,连结BC.

求乙®的大小；

(2)如图2,2OAB固定不动，

保持△。8的形状和大小不变，

将△OCD绕着点。旋转(&OAB和△OCD不能重叠),

求NAEB的大小.

评析：本题改变了传统的逻辑证明形式，以旋转为载体，问题设计由特殊到一般，层

次清晰，重点考查三角形、菱形的有关性质的同时，较好地实现了对考生观察、猜想、验

证与计算能力的考查，使得本题具有较好的效度和区分度。

2.信度

信度是指试卷可靠性程度。一般来说，考试应力求反映出考生的稳定水平，即优者获

高分，劣者得低分，尽量减少随机影响。为提高信度，首先应做到命题中所涉及到的问题,

作答要求，答案位置，作答时限均明确无误；其次，教师对被测试的全体学生的总体水平,

应预作较准确的估计，力求命题内容适应学生的总体水平。

案例：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形,

这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图1）.如果小正方形面积为1,大正方形面积为25,

直角三角形中较小的锐角为°,那么

»1

评析：本题背景取材源于经典图形，考查综合利用全等三角形性质和勾股定理的知识

解直角三角形，具有较好的信度.

信度的把握可使教师对学生的学业评价更趋客观、准确，也使学生对自己学业的认识

更为符合实际情况，这有助于教师改进教学方法，学生改进学习方法。

3.“一分两率”

“一分两率”指的是：平均分、及格率、优秀率。

一般来说，对于不同的测试，“一分两率”的要求是不同的，首先“一分两率”的制定要

有科学性，其次一旦制定好了这个标准，命题的制订就要使得测试成绩指标在这个范围内

浮动，使学生即能考出真实水平，又能有很好的区分度。

三、命题类型以及怎样命制

由于我们大多数老师更多的是要对学生进行水平测试（过程性评价），所以我们主要

针对水平测试，来研究命题的编制，以及在命题过程中的注意事项。

对于水平测试都有一个共同的目的，就是为教学诊断提供依据，以导向、激励为发展

性功能，即使学生找到自身不足，给学生一份自信（考出不足，考出自信）；又使教师掌

握教学中的存在问题，及时调整和改进教学，及时矫正。“一切为了学生，一切为了学生的

发展”。

（一）命题类型：

命题一般分为三大类：选择题、填空题、解答题。

解答题一般包括：计算题、证明题和作图题。

由于现在中考新题型中，还有探究题、动点问题、动手操作题、阅读理解题，等等,

也需要我们老师在平常的教学中，注意这方面的训练。

(二)在命制过程中，通常要做好以下几项工作：

1.学习研究大纲和教材，把握其中的精神和要求，必要时还可以参阅有关的参考资料

和试卷，还应该了解学生的实际情况；

2.编写命题计划，至少要做到心中有数：我的考试目的是什么，要考查哪些

知识点，考查的难度等级是什么，试题的形式是什么，想以什么题型出现；

3.编写命题的同时，写出命题的答案，写答案的过程也就是试题质量的检查过程，在

一些较重要的试题命制中，还要有备选题；

4.对编出的试题要认真审查和修改，使试题和答案都科学、合理、用语准确。

案例：在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸

球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不

断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：

摸球的次数〃10020030050080010003000

摸到白球的次数加651241783024815991803

m

摸到白球的频率一0.650.620.5930.6040.6010.5990.601

n

(1)请估计：事〃很大时，摸到白球的频率将会接近.(精脸到0」)

(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)=.

