2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第五章　§5.1　平面向量的概念及线性运算含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第五章§5.1平面向量的概念及线性运算§5.1平面向量的概念及线性运算课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC中，D为BC的中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．3．在△ABC中，点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(×)(2)单位向量都相等．(×)(3)任一非零向量都可以平行移动．(√)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)2．下列命题正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bC．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是平行向量D．平行向量不一定是共线向量答案C解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；C项，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，是平行向量，故C正确；D项，平行向量就是共线向量，故D错误．3．(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))答案BC4．(必修第二册P16T3改编)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，即2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.题型一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法正确的是()A．若a＝b，b＝c，则a＝cB．若四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是平行四边形C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．与非零向量a共线的单位向量为±eq\f(a,|a|)答案ABD解析对于A，由相等向量的定义知，A正确；对于B，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形，故B正确；对于C，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c，故C错误；对于D，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±eq\f(a,|a|)，故D正确．(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D.eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))答案D解析方法一(排除法)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))不共线，故A，B错误；eq\o(PE,\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6(→))方向相反，C错误；故选D.方法二在等腰梯形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))不平行，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))不平行，故A，B错误；∵AB∥CD，∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(CD,AB)＝eq\f(PC,PA)，∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PA,PC)，则eq\f(PB＋PD,PD)＝eq\f(PA＋PC,PC)，即eq\f(BD,PD)＝eq\f(AC,PC)，即eq\f(PD,BD)＝eq\f(PC,AC)，∵EF∥AB，∴eq\f(PE,AB)＝eq\f(PD,BD)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(PF,AB)，∴PE＝PF，即P为EF的中点，∴eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))，故C错误，D正确．思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是与非零向量a同方向的单位向量．跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A．若|a|＝0，则a＝0B．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb答案AC解析对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；对于B，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故B错误；对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.综上可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误．(2)(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线C.eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(EH,\s\up6(→))共线D.eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))答案ABD解析由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，即A正确；由图形可知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))的方向相反，eq\o(CD,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))的方向相同且长度相等，即eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，故B，D正确；而∠BDE与∠DEH不一定相等，eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(EH,\s\up6(→))不一定共线，故C错误．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝7，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[3,7] B．(3,7)C．[3,11] D．(3,11)答案C解析由题意知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝7，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，当eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))同向时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||＝|4－7|＝3；当eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))反向时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝||eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))||＝|4＋7|＝11；当eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))不共线时，3＝||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||<|eq\o(BC,\s\up6(→))|<||eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))||＝11，故|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是[3,11]．命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n答案B解析因为BD＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.命题点3根据向量线性运算求参数例4(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(7,9)C.eq\f(3－2\r(2),2) D.eq\f(1＋\r(2),2)答案A解析如图，在矩形ABCD中，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，在△DAO中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，∴λ2－μ2＝eq\f(1,16)－eq\f(9,16)＝－eq\f(1,2).思维升华平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋b B.eq\f(1,3)a＋bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b答案B解析在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F，则△DEF∽△BEA，所以eq\f(DF,BA)＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3)，则eq\f(DF,BA)＝eq\f(DF,DC)＝eq\f(1,3)，所以eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋b.(2)(2023·聊城模拟)M是△ABC内的一点，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A.eq\f(7,6)B．1C.eq\f(5,6)D.eq\f(1,3)答案D解析由eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝6μeq\o(AC,\s\up6(→))－6λeq\o(BC,\s\up6(→))＝6μeq\o(AC,\s\up6(→))＋6λeq\o(CB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，故μ＝λ＝eq\f(1,6)，故λ＋μ＝eq\f(1,3).题型三共线定理及其应用例5(1)(2023·徐州模拟)已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝________.答案±2eq\r(2)解析因为向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＝－kt，,－k＝t，))解得k＝±2eq\r(2).(2)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于点D，交AC于点E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案3解析如图，延长AG交BC于点F，则F为BC的中点，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3λ)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，又G，D，E三点共线，∴eq\f(1,3λ)＋eq\f(1,3μ)＝1，即eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3.思维升华利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3)已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.跟踪训练3(1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，则()A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线答案D解析对于A，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))不共线，故A不正确；对于B，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，故B不正确；对于C，eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))不共线，故C不正确；对于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))有公共点C，则A，C，D三点共线，故D正确．