2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章　培优点11　阿基米德三角形含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章培优点11阿基米德三角形培优点11阿基米德三角形抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．如图．性质1阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴．性质2若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行．性质3若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，－\f(bp,a))).性质4底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为eq\f(a3,8p).性质5若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.例(多选)(2023·南平模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A，B两点，M为弦AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2，l1，l2相交于点P.下面关于△PAB的描述正确的是()A．点P必在抛物线的准线上B．AP⊥PBC．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则△PAB的面积S的最小值为eq\f(p2,2)D．PF⊥AB答案ABD解析先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y＝px＋px0.证明如下：由于点(x0，y0)在抛物线y2＝2px上，则yeq\o\al(2,0)＝2px0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y0y＝px＋px0，))可得2y0y＝y2＋2px0，即y2－2y0y＋yeq\o\al(2,0)＝0，Δ＝0，所以抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y＝px＋px0.如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋eq\f(p,2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y＝px＋px1，即y1y＝px＋eq\f(y\o\al(2,1),2)，同理可知，抛物线y2＝2px在点B处的切线方程为y2y＝px＋eq\f(y\o\al(2,2),2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1y＝px＋\f(y\o\al(2,1),2)，,y2y＝px＋\f(y\o\al(2,2),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(y1y2,2p)＝－\f(p,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)＝mp，))所以点P的横坐标为－eq\f(p,2)，即点P在抛物线的准线上，A正确；对于B，直线l1的斜率为k1＝eq\f(p,y1)，直线l2的斜率为k2＝eq\f(p,y2)，所以k1k2＝eq\f(p2,y1y2)＝－1，所以AP⊥PB，B正确；对于D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB；当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为kAB＝eq\f(1,m)，直线PF的斜率为kPF＝eq\f(mp,－p)＝－m，所以kAB·kPF＝－1，则PF⊥AB.综上，PF⊥AB，D正确；对于C，|AB|＝eq\r(1＋m2)·|y1－y2|，|PF|＝eq\r(p2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))2)＝eq\r(p2＋m2p2)＝peq\r(1＋m2)，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·|PF|＝eq\f(1,2)eq\r(1＋m2)·|y1－y2|·peq\r(1＋m2)＝eq\f(p,2)(m2＋1)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1＋\f(p2,y1)))＝eq\f(p,2)·(m2＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|y1|＋\f(p2,|y1|)))≥eq\f(p,2)·2eq\r(|y1|·\f(p2,|y1|))＝p2，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,y1＝±p))时，等号成立，C错误．思维升华(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质．(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆．跟踪训练(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．解(1)由题意知M(0，－4)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即eq\f(p,2)＋4－1＝4，解得p＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),4)))，直线AB的方程为y＝kx＋b，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx－4b＝0，则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq\r(1＋k2)·eq\r(k2＋b).因为x2＝4y，即y＝eq\f(x2,4)，所以y′＝eq\f(x,2)，则抛物线在点A处的切线斜率为eq\f(x1,2)，在点A处的切线方程为y－eq\f(x\o\al(2,1),4)＝eq\f(x1,2)(x－x1)，即y＝eq\f(x1,2)x－eq\f(x\o\al(2,1),4)，同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝eq\f(x2,2)x－eq\f(x\o\al(2,2),4)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\o\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\o\al(2,2),4)，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝2k，,y＝\f(x1x2,4)＝－b，))即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－eq\f(1,2)≤k≤eq\f(1,2)，3≤b≤5，满足(※)．设点P到直线AB的距离为d，则d＝eq\f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝4eq\r(k2＋b3).由①得，k2＝eq\f(1－4－b2,4)＝eq\f(－b2＋8b－15,4)，令t＝k2＋b，则t＝eq\f(－b2＋12b－15,4)，且3≤b≤5.因为t＝eq\f(－b2＋12b－15,4)在[3,5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20eq\r(5).1．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”，当弦AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①点P必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－2＝0C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－2＝0答案A解析设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且弦AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)，所以直线PF的斜率为eq\f(4－0,－1－1)＝－2.