(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？

评析：本题围绕用频率估计概率的思想展开。第1小题以填空题型直接考查考生对

表格信息的观察、理解和分析水平；第2小题的填空题型设计能直接区分出理解概率频率

式定义的考生；第3小题是解答题型，要求考生估算盒子里黑白两种颜色球的数量。实际

上题目本身已经给出了估算的方法，考生只需利用摸白球的概率就可以得到解答。这里运

用解答题型设计试题能考查考生是否具备利用概率值进行估计推断，相比填空和选择题型

更能保证题目的效度和信度。需要指出的是，概率值并不会因为摸球次数而变化，所以本

题第2小题的措辞还需斟酌。

5.制定出评分标准。

（三）下面我们将具体到三种命题类型中，来研究、分析、体会如何命题。

（I）选择题

・选择题的构成及适用范围：

1.选择题的构成：

选择题由题干和多个（备用）选择项组成，一般备有4个选项，这些信息或多或少

具有“提示”与“干扰”的双重作用。题干往往包含两部分：题设与提问指导语句。提问可以

是定性提问、定量提问或二者兼具的提问。而选择项，通常是所提问题的结论或答案。

2.选择题的优点及不足：

选择题有两个较为突出的优点：一是题目小，题型灵活，解法巧，速度快；二是评分

简单，客观准确，节省评分时间，还可以采用计算机进行阅卷。

但是它也有不足：一是命题较为复杂，有较高的命题技巧和较长的命题时间；二是难

以考查学生组织材料的能力和文字表达能力，更难以考查发散思维能力。另外，学生还有

可能靠猜题得分。

3.选择题型的适用范围：适合考查概念的理解、性质的运用、公式的变形、数值的计

算、思维的切换，等等方面的情况，一般都是单选题。

案例：把不等式组卜+0’的解集

x-l<0

表示在数轴上，正确的为图中的（B）

1.厂」.1・n,I..]

-101-101-101-101

A.B.C.D.

评析：此题考查的目的是，利用不等式的性质解一元一次不等式组，并将解集表示在

数轴上。

如果出题者，想要诊断学生的问题，有针对性的教学，也可以把此题转换成解答题。

因为，学生有可能在解每一个不等式时出错，也可能在求解集时出错，也可能求解过程都

对，但是在数轴表示时出错，不论哪个环节出错都会导致结果的错误。

・命制选择题时应该注意的事项：

1.题干中，要用精练、明确的语言把题设（已知条件）和问题陈述清楚；

2.选择项的表述必须明确清楚，它与题干连接在一起，读起来应当顺畅，并且应当成

为一个完整的语句，或者是一个完整的命题。

案例：一对夫妇，让他们刚满周岁的孩子拼排3块分别写有“20”、“10”、“上海世

博会，，的字块.假如小孩将字块横着正排，则该小孩能够排成“2010上海世博会”或“上海

世博会2010”的概率是（）

A-B.-C.-D.以上都不对

643

评析：选项“D.以上都不对”，明显的与题干连接在一起时，读起来不顺畅，

不能构成一个完整的命题。

3.几个选择项之间，通常应当具有同类性（即类型相同）、相近性（即形式相近）和

匀称性（即容量彼此相称）。正确的选择项多一点隐蔽的色彩，而错误的选择项尽量多一

些迷惑的因素，要针对学生的弱点和可能失误的情形设置起干扰作用的选择项；

案例：如图，点.4关于y轴的对称点的坐标是（）

A.（3,3）B.（-3,3）

C.（3,-3）D.（-3,-3）

评析：学生们对于点的坐标，往往符号会出错，他们必须对点的坐标的概念非常清楚,

且知道不同象限内点的坐标的符号特征，才能很快得出正确的答案。所有答案对于概念不

清的学生，都具有迷惑性。

4

案例：如图，直线y=-§x+4与x轴、

y轴分别交于4、B两点，把bAOB绕点

X顺时针旋转90。后得到△MOE,

则点*的坐标是()

A.(3,4)B.(4,5)C.(7,4)D.(7,3)

评析：本题的问题原型所对应的是由一次函数的图像、直角三角形、旋转等知识融合

在一起的图形旋转前后的不变关系问题，学生得出点s•的坐标的过程存在多种错误的可

能，为本题设计四个选择支提供了客观的前提。由此可见，本题的干扰项具有内在必然性,

因而具有较强的迷惑性，有力地保证了本题的效度。

案例：如图，是一次函数y=fcr+方与

反比例函数y=2的图像，则关于x的

X

方程妇c+6=Z的解为()