(2)如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN的中点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值是________．答案eq\f(1,4)解析因为eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AN,\s\up6(→))，因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AN,\s\up6(→))，且B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(3,4)＝1，所以m＝eq\f(1,4).课时精练一、单项选择题1．(2023·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))答案A解析因为六边形ABCDEF为正六边形，所以eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝0．2.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为()A．2e1－3e2B．3e1－2e2C．2e1＋3e2D．3e1＋2e2答案D解析由题意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.3．若a，b为非零向量，则“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”是“a，b共线”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案B解析依题意，“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”表示与a，b同向的单位向量是相等向量，能推出“a，b共线”，所以充分性成立；“a，b共线”可能同向共线、也可能反向共线，所以“a，b共线”不能推出“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”，所以必要性不成立．4．(2024·银川模拟)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c与d方向相反，则实数x的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)答案B解析因为c与d方向相反，所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb，因为向量a，b不共线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＝1，,k＝2x－1，))整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或x＝1.又k<0，所以x<0，故x＝－eq\f(1,2).5．已知O，A，B三点不共线，点P为该平面内一点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的延长线上C．点P在线段AB的反向延长线上D．点P在射线AB上答案D解析由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\o(AB,\s\up6(→))，所以点P在射线AB上．6.如图所示，△ABC内有一点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，过点G作一直线分别交AB，AC于点D，E.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)等于()A．4B．3C．2D．1答案B解析因为eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以G为△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝teq\o(AD,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(AE,\s\up6(→))＝txeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－t)yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以tx＝eq\f(1,3)，(1－t)y＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3t＋3(1－t)＝3.二、多项选择题7．下列各式中能化简为eq\o(AD,\s\up6(→))的是()A．－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))B．－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))答案ACD解析对于A，－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故A正确；对于B，－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(MB,\s\up6(→))，故B错误；对于C，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故C正确；对于D，eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－0＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故D正确．8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F为AE的中点，则()A.eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案ABC解析∵AB∥CD，AB＝2DC，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，故A正确；∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又F为AE的中点，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故B正确；∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故C正确；∴eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故D错误．三、填空题9．已知在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状是________．答案等腰梯形解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，可得AB∥CD且AB＝eq\f(1,2)DC，所以四边形ABCD是梯形，又因为|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以梯形ABCD的两个腰相等，所以四边形ABCD是等腰梯形．10．(2023·徐州模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2024，则|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是________．答案20240解析当单位向量e1，e2，…，e2024方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2024|＝2024；当单位向量e1，e2，…，e2024首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2024＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2024|的最小值为0.11．(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC中，点P是斜边BC上一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，则△ABC的面积为________．答案eq\f(25,2)解析如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC分别于点E，F，由于eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，则|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，故△ABC的面积S＝eq\f(1,2)×5×5＝eq\f(25,2).12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CF,\s\up6(→))，则|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))|＝________.答案3解析因为eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CF,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)×2＝3.四、解答题13．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，AC与EF交于点N.(1)若eq\o(CN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，求λ＋μ的值；(2)设eq\o(AE,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AC,\s\up6(→)).解(1)依题意，设eq\o(EN,\s\up6(→))＝teq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋teq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋t(eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CE,\s\up6(→))＋teq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1－t,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(t,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(CN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1－t,3)，,μ＝－\f(t,3)，))解得λ＋μ＝－eq\f(1,3).(2)因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(5,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)a＋eq\f(3,5)b.14.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．(1)解在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a.(2)证明因为eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))∥eq\o(BF,\s\up6(→))，又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线．15．(2023·扬州模拟)设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△BOC的面积为()A．1B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案C解析如图，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴－eq\f(1,7)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(OC,\s\up6(→))，设－eq\f(1,7)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(OC,\s\up6(→))，即B，C，D三点共线，∴eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(S△BOC,S△ABC)＝eq\f(1,8)，∴S△BOC＝4×eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).16.