又因为PF⊥AB，所以直线AB的斜率为eq\f(1,2)，所以直线AB的方程为y－0＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.2．我们把抛物线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”．当弦AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB.已知直线l：y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的“阿基米德三角形”PAB的面积为()A．8eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2eq\r(2)D.eq\r(2)答案A解析抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，直线l：y＝k(x－1)经过抛物线的焦点，依题意，k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))消去y并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝8，解得k2＝1，即k＝±1，当k＝1时，因为△PAB为“阿基米德三角形”，则直线PF的斜率kPF＝－1，直线PF的方程为y＝－x＋1，点P必在抛物线的准线x＝－1上，所以点P的坐标为P(－1,2)，|PF|＝2eq\r(2)，又PF⊥AB，于是得S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·|PF|＝eq\f(1,2)×8×2eq\r(2)＝8eq\r(2)，由对称性可知，当k＝－1时，同理有S△PAB＝8eq\r(2)，所以△PAB的面积是8eq\r(2).3．已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为()A．8B．16C．16eq\r(2)D．32答案D解析方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))得x2－4kx－4b＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，又|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(16k2＋16b)＝8，故k2＋b＝eq\f(4,1＋k2)，又x2＝4y，∴y＝eq\f(1,4)x2，∴y′＝eq\f(1,2)x，故直线PA的方程为y－y1＝eq\f(1,2)x1(x－x1)，即y＝eq\f(1,2)x1x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)，同理，直线PB的方程为y＝eq\f(1,2)x2x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2)，联立直线PA，PB方程可得x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(x1x2,4)，即x＝eq\f(4k,2)＝2k，y＝eq\f(x1x2,4)＝－b，即P(2k，－b)，∴点P到直线AB的距离d＝eq\f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))，∴S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×8×eq\f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))＝4×eq\f(2,\r(1＋k2))·eq\f(4,1＋k2)＝，当k＝0时，(S△PAB)max＝32.方法二由阿基米德三角形的性质知(S△PAB)max＝eq\f(|AB|3,8p)＝eq\f(83,8×2)＝32.4．(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.则下列结论正确的为()A．若弦AB过焦点，则△PAB为直角三角形且∠APB＝90°B．点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2)))C．弦AB所在直线的方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D．△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)答案ACD解析由题意设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),2p)))，x1<x2，由x2＝2py，得y＝eq\f(x2,2p)，则y′＝eq\f(x,p)，所以kPA＝eq\f(x1,p)，kPB＝eq\f(x2,p)，若弦AB过焦点，设弦AB所在直线为y＝kx＋eq\f(p,2)，联立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，则x1x2＝－p2，所以kPA·kPB＝eq\f(－p2,p2)＝－1，所以PA⊥PB，即∠APB＝90°，故A正确；以点A为切点的切线方程为y－eq\f(x\o\al(2,1),2p)＝eq\f(x1,p)(x－x1)，以点B为切点的切线方程为y－eq\f(x\o\al(2,2),2p)＝eq\f(x2,p)(x－x2)，联立消去y得x＝eq\f(x1＋x2,2)，将x＝eq\f(x1＋x2,2)代入y－eq\f(x\o\al(2,1),2p)＝eq\f(x1,p)(x－x1)，得y＝eq\f(x1x2,2p)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2p)))，故B错误；设N为弦AB的中点，N的横坐标为xN＝eq\f(x1＋x2,2)，因此直线PN平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确；设直线AB的斜率为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(\f(x\o\al(2,2),2p)－\f(x\o\al(2,1),2p),x2－x1)＝eq\f(x1＋x2,2p)，故弦AB所在直线的方程为y－eq\f(x\o\al(2,1),2p)＝eq\f(x1＋x2,2p)(x－x1)，化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确．5．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于该弦所形成的阿基米德三角形面积的eq\f(2,3).已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为________；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________．答案－1eq\f(8,3)解析因为y＝eq\f(1,4)x2，所以y′＝eq\f(1,2)x，所以y′|x＝－2＝eq\f(1,2)×(－2)＝－1，所以在A点处抛物线C的切线的斜率为－1，切线方程为y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B点处抛物线C的切线方程为y＝x－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x－1，,y＝x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))所以两切线的交点为P(0，－1)，所以阿基米德三角形面积S△PAB＝eq\f(1,2)×4×2＝4，所以弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积S＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).6.如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2＝2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间上的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.(1)若PA⊥PB，证明：直线AB经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))；(2)若△PMN，△ABQ的面积分别为S1，S2，求eq\f(S1,S2)的值．