X

A.Xj—1,x2=2B.X]=-2,x?=-1

C.Xj—1,x?=-2D.X]=2,x2二-1

评析：本题的问题原型是一个数形结合问题，其价值在于可用来考查学生能否运用数

形结合解决问题。由于图形已经确定的给出“关于X的方程X的解”，解答本例

出多种错误的可能较小，因而本题所设计的备选项尽管丰富，但难起迷惑作用。从这个意

义上讲，本题采用选择题型不太合适，从获得正确结果的过程来看，它更适合用填空题的

形式来考查。

4.题设与结论之间的关联词、提问的指导语，既要合乎逻辑，又要无歧义，而且一般

情况下应放在题干中。

案例：观察下列几何体，主视图、左视图和俯视图都是矩形的是（）

评析：本题以三视图知识为载体，灵活考查考生的空间观念。本题采用选择题，对于

考生解答本题具有一定的提示性，从而适当降低了题目的难度，较为有效的提高了考试结

果的信度。

案例：（注，此题为单选题。）顺次连结菱形的各边中点所得到的四边形是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

评析：这道题是有歧义的。本题的四个选择项之间具有包含关系，其中选项A包含

B、C、D,A是一定成立的，C也正确。且在特殊情况下，B、D也正确，如

果这样，那就与单选题的前提相矛盾了。

一«"（刃（3-勾・力-|-制案例：下列五个实数：，，，，，其中正数

的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

评析：本题目的是想考查数的开方、零指数累、乘方、三角函数、绝对值以

及实数的运算等多种概念与基本技能，但采用选择题形式却难于正确评价学生相关内

容的学习情况，其中有一个计算错误就会导致最后结果的不正确，区分度不高。若将此题

改成一道简单的数与式的计算题来考查可能会更加合适。

见〈鼻■鼻案例：一次函数与的图象如图，则下列结论:

上＜・。＞01＜3①；②；③当时，中，正确的个数是（）

A.OB.1C.2D.3.

上

评析：属于多结论选择题，题干中三个结论的判断\结果是相

互独立的，因此学生结果的选择也会出现多种组合，如果是日常

教学过程中的测试，可能会影响该题的考查效度。因为这道题很容易出现答案正确而过程

错误的现象，但是要是阶段性考试，比如期中、期末考试，或是升学考试，从考查学生综

合运用知识能力的角度看，也是一道很好的选择题。这要看我们测试的4

目的是什么。/K

（II）填空题

BDC

•填空题的形式及适用范围：

1.填空题的一般形式是给出若干个条件，要求推断出一个结论，或者计算出

一个结果。也有的是给一个命题要求补充条件或结论，使之成为正确的、完整的命题。

填空题的特点是只考查结果而不考查获得结果的过程。

•填空题型的适用范围：较简单的推理运算问题；容易由概念、性质或图形

做出判断而严格地演绎出结果却是很难或冗繁的问题；貌似计算，实则运用概念或性

质容易揭示出其中某些数量关系的问题。

案例：如图，△ABC中，ADVBC,CELAB,垂足分别为D、E,AD.

CE交于点、H,请你添加一个适当的条件：,使aAEH也

△CEB.

评析:这是一个条件开放试题,也是一道很好地考查学生掌握“双基”的情况,和运用“双

基”解决问题的能力。在44附和△CEB中，由已知条件可以推出：ZCEB=ZAEH

=90°,经简单的推导可得：NB=NAHE»