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析因为CO与AB交于点D，所以O，C，D三点共线，所以eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OD,\s\up6(→))共线，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OD,\s\up6(→))，则m>1，因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以meq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up6(→))，因为A，B，D三点共线，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，可得λ＋μ＝m>1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．§5.2平面向量基本定理及坐标表示课标要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.常用结论1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(×)(2)基底中可以含有零向量．(×)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(√)2．若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能构成平面内所有向量的一个基底的是()A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与2e1＋e2C．e1－2e2与e1＋2e2 D．e1－e2与e2－e1答案D解析因为e2－e1＝－(e1－e2)，故e1－e2与e2－e1共线，不能构成基底．3．(必修第二册P31例7改编)若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)答案D解析由题意得3m＝4，则m＝eq\f(4,3).4．(2023·石嘴山模拟)已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是________．答案(－2,15)解析设点O为坐标原点，∵点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，∴2eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))，即2(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝3(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))＝3(2,3)－2(4，－3)＝(－2,15)．∴点P的坐标为(－2,15).题型一平面向量基本定理的应用例1(1)设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．4e1＋2e2和2e2－4e1C．2e1＋e2和e1＋eq\f(1,2)e2D．e1－2e2和4e2＋2e1答案C解析平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，即2e1＋e2和e1＋eq\f(1,2)e2为共线向量，所以它们不能作为基底．其他选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底．(2)(2023·西安模拟)如图，在平行四边形ABCD中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，则eq\o(BA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(6,5)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(9,5)eq\o(CE,\s\up6(→)) B.eq\f(2,5)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(CE,\s\up6(→))C.eq\f(6,5)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(9,5)eq\o(CE,\s\up6(→)) D.eq\f(2,5)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(CE,\s\up6(→))答案C解析设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝－a－eq\f(2,3)b，因为eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋b，设eq\o(BA,\s\up6(→))＝meq\o(AF,\s\up6(→))＋neq\o(CE,\s\up6(→))，则－a＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋b))＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a－\f(2,3)b))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m－n＝－1，,m－\f(2,3)n＝0，))解得m＝eq\f(6,5)，n＝eq\f(9,5)，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(6,5)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(9,5)eq\o(CE,\s\up6(→)).思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．跟踪训练1(1)平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是()A．向量a，b的方向相同B．向量a，b中至少有一个是零向量C．向量a，b的方向相反D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0答案D解析因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确；因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确．(2)(2023·太原模拟)已知在矩形ABCD中，E为AB边中点，AC，DE交于点F，则eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析如图，取CD中点G，连接BG，交AC于点H，∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，又E为AB中点，∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知A(－1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，则点P的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3))) B．(7,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2)答案C解析设点P的坐标为(x，y)，∵A(－1,2)，B(3,0)∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)．由点P在直线AB上且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))或eq\o(AP,\s\up6(→))＝－2eq\o(PB,\s\up6(→)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝23－x，,y－2＝2－y))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－23－x，,y－2＝－2－y.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－2.))∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2)．(2)(2024·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(15,8)D．2答案B解析在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB＝2，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，M(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2)，λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－2μ＝2，,λ＋2μ＝2，))解得λ＝eq\f(4,3)，μ＝eq\f(1,3)，λ＋μ＝eq\f(5,3)，所以λ＋μ的值为eq\f(5,3).思维升华(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．跟踪训练2(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))表示c，则()A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b答案D解析如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，c＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－2，))所以c＝3a－2b.题型三向量共线的坐标表示例3(1)(2023·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝________.答案eq\f(3,2)解析a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，则a＋2b＝(－1＋2m，－4)，由题意得(a＋2b)∥a，故4＝2(－1＋2m)，解得m＝eq\f(3,2).(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交点坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3)))解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(0,4)，E(1,0)，F(1,2)，设AF与CE交点为D(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1,2)，且eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→))，即2x－y＝0，①又eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，－4)，且eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即y－4＋4x＝0，②由①②得x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(4,3)，故交点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3))).思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3(1)(2024·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，则tanα的值为()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案A解析因为a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，所以a＋b＝(4，sinα)，又c＝(2，cosα)且(a＋b)∥c，所以4cosα＝2sinα，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2.(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为____．答案(2,4)解析∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4－x,2－y)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即eq\b\lc\{\rc\