(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝kx＋b))消去y并整理得x2－2pkx－2pb＝0，由根与系数的关系得x1x2＝－2pb，设抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y1＝t(x－x1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y1＝tx－x1，,x2＝2py))消去y并整理得x2－2ptx＋2ptx1－2py1＝0，则有Δ＝4p2t2－4(2ptx1－2py1)＝4p2t2－4(2ptx1－xeq\o\al(2,1))＝0，解得t＝eq\f(x1,p)，同理，抛物线C：x2＝2py在点B处切线斜率为eq\f(x2,p)，因为PA⊥PB，则有eq\f(x1,p)·eq\f(x2,p)＝eq\f(－2pb,p2)＝－1，解得b＝eq\f(p,2)，所以直线AB：y＝kx＋eq\f(p,2)恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).(2)解由(1)知，切线PA的方程为y－y1＝eq\f(x1,p)(x－x1)，整理得y＝eq\f(x1,p)x－y1，同理，切线PB的方程为y＝eq\f(x2,p)x－y2，设点Q(x0，y0)，则切线MN的方程为y＝eq\f(x0,p)x－y0，由点P(m，n)，则n＝eq\f(x1,p)m－y1，n＝eq\f(x2,p)m－y2，因此直线AB的方程为y＝eq\f(m,p)x－n，则|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)))2)|x1－x2|，点Q(x0，y0)到直线AB的距离d2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)x0－y0－n)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)))2))，则S2＝eq\f(1,2)|x1－x2|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)x0－y0－n))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x0,p)x－y0，,y＝\f(x1,p)x－y1))解得点M的横坐标xM＝eq\f(x0＋x1,2)，同理，点N的横坐标xN＝eq\f(x0＋x2,2)，则|MN|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,p)))2)|xM－xN|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,p)))2)eq\f(|x1－x2|,2)，点P(m，n)到直线MN的距离d1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)x0－n－y0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,p)))2))，则S1＝eq\f(1,4)|x1－x2|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)x0－y0－n))，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,2).§9.1随机抽样、统计图表课标要求1.了解获取数据的基本途径.2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性．知识梳理1．总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量．2．简单随机抽样抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．3．分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．4．统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．(2)作频率分布直方图的步骤①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．常用结论1．利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等．2．在按比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，样本平均数为eq\x\to(w)，则eq\x\to(w)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y).3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关．(×)(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．(√)(3)在按比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(√)2．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法不正确的是()A．500名学生的体重是总体B．每名被抽取的学生的体重是个体C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生的体重是样本容量答案D解析由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，其中总体是该年级500名学生的体重，个体是每名被抽取的学生的体重，样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60，故只有D不正确．3．“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是()A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据答案C解析“中国天眼”主要是通过观察获取数据．4．(2023·宝鸡模拟)从某校随机抽取某次数学考试100分以上(含100分，满分150分)的学生成绩，将他们的分数数据绘制成如图所示的频率分布直方图．若共抽取了100名学生的成绩，则分数在[120,130)内的人数为________．答案30解析因为频率分布直方图中所有的小矩形面积和为1，所以(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030，所以分数在[120,130)内的人数为100×0.030×10＝30.题型一抽样方法例1(1)某工厂利用随机数法对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，下面提供了随机数表的第5行到第6行数据，若从随机数表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是()8442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．623B．328C．253D．007答案A解析从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，则第四个数是007，第五个数是328，第六个数是623.(2)某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出三种及以上发明的有32人，据此估计该校三年级500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有()A．69人 B．84人C．108人 D．115人答案D解析在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100－45－32＝23(人)，设该校三年级中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x人，则eq\f(100,500)＝eq\f(23,x)，解得x＝115.思维升华(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②等可能抽取．(2)在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本容量,各层个体总量).跟踪训练1(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是()A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训B．从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查答案B解析A选项中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训，每个人被抽到的概率不相等，故A错误；B选项中，从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验，是简单随机抽样，故B正确；C选项中，由于被抽取的样本的总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故C错误；D选项中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到的概率不相等，所以不是简单随机抽样，故D错误．