首先学生必须要知道“对于判定两个三角形全等，已知两对角相等，还差一个条件，而

这个条件只能是一对边相等”这个事实，即利用AAS,也可以用ASA,所以找一对边相

等是解决这个问题的关键。但是，在实际测试中有很多学生都缺乏这样的解题思路。这也

对老师提出了要求，我们的教学方式要有所改变，要设计一些问题，教会学生逆向思维，

如何去寻找条件来保证结论的成立。

案例：三角形的每条边的长都是方程----6=0的根，则三角形的周长是。

（答案：6或10或12。）

评析：本题不仅考查了一元二次方程的解法、三角形三边关系、分类讨论的数学思想、

还有就是对数学问题的理解。丁一--8=•的根为，不二、马=4,可能的情况是2,2,

2、4,4,4、2,2,4、2,4,4四种情况，学生要将几种情况都想到，且考虑了2,

2,4不成立的情况，才能得出正确的结果，但仍然会有学生得到8这个结果，学生运用

知识解决问题时，思维还不够缜密，三角形三边关系使用不熟练；还有的学生不清楚2和

4是可以重复使用的，对数学问题理解不清，不知道一元二次方程的根怎样才能构成三角

形的三边，致使没有答案；极少数学生计算错误导致答案错误。

案例：在“情系灾区”自愿捐款活动中，初二某班的30名同学的捐款情况如下表：

捐款（元）51015202530

人数1196211

（1）问这个班级捐款总数是多少元？

（2）求这3。名同学捐款的平均数是多少？

注：这是一道简单的计算题，两问都是一般的简单推理运算题，也可以说是大部分学

生都应该作对的题目，不能很好地对不同水平的考生进行多层次的区分。更适合作为选择

题或填空题出现。

填空题的进一步发展，出现了填写答案不惟一，或更具开放性的填空题。这类问题具

有较好的辨析性、探索性或开放性，以及创新意义，是对传统填空题的继承和发展。

考试的开放性体现在两个方面，一是考试方式；二是考试试题内容。考试方式的改革

已有很多做法，如，将长周期作业、研究性学习课题纳人到考试范畴和记分，这些无疑是

很有价值的，但还难为一般人(社会)的普遍认同，我们这里也不去研究它。但是将试

题开放，对考查学生对数学知识的理解深度、考查学生创新意识等方面起到了积极的作用。

同时也被越来越多的老师所喜爱并尝试。

案例：小英对代数式3a给出了这样的解释：西瓜每千克3元，那么买a千克西

瓜，共需要3a元，请你对该代数式作出另外的解释是0

评析：结论开放，意味着我要考查的目的更多了，我可以从学生不同的答案中，看到

学生对字母表示数的理解深度，和学生的创新意识，同时也可以看到学生把一个数学模型

赋予一个怎样的实际背景。

我们平时训练的大多是从实际背景中建立数学模型，而把一个数学模型赋予实际背景

的做法很少让学生尝试。

•命制填空题时应该注意的事项：

填空题命题的关键是材料的取舍和空位的设置，以及陈述方式的处理。

1.取材合理，涉及的内容不宜多；

2.考查中心突出、鲜明、集中；

3.发问明确，指导语贴切，不会产生歧义，不会引发误解；

4.陈述简洁、精炼，规范。

(III)解答题

解答题的特点及形式:

1.解答题的特点：

解答题是要求完整地写出解题过程的题目。它的特点是容量较大，能直接考查多个知

识点，以及综合考查多种数学思想、方法和数学能力。由于这类题目要求考生完整地写出

解题过程，因此较之选择题和填空题更能考查考生的解题思路和解题过程，也能更好地对

不同水平的考生进行多层次的区分。

2.解答题的形式及编制方法：

在一个大前提(已知条件)下，提出若干问题，要求学生解答，这是数学解答题的常

见呈现方式。从一个基本数学事实出发，研究其变形、深入、发展，形成一系列的题组，

从中选取合适的题目，是编制解答题的主要方法。对于作为学业考题的解答题，一般应该

具有较大的可塑性和伸缩性。

从表现形式来看，解答题大体可分成两大类：

第一类：所提的若干问是并列的，彼此独立，互不关联；

案例：已知：点。到的两边

,45,所在直线的距离相等，且OB=OC.

