3.2.1.1函数的单调性课件高一上学期数学人教A版

函数的单调性安徽淮南第四中学2024.6新课程标准核心素养1.根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．数学抽象2.会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．直观想象3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．数据分析4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．数学建模5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．数据分析如图是某地国庆节的温度变化情况，甲在国庆节时想到此地旅游，你能结合天气预报给一些建议吗？

情

境

导

入1718192021221234567最高气温(单位：度)时间(10月/日)•••••••如果把时间设为x，最高气温设为y，y是x的函数吗？如果y是x的函数，那么函数图象反应了哪些变化规律？观察函数图象的变化规律：

1.在y轴左侧，从左到右函数图象___（上升/下降），在区间_____

上，的值随x的增大而_____．xyox1x2下降(-∞,0]减小f(x)=x2在(-∞,0]上是单调递减的2.在y轴右侧，从左到右函数图象___（上升/下降），在区间_____上，的值随x的增大而_____x1x2上升

(0,+∞)增大f(x)=x2在(0,+∞)上是单调递增的如何用符号语言描述函数的变化趋势？任意取x1,x2∈(-∞,0]，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2).x≤0时,y随x的增大而减小x≥0时,y随x的增大而增大任意取x1,x2∈[0,+∞)，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2).f(x)=x2在(-∞,0]上是单调递减的f(x)=x2在[0,+∞)上是单调递增的增函数与减函数的定义知识点11.增函数.

设函数y=f(x)的定义域为I：若对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，D称为f(x)的单调递增区间Oxyx1x2f(x1)f(x2)如果函数f(x)在定义域上单调递增，则称f(x)为增函数.2.减函数.

设函数y=f(x)的定义域为I：若对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，D称为f(x)的单调递减区间xOyx1x2f(x1)f(x2)如果函数f(x)在定义域上单调递减，则称f(x)为

减函数.提醒

(1)函数的单调递增(单调递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的,显然D⊆I;(2)定义中x1,x2有三个特征:①x1,x2属于同一个区间;②任意性,x1与x2不能用D上的特殊值代替;③有序性,通常规定x1＜x2.知识点2函数的单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在某个区间上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

1.函数的单调性也叫函数的增减性2.函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念.函数单调性定义的等价形式(对于任意的x1,x2

∈D且x1≠x2)：题型一函数单调性的判定与证明例1.试用函数单调性的定义证明f(x)＝

在区间(1,＋∞)上单调递减证明:∀x1,x2∈(1,＋∞)且x1＞x2,因为x1＞x2＞1,所以x2-x1＜0,x1-1＞0,x2-1＞0,所以

f(x1)＜

f(x2),所以f(x)在区间(1,＋∞)上单调递减练习：根据定义，研究函数

在(-1,1)上的单调性已知函数f(x)＝,判断并证明函数f(x)在(-2,＋∞)上的单调性.利用定义证明函数单调性的4步骤取值设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2作差变形定号结论作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式确定差f(x1)-f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论根据定义得出结论题型二求函数单调区间例2.如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．xyo123412345-1-2-3-4567[解析]

函数的单调增区间为[－1,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1)，[3,5)，[6,7](1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并集，用和或“，”隔开..函数y＝｜x2-2x-3｜的单调递增区间是

⁠.

先作绝对值里面函数的图象,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去.xyo132-1如图.由图象可知,其单调递增区间为[-1,1]和[3,＋∞).1.函数

的单调递减区间为()

A.(0,1]B.[-1,1]C.[-1,0)∪(0,1]D.

[-1,0),(0,1]

2.下列结论正确的是单调区间应为定义域的子集，A错不能说定义域内，B错不能用并集符号，D错题型三函数单调性应用角度一:已知函数的单调性求参数1．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(

)A．b＝3

B．b≥3C．b≤3

D．b≠3xyo1322.若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.3.若函数f(x)＝

是定义在R上的减函数,则a的取值范围为()①各段满足单调要求；②衔接点满足单调要求.角度二:利用单调性比较大小或解不等式.已知二次函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(x)在[0,＋∞)上单调递增,则f(0),f(3),f(-4)的大小关系为

⁠.

解析:因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(-4)＝f(4),又二次函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,所以f(0)＜f(3)＜f(4),即f(0)＜f(3)＜f(-4)..已知f(x)在R上是增函数,a,b∈R且a＋b≤0,则f(a)＋f(b)≤

⁠∵a＋b≤0，∴a≤-b，b≤-a，∴f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)3.已知f(x)在区间[-2,2]上单调递增,且f(x-2)＜f(1-x),则x的取值范围为

⁠变量的取值必须在单调区间内因为f(x)在[-2,2]上单调递增,且f(x-2)＜f(1-x).所以x-2＜1-x,.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,＋∞)上单调递增,且f(