青岛版初中八年级数学上册5-5三角形内角和定理第2课时直角三角形的性质定理及逆定理课件

第5章几何证明初步5.5三角形内角和定理第2课时直角三角形的性质定理及逆定理基础过关全练知识点3直角三角形的性质与判定1.在Rt△ABC中,已知∠ACB是直角,∠B=55°,则∠A的度数是

()A.55°

B.45°

C.35°

D.25°C解析在△ABC中,因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°,所以

∠A=90°-∠B=35°,故选C.2.如图,在△ABC中,AB⊥AC,∠C=55°,点E为BA延长线上一

点,点F为BC边上一点,若∠E=30°,则∠CFE的度数为

.65°解析在Rt△ABC中,因为∠BAC=90°,∠C=55°,所以∠B=90

°-∠C=35°.因为∠CFE是△BEF的外角,所以∠CFE=∠B+∠

E=35°+30°=65°.3.(2023四川攀枝花中考)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,

线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC=

.10°解析在△ABC中,因为∠C=90°,所以∠A+∠ABC=90°,所以

∠ABC=90°-∠A=50°.因为DE是线段AB的垂直平分线,所以

AE=BE,所以∠EBA=∠A=40°,所以∠EBC=∠ABC-∠EBA=50

°-40°=10°.4.(2022山东泰安肥城期末)在具备下列条件的△ABC中,是直

角三角形的有

(填序号).①∠A-∠B=∠C;②∠A=3∠C,∠B=2∠C;③∠A=∠B=2∠C;④∠A=∠B=

∠C.①②④解析①∠A=∠B+∠C,故2∠A=180°,∠A=90°,是直角三角

形;②∠A+∠B+∠C=3∠C+2∠C+∠C=180°,∠C=30°,得∠A

=90°,是直角三角形;③∠A+∠B+∠C=5∠C=180°,∠C=36°,

∠A=∠B=72°,不是直角三角形;④∠A+∠B+∠C=2∠C=180

°,∠C=90°,故是直角三角形.故正确的有①②④.5.(2023湖北十堰中考)一副三角板按如图所示的位置放置,

点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=

.100°解析在Rt△AEG中,因为∠E=90°,所以∠EAB+∠AGE=90°.

在Rt△BFG中,因为∠B=90°,所以∠BFG+∠BGF=90°.又因为

∠AGE=∠BGF,所以∠EAB=∠BFG=35°.由题意得∠DFE=4

5°,所以∠DFC=180°-∠BFG-∠DFE=180°-35°-45°=100°.6.如图,E是△ABC的边AC上一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.

若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?解析△ABC是直角三角形,理由如下:因为ED⊥AB,所以∠ADE=90°,△ADE是直角三角形,所以∠1+∠A=90°.因为∠1=∠2,所以∠2+∠A=90°,所以△ABC是直角三角形.7.(2022山东德州九中月考)如图,在△ABC中,AD,AE分别是

△ABC的高和角平分线.(1)若∠B=30°,∠C=60°,求∠DAE的度数;(2)写出∠DAE与∠C-∠B的数量关系,并证明你的结论.解析(1)因为∠B+∠C+∠BAC=180°,∠B=30°,∠C=60°,所

以∠BAC=180°-30°-60°=90°.因为AE是△ABC的角平分线,所以∠BAE=

∠BAC=45°.因为∠AEC为△ABE的外角,所以∠AEC=∠B+∠BAE=30°+45°=75°.因为AD是△ABC的高,所以∠ADE=90°,所以∠DAE=90°-∠AEC=90°-75°=15°.(2)∠DAE=

(∠C-∠B).证明:由(1)知∠DAE=90°-∠AEC=90°-

=90°-∠B-

∠BAC.因为∠BAC=180°-∠B-∠C,所以∠DAE=90°-∠B-

(180°-∠B-∠C)=

(∠C-∠B).能力提升全练8.(分类讨论思想)(2024广东省实验中学期中,15,★☆☆)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=50°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为

.

20°或60°解析分两种情况:①如图1,因为AD为边BC上的高,所以∠

ADB=90°,又因为∠ABC=50°,所以∠BAD=90°-∠ABC=40°.