(1)如图1,若点。在边5c上，求证:AB=AC;

(2)如图2,若点。在ZkJBC的内部，求证：;

(3)若点。在的外部，,四=4C成立吗？请画图表示.

评析：三问之间可以单独提问来考查学生，本题以三角形全等为载体考查数学思想方

法，巧妙地把全等三角形判定和性质与分类讨论这种数学基本思想方法结合在一起，较好

地体现了《课程标准》对这部分内容的要求，其直接考试结果具有较好的可推广性。

第二类：所提的若干问是递进的，彼此间存在层次上的联系，后一问的解答，依赖于

前一问的结果。

案例：例18(1)解方程求出两个解国和电„并计算两个解的和与积,填入下表:

方程再X2再+XjX1*X2

9x2-2=0

2x2-3x=0

x2-3x+2=0

关于X的方程

ax1+bx+c=0

（a>b>c为常-b+db"-4ac-b-&'-4ac

数，

2a2a

且aw°

b2-4ac廿0）

(2)观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规

律？写出你的结论.

评析：本题的显著特点：一是平台的提供；二是问题的层层递进。本题在考查考生自

主探索能力的同时，还考查了考生的数学阅读能力，可谓一举两得.

•解答题编制的注意事项：

1.要从不同角度发问，从不同方向出题，以增大深度和广度；

2.正确答案可以惟一可以不惟一，但是提出的问题必须明确而具体；

3.要从小处着手出题，又要尽量从大处着眼，要注意考查在掌握一个完整知

识中容易出错而又十分重要的关键问题，还要注意考查知识体系中的架构或对主要特

征的概括；

4.要把问题与实际情景结合起来，注意知识的实际应用。

•影响解答题难度的基本因素有以下几个：

(1)提问方式:

提问方式直接影响着命题的难易。例如，把证明题改为探索题一般能提高难度；增加

题目中间设问，把单间变成分步设问一般能降低难度；同时提问方式要形式多样、新颖。

案例：如图，在四边形K5CD中，点E,尸分别是，D,3c的中点，GH分别是3。，，4C的

中点。已知，=C0,证明四边形EGFH是菱形。

证明：丫点£G分别是HD,BD的中点,

:.EGjLLlB,同理肝立」,4,/.EG^HF.

~2~2

四边形EGFH是平行四边形

EG=-,iB,又可同理证得,EH=-CD

22

<AB=CD

:.EG=EH

t

四边形EGFH是菱形

改为：如图，在四边形，48c。中，点E,尸分别是RD,3c的中点，GH分别是BD,AC史

中点„AB,CD满足什么触时„四边形EGFH触形？请证明你的结论.

(1)当=时，四边形EGFH是菱形.

(2)证明：:点£G分别是HD,BD的中点,

:.EG^LAB,同理师之工期,/.EGLHF.

-2—2

四边形EGFH是平行四边形.

•：EG=-.iB，又可同理证得即=lcZ),

22

•:AB=CD

f

:.EG=EH

四边形EGFH是菱形.

(或用分析法由四边形EGFH是爱形推出满足条件=CD"也对.)

修改前的题目是个简单的证明题，已知条件都已具备，只要利用这些已知条件得出

欢而是菱形即可；修改之后，题目难度加大，灵活性增大，对学生的解题的能力和思维

深度要求提高了，学生首先要进行探究：△均S在什么情况下，回H是菱形，换

句话说，要分析：要使皿0是菱形，将有怎样的数量关系。

(2)题设条件。例如，适当增减条件，变“隐”条件为“显”条件，改间接条件为直

接条件，等等，均可以使题目的难度发生变化；

(3)综合程度。题目涉及的具体知识点、数学思想、数学方法的多少也影响题目

的难度。

案例：如图，4尸、3、C是②。上的四点，44PC二®C=60°,

5y2-f-^6

A3与PC交于。点.(已知：COS150=------)

4

(1)判断的形状，并证明你的结论；

qAPAO

(2)求证：一=—;

PBQB

(3)若上的=15。,4ABe的面积为4g„求尸C的长.