(2)(2023·枣庄模拟)杭州亚运会共有3.76万“小青荷”志愿者参与服务．据统计某高校共有本科生1600人、硕士生600人、博士生200人申请报名做志愿者，现用按比例分配的分层随机抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为()A．300B．320C．340D．360答案D解析根据题意知，按比例分配的分层随机抽样的比例为eq\f(30,200)＝eq\f(3,20)，所以该高校抽取的志愿者总人数为(1600＋600＋200)×eq\f(3,20)＝360.题型二统计图表例2(1)(多选)新式茶饮是指以上等茶叶的萃取浓缩液为底，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2023年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．根据所给统计图，下列结论中正确的是()A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%答案BC解析每周都消费新式茶饮的消费者占比为1－9.1%>90%，A错误；每天都消费新式茶饮的消费者占比为5.4%＋16.4%>20%，B正确；月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比为30.5%＋25.6%>50%，C正确；月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比为1－14.5%－30.5%<60%，D错误．(2)(多选)(2024·合肥模拟)为了解我国农业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农业普查的部分数据整理得到如下的柱状图(单位：%)，则()A．东北地区的四项数据均比中部地区高B．西部地区的四项数据均比其他三个地区低C．中部地区的发展情况相较于西部地区的发展较好D．东部地区的发展情况相较于其他三个地区的发展较好答案CD解析东北地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比高于中部地区，但通天然气的村的占比低于中部地区，故A错误；西部地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比低于其他三个地区，但通天然气的村的占比高于其他三个地区，故B错误；中部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于西部地区，故中部地区的发展情况相较于西部地区较好，故C正确；东部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于其他三个地区，故东部地区的发展情况相较于其他三个地区较好，故D正确．思维升华统计图表的主要应用(1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例．(2)折线图：描述数据随时间的变化趋势．(3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率．跟踪训练2(1)已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是()A．全国农产品夏季价格比冬季低B．全国农产品批发价格200指数2022年每个月逐渐增加C．2022年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数趋势基本保持一致D．2022年2月农产品批发价格200指数大于135答案C解析图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错误；全国农产品批发价格200指数2022年4～6月呈下降趋势，并未增加，故B错误；根据图中曲线的变化趋势可发现2022年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数趋势基本保持一致，故C正确；由图知2022年2月农产品批发价格200指数小于135，故D错误．(2)(多选)(2023·潍坊模拟)新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等．我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一．下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况，则()A．2017～2022年我国新能源汽车年产量逐年增加B．2017～2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆C．2022年我国汽车年总产量超过2700万辆D．2019年我国汽车年总产量不低于2018年我国汽车年总产量答案BC解析由图可知，从2018年到2019年，我国新能源汽车年产量在下降，故A错；2017～2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.8－79.4＝626.4(万辆)，故B对；2022年我国汽车年总产量为eq\f(705.8,0.256)≈2757.03(万辆)，故C对；2019年我国汽车年总产量为eq\f(124.2,0.048)＝2587.5(万辆)，2018年我国汽车年总产量为eq\f(127,0.045)≈2822.22(万辆)，所以2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量，故D错．题型三频率分布直方图例3某市某月30天对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61767056819192917581886710110395917786818382826479868575714945(1)完成频率分布表；分组频数频率[41,51)[51,61)[61,71)[71,81)[81,91)[91,101)[101,111](2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，空气质量为良；在101～150之间时，空气质量为轻度污染；在151～200之间时，空气质量为中度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．解(1)频率分布表如表所示．分组频数频率[41,51)2eq\f(2,30)[51,61)1eq\f(1,30)[61,71)4eq\f(4,30)[71,81)6eq\f(6,30)[81,91)10eq\f(10,30)[91,101)5eq\f(5,30)[101,111]2eq\f(2,30)(2)作出频率分布直方图，如图所示．(3)答对下述两条中的一条即可．一：该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的eq\f(1,15)，有26天处于良的水平，占当月天数的eq\f(13,15)，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的eq\f(14,15)，说明该市空气质量基本良好．二：轻度污染有2天，占当月天数的eq\f(1,15)，污染指数在80以上的接近轻度污染的天数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有17天，占当月天数的eq\f(17,30)，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善．思维升华频率分布直方图的相关结论(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)频率分布直方图中纵轴表示eq\f(频率,组距)，每组样本的频率为组距×eq\f(频率,组距)，即小长方形的面积．(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．跟踪训练3某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：(1)求分数在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？解(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分数在[70,80)内的频率为0.25，补全这个频率分布直方图，如图所示．