因为∠CAD=20°,所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°.②如图2,

因为AD为边BC上的高,所以∠ADB=90°,因为∠ABC=50°,所

以∠BAD=90°-∠ABC=40°.因为∠CAD=20°,所以∠BAC=∠

BAD-∠CAD=20°.综上,∠BAC的度数为20°或60°.9.(双角平分线模型)(2023山东青岛实验初中期末,14,★★★)

如图,∠ABC=∠ACB,△ABC的内角∠ABC的平分线BD与∠

ACB的邻补角(∠ACF)的平分线交于点D,△ABC的外角∠

MBC的平分线与CD的反向延长线交于点E,以下结论:①AD

∥BC;②DB⊥BE;③∠BDC+∠ABC=90°;④DB平分∠ADC;

⑤∠BAC+2∠BEC=180°.其中正确的结论有

.(填序

号)①②③⑤解析如图,过点D作DG⊥BF于G,DH⊥AB,交BA的延长线

于点H,DP⊥AC于P,过点A作AQ⊥BC于Q.

因为BD是∠ABC的平分线,所以DH=DG.因为CD是∠ACF的

平分线,所以DG=DP,所以DH=DP,所以AD是∠CAH的平分线,即∠CAD=∠HAD=

∠CAH.因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠CAD+∠HAD+∠BAC=180°,∠ABC=∠ACB,所以∠

CAD=∠ACB,所以AD∥BC,①正确.因为BE平分∠CBM,BD

平分∠ABC,∠CBM+∠ABC=180°,所以∠DBE=

∠ABC+

∠CBM=

×180°=90°,即DB⊥BE,②正确.因为BD是∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠DBC.因为CD是∠ACF的平分线,所以

∠ACD=∠FCD.因为∠ACF=∠BAC+∠ABC,∠DCF=∠BDC

+∠DBC,所以∠BDC=

∠BAC=∠BAQ.因为AQ⊥BC,所以∠BQA=90°.所以∠BAQ+∠ABC=90°,所以∠BDC+∠ABC=90°,

③正确.因为AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC=

∠ABC=

×

=45°-

∠BAC,而∠BDC=

∠BAC,所以∠ADB与∠BDC不一定相等,所以DB不一定是∠ADC的平分线,④

不正确.因为BE⊥BD,所以∠E+∠BDC=90°,因为∠BDC=

∠BAC,所以∠E+

∠BAC=90°,所以2∠E+∠BAC=180°,⑤正确.综上所述,正确的结论有①②③⑤.10.(2022山东聊城高唐期末,25,★★★)如图1,在△ABC中,∠

ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,AD,CE

相交于点F.(1)求∠AFC的度数;(2)请你写出FE与FD之间的数量关系,并证明;(3)如图2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而其他条件不变,

试猜想线段AE,CD与AC之间的数量关系,并说明理由.图1图2解析(1)在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=90°-60°=30°.∵AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,∴∠FAC=15°,∠FCA=45°,∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠ACF)=120°.(2)FE=FD.理由如下:如图1,在AC上截取CG=CD,连接FG,∵CE平分∠BCA,∴∠DCF=∠GCF.在△CFG和△CFD中,

∴△CFG≌△CFD(SAS),∴DF=GF,∠CFD=∠CFG.由(1)可知∠AFC=120°,∴∠CFD=180°-∠AFC=60°=∠CFG,∴∠AFG=180°-∠GFC-∠DFC=60°,∠AFE=∠CFD=60°,∴

∠AFE=∠AFG.∵AD平分∠BAC,∴∠EAF=∠GAF.在△AFG和△AFE中,

∴△AFG≌△AFE(ASA),∴EF=GF,∴FE=FD.图1图2(3)结论:AC=AE+CD.理由如下:如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG.同(2)可得,△EAF≌△GAF,∴∠EFA=∠GFA.∵AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,∴∠FAC=

∠BAC,∠FCA=

∠ACB,∴∠FAC+∠FCA=

(∠BAC+∠ACB)=

(180°-∠B)=60°,∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°,∴∠GFA=∠EFA=180°-120°=60°=∠DFC,∴∠CFG=60°=∠CFD,同(2)可得△FDC≌△FGC,∴CD=CG,∴AC=AG+CG=AE+CD.素养探究全练11.(运算能力)(整体思想)如图所示.

图甲图乙图丙图丁(1)求图甲中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.(2)如图乙,如果点E向左移动到AD上,计算∠A+∠B+∠C+∠

D+∠BEC的度数.(3)如图丙,当点E移到AD的左侧时,直接写出∠A+∠B+∠C+

∠D+∠E的度数.(4)如图丁,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小有变化吗?说明理

由.解析(1)如图,∵∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D,

∴∠1+∠2=∠B+∠C+∠D+∠E.又∵∠1+∠2+∠A=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(2)如图,∵∠1=∠B+∠D,∠2=∠A+∠C,

∴∠1+∠2=∠A+∠B+∠C+∠D.又∵