解:

(1)VzABC="PC=60°,zBAC=^BPC=60°,

zACB=180°--zBAC=60°,

545c是等边三角形.

(2)如图，过3作血交尸C于D,则zBDP=^iPC=60=.

AOAP

又zAQP=zBQD,^-AQP^BQD,^j=—

AOAP

-：zBPD=zBDP=60=,PB=BD.=——.

QBPB

(3)设正243c的高为A,则方=5C-sm60=.

-5CA=4-XA,即IsCBGsin60。=4道，解得3c=4.

22

连接。B,OC,。尸，作OE±BC于E.

由248c是正三角形知K0C=120°,从而得NOCE=30°,

CE4

cos30°石

由4的=15°得dBC入4BC+zABP=75°,

于是zPOC=2zPBC=150°.

zPCO=(180°-150°)+2=15。.

在图中.作OF±PC于E,二PC=2FD=2OCcosl50=2&+上^

3

评析：此题具有开放性和综合性，综合考察了等边三角形、相似三角形、特殊角的三

角函数、圆周角的性质、数形结合思想、转化的数学思想等等，需要学生有很好的数学意

识，有很好的“定力”，能够静下心仔细读题，找出解题的关键，对学生的心理也是一个极

大的挑战，现在的学生往往心理浮躁，见到貌似复杂的题就会有退缩心理。如果这类题放

在试卷的最后或倒数第几题，那么学生的恐惧心理会更强。

根据解题者获得解题思路和给出题目解答过程的特点（即数学思维参与的强度），

可将其分为:

程序性解答题分为：计算题，解方程（组）与不等式（组）题，任务性作图题，程序

性解答题的复合题，等。

非程序性解答题分为：应用题，开放题，信息迁移题，证明题，说理题，非程序性解

答题题型的复合题，等。

四、试题命制技术使用及创新

数学命题要体现“依标（标准）用本”，试题尽量源于课本，有利于使学生摆脱题海，

减轻过重的学业负担。很多老师就会利用课本原型题进行改编。

（-）试题改编中的一些常用方法

1.对知识赋予新的问题情境

案例：【原型】用科学记数法表示各类大数或小数。

【改编举例】：

①北京节水在全国处于领先地位。多年来，北京加大产业结构调整力度，全市用水量

持续下降，产业结构不断优化。有数据显示2009年与2001年相比，全市总用水量由

3890000000立方米减少到3510000000立方米。将3510000000立方米用科学记数

法表示为（）

A.立方米B.立方米

C.Q351X17立方米D.311X1『立方米

②据2005年6月9日中央电视台东方时空栏目报道：由于人类对自然资源的不合

理开发与利用，严重破坏了大自然的生态平衡，目前地球上大约每45分钟就有一个物种

灭绝。照此速度，请你预测：再过10年（每年以365天计算）将有大约（）个物种灭

绝。

A.IMxioV5-256x1^0UOxiO4

评析：上述两题考查的都是用科学记数法表示大数的，但是都有一定的实际背景，而

且有利于环保和底碳，也是当前最敏感的话题,

案例：【原型】常见的轴对称图形有线段、角、等腰三角形、正n边形、菱形和矩

形、等腰梯形、圆等；常见的中心对称图形有线段、正2n边形、平行四边形、圆等。

案例：如图，△ABC中，已知NBAC=45°,4。上8c于D,BD=2,

=3,求4。的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以45、4c为对称轴:画出d的、38的轴对称图形，0点的对称点

(2)为EF;延长E3、FC相交于G点，证明四边形且EGF是正方形；

(2)设,利用勾股定理,建立关于x的方程模型:求出x的值.

(1)证明：由题意可得：三铝降级,AACD^ACF

SAB二4AB,zDAC-^FAC,又4dC=45°,

:.^EAF=9QB

又:AD±BC

:.正:zADB=900d="DC=90°

又,AF=AD,

:AE-AF,

••四边形,4ZG尸是正方形.