(2)因为分数在区间[80,90)内的频率为0.25，在区间[90,100]内的频率为0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，设排名前10%的分界点为90－a，则0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界点为88分，即获奖的学生至少需要88分．课时精练一、单项选择题1．下列调查方式合适的是()A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽样调查的方式D．为了了解一个寝室的学生(共5个人)每周体育锻炼的时间，采用抽样调查的方式答案C解析A项，采用普查的方式测试炮弹杀伤半径，成本较高，不适合，故错误；B项，采用普查的方式测试玉米的发芽率，较为烦琐且工作量较大，不适合，故错误；C项，抽样调查了解河流水质是正确的；D项，了解5个人的锻炼时间，适合采用普查，故错误．2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体 B．个体C．样本容量 D．从总体中抽取的一个样本答案A解析样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每个居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．3．(2023·西安模拟)为了解某校今年报考飞行员的学生的体重情况．将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为4，则某校报考飞行员的学生总人数是()A．40B．32C．28D．24答案B解析由图可知后两个组频率为(0.013＋0.037)×5＝0.25，又因为从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第1小组的频率为(1－0.25)×eq\f(1,1＋2＋3)＝0.125，又因为第1小组的频数为4，所以报考飞行员的学生人数是4÷0.125＝32.4．(2023·蚌埠质检)已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为()A．50%B．32%C．30%D．27%答案D解析根据题意，抽取的样本容量为(3500＋4500＋2000)×10%＝1000，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为350,450,200，根据图②知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为35,135,100，所以估计该地区学生的平均近视率为eq\f(35＋135＋100,1000)×100%＝27%.5．(2024·拉萨模拟)在统计学中，同比增长率一般是指和上年同期相比较的增长率．如图为我国2021年2月至12月及2022年3月至12月的原油产量同比增长率，则下列叙述正确的是()A．2022年8月的原油产量低于2021年8月的原油产量B．2021年9月至2021年12月的原油产量呈逐月下降趋势C．2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份是6月D．2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数不超过2.5%答案A解析2022年8月的原油产量同比增长率为负数，说明2022年8月原油产量低于2021年8月，故A正确；2021年9月至2021年12月的原油产量的同比增长率呈逐月下降趋势，但均大于0，则原油产量依然可能会增加，故B错误；2022年4月的原油产量同比增长率最高，故C错误；因为eq\f(3.9＋4＋3.6＋3.6＋3＋－0.2＋1.4＋2.5＋2.9,9)≈2.7>2.5，所以2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数超过2.5%，故D错误．6．中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本．意思为现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余．现要用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为()A．12B．14C．18D．20答案D解析设《毛诗》有x册，《春秋》有y册，《周易》有z册，学生人数为m，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝94，,m＝3x，,m＝4y，,m＝5z，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝120，,x＝40，,y＝30，,z＝24，))因此，用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为47×eq\f(40,94)＝20.二、多项选择题7．(2023·柳州、南宁联考)某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，其他组合均无人选．现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断正确的是()A．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生12人B．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政史地组合的学生5人C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大D．政史地组合学生小刘被选中的概率为eq\f(1,50)答案ABD解析用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生为25×eq\f(600,600＋400＋250)＝12(人)，故A正确；用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政史地组合的学生为25×eq\f(250,600＋400＋250)＝5(人)，故B正确；根据按比例分配的分层随机抽样的特征知，每位同学被选中的概率相等，均为eq\f(25,600＋400＋250)＝eq\f(1,50)，故C错误；由C知，每位同学被选中的概率均为eq\f(1,50)，故D正确．8．(2024·武汉模拟)某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后年经济收入构成比例，得到如下扇形图，则下列结论中正确的是()A．招商引资后，工资净收入较前一年增加B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的eq\f(2,5)D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍答案AD解析设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则招商引资前工资净收入为M×60%＝0.6M，而招商引资后工资净收入为2M×37%＝0.74M，所以工资净收入增加了，故A正确；招商引资前转移净收入为M×4%＝0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%＝0.1M，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为0.1M＋0.56M＝0.66M<eq\f(2,5)×2M＝0.8M，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的eq\f(2,5)，故C错误；招商引资前经营净收入为M×30%＝0.3M，招商引资后经营净收入为2M×30%＝0.6M，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确．三、填空题9．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和按比例分配的分层随机抽样，则最合适的抽样方法是________________________．答案按比例分配的分层随机抽样解析由于从不同年龄段客户中抽取，故采用按比例分配的分层随机抽样．10．(2023·马鞍山诊断)某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编号，分别为00,01,02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为________．9084607980243659873882075389359635237918059890073546406298805497205695157480083216467050806772164275答案23解析重复的号码只能算作一个，抽取样本号码是24,36,38,07,35,23,18,0