(2)解：设，S二x,贝!I，江二EG二G尸二x,

•.初=2,DC=3,

;JZ=2,CF=3.

.JG=x-2,CG=x-3.

在Rt^GC中，3G‘+CG2=BC2.

.•(X-2)2+(X-3)2=52.

化简得.X2-5X-6=0.

解得甬=6,x；=-1(舍).

所以JD=x=6.

轴对称是初中三种基本变换之一，它具有全等不变性，即，保距、保角性。通过轴对

称图形可以找到很多相等的结论，有利于问题的解决，此题涉及到转化的数学思想，不仅

利于考查学生的数学能力，同时有利于学生思维的训练。但是很多学生在具体应用这些知

识的时候，却不会灵活使用。折射出教师教学时的某些问题，至少是对轴对称的性质教学

深度不够，没有很好地与其他知识联系，轴对称的本质和应用范围揭示不够。

假如我们没有设计翻折的情境，而是:

“四边形AEGF中，AB、AC分别为NEAD和NFAD的角平分线，

已知NBAC=45°,4。，8c于。，BD=2,0C=3,求4。的长.

(1)证明四边形4EG厂是正方形；

(2)设ZO=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。”

学生可能会觉得更容易、更直接。

【改编模式】：

数学问题IX新的问题背景新的试题

需要注意的几点问题：

①“情景”量的多少把握。

一道题中大篇幅的生活情境可能会影响对考生数学基础知识和基本技能的考查。

②“情景”度的把握。

案例：某堤坝的横截面是梯形ABCD,背水坡

4。的坡度/(即)为1:1.2,坝高为5

米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部

决定加固堤坝，要求坝顶。加宽1米，形成新的

背水坡EF,其坡度为1:1.4,已知堤坝总长度为4000米.

⑴求完成该工程需要多少土方？

⑵该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成.按原计划需要2。天.准备开工前接到

上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高3。%,乙

队工作效率提高40%,结果提前5天完成.问这两个工程队原计划每天各完成多少土

方？

评析：命题有着生产实际背景，且合情合理，恰到好处，既说明了问题，又提供了有

效的数学信息，还没有多余的语言。

从数学角度来看，它们突出了对“用方程的思想一列方程的能力一解方程的技

能一再到实际问题的解决”这一完整过程的考查，并在一定程度上考查了考生分析问题

和解决问题的能力.这类试题体现了本部分内容的整体要求，具有较好的效度和可推广性.

案例：如图，有一小船。

(I)若把小船平移，使点A平移到点B,请在图中画出平移后的小船；

(II)若该小船先从点A航行到达岸边L的点Q处补给后，再航行到点B，但要

求航程最短，试在图中画出点P的位置。

评析：首先，题和图指示均不清，明明是将小船平移，怎么又成了点平移？第二，不

是随便就可以找到一处补给的。点P的位置就一定能补给吗？与实际不符。

2.转换题型

(1)选择题、填空题、解答题间的题型转换。

案例、【原型】计算：1—3=。

【改编举例】：如果某天中午的气温是1℃,到傍晚下降了3℃,那么傍晚的气温

是()

A.4℃B.2℃C.-2℃D.-3℃

评析：赋予一个实际背景，由一个简单的计算题变成一个选择题，不仅要从实际中提

取数学问题，建立数学模型，还有排除选择题特有的干扰因素，难度加大、思维深度加深,

利于学生能力的培养。

案例：【原型】阅读题(针对人教版七年级下的一个教学活动改编的题目)

【改编举例】：学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点，画这条直线的平

行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的(如图1(1)~(4))：思考为什么？

⑴(»(3)(4)

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）

①两直线平行，同位角相等；

②两直线平行，内错角相等；

③同位角相等，两直线平行；

④内错角相等，两直线平行。

A.①②B.②③C.③④D.①④

评析：将课本中的活动内容的本质命制成一个数学试题，能够体现试题源于课本。

案例、【原型】x=取何值时，x*-lr-3=0o（即：求一