青岛版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(二)证明三角形全等的五大基本模型课件

证明三角形全等的五大基本模型专项素养巩固训练卷(二)类型一一线三等角全等模型1.(2024山东菏泽曹县期中,25,★☆☆)如图,点C在BE上,∠B=∠E=∠ACF,AB=

CE,说明AC=CF的理由.

解析因为∠BCF=∠E+∠CFE,∠BCF=∠ACF+∠ACB,∠ACF=∠E,所以∠ACB=∠CFE.在△ABC和△CEF中,

所以△ABC≌△CEF(AAS),所以AC=CF.方法解读当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角或直角或钝角),且有一组

边相等时,考虑用“一线三等角”全等模型.使用时,找准三个等角,再根据平角

性质、三角形内角和及外角性质进行等角代换,进而判定三角形全等.2.(2024山东聊城东阿三中月考,19,★★☆)如图,已知点C是线段AB上一点,∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.(1)说明△ACD与△BEC全等的理由.(2)说明AB=AD+BE的理由.

解析

(1)因为∠DCE=∠A,所以180°-∠DCE=180°-∠A,所以∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE,所以∠D=∠BCE.在△ACD和△BEC中,

所以△ACD≌△BEC(AAS).(2)由(1)得△ACD≌△BEC,所以AD=BC,AC=BE,所以AC+BC=AD+BE,即AB=AD+BE.3.(学科素养应用意识)(★★☆)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋

千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1m高

的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、

CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC=90°,爸爸在C处接住小丽时,求小丽距离地面的

高度.

解析由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC,所以∠BOD+∠OBD=90°.因为∠BOC=90°,所以∠COE+∠BOD=90°,所以∠COE=∠OBD.在△COE和△OBD中,

所以△COE≌△OBD(AAS),所以CE=OD=1.8m,OE=BD=1.4m,所以DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m).因为AD=1m,所以AE=AD+DE=1.4m,所以爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面

的高度为1.4m.4.(学科素养运算能力)(★★☆)如图,AE⊥AB,AE=AB,BC⊥CD,BC=CD.若点E,

B到直线AC的距离分别为6和3,AC=8,求图中阴影部分的面积.

解析如图,作EF⊥AC,BH⊥AC,DG⊥AC,分别交直线AC于点F、H、G,所以∠FEA+∠EAF=90°,EF∥DG.因为点E、B到直线AC的距离分别为6、3,所以EF=6,BH=3.因为∠EAB=90°,所以∠EAF+∠BAH=90°,所以∠FEA=∠BAH.在△EAF和△ABH中,

所以△EAF≌△ABH(AAS),所以AH=EF=6,AF=BH=3.同理△BCH≌△CDG,所以CG=BH=3,DG=CH=AC-AH=2,所以FG=AF+AH+CH+CG=3+6+2+3=14,所以S阴影=S梯形EFGD-S△EAF-S△ABC-S△CDG=

×(6+2)×14-

×6×3-

×8×3-

×3×2=32.类型二手拉手模型5.(★☆☆)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,BC、DE分别是这两个等腰三

角形的底边,且∠BAC=∠DAE,求证:BD=CE.

证明因为△ABC和△ADE都是等腰三角形,BC、DE分别是这两个等腰三角形

的底边,所以AE=AD,AB=AC.因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△DAB与△EAC中,

所以△DAB≌△EAC(SAS),所以BD=CE.6.(★★☆)如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50°.(1)求证:AC=BD.(2)AC与BD相交于点P,求∠APB的度数.

解析

(1)证明:因为∠AOB=∠COD,所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.因为OA=OB,OC=OD,所以△AOC≌△BOD(SAS),所以AC=BD.(2)如图,设AC与BO交于点M,则∠AMO=∠BMP.因为△AOC≌△BOD,所以∠OAC=∠OBD,所以180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP,所以∠APB=∠AOM=50°.类型三半角模型7.(学科素养推理能力)(★★☆)如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,点F在CD

上,连接AE、AF、EF,∠EAF=45°.(1)求证:DF+BE=EF.(2)若AH⊥EF,垂足为H,求证:AH=AD.

证明

(1)如图,延长CB至点G,使BG=DF,连接AG.因为四边形ABCD是正方形,所以AD=AB,∠D=∠ABE=90°,所以∠ABG=90°.在△ABG和△ADF中,

所以△ABG≌△ADF(SAS),所以AG=AF,∠GAB=∠DAF.因为∠EAF=45°,所以∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠GAB=∠GAE=45°,所以∠EAF=∠GAE.在△AEG和△AEF中,

所以△AEG≌△AEF(SAS),所以GE=EF,所以DF+BE=BG+BE=GE=EF.

(2)如图,过点A作AH⊥EF,由(1)得△AEG≌△AEF,所以EG=EF,S△AEG=S△AEF,所以

GE·AB=

EF·AH,所以AB=AH,因为AB=AD,所以AH=AD.

类型四对角互补模型8.(★★☆)如图,在平面直角坐标系中,C(4,4),点B、A分别在x轴正半轴和y轴正

半轴上,∠ACB=90°,求OA+OB的长.

解析如图,过点C作CM⊥y轴于M,CN⊥x轴于N,则∠CMA=∠CNB=90°.因为C(4,4),所以CN=CM=4.因为∠MON=∠CNO=∠CMO=90°,所以∠MCN=360°-90°-90°-90°=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠MCN,所以∠ACM=∠BCN.在△ACM和△BCN中,

所以△ACM≌△BCN(ASA),所以AM=BN,所以OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8.

9.(★★☆)如图,四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,BD=6,求四边形

ABCD的面积.

解析如图,过点D作DF⊥BD,交BC的延长线于F,则∠BDF=90°,所以∠BDF=∠ADC,所以∠ADB=∠CDF.因为∠ADC=∠ABC=90°,所以∠A+∠BCD=180°,因为∠BCD+∠DCF=180°,所以∠A=∠DCF,因为AD=CD,所以△ADB≌△CDF(ASA),所以BD=DF=6,S△ADB=S△CDF,所以S四边形ABCD=S△BDF.因为BD=DF=6,∠BDF=90°,所以S△BDF=

×6×6=18,所以S四边形ABCD=18,即四边形ABCD的面积为18.方法解读当四边形中有一组对角互补,且有一组邻边相等时可考虑用“对角

互补模型”.解题时,通过作等角(或延长某一边并截取等线段)构造全等三角形,

利用全等三角形的性质解决线段、面积问题.类型五动点模型10.(2023山东聊城阳谷期中改编,16,★★☆)如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB⊥射线

BM,垂足为点B,AB=12cm,AC=6cm.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN

运动,点D在射线BM上,且BD=AB.若点E的运动时间为ts(t>0),则当t=

s

时,△DEB与△BCA全等.

2或6答案

2或6解析分情况讨论:①当点E在线段AB上,AC=BE时,△ACB≌△BED,所以BE=AC=6cm,所以AE=AB-BE=12-6=6(cm),所以点E的运动时间为6÷3=2(s);②当E在射线BN上,AC=BE时,△ACB≌△BED,所以BE=AC=6cm,所以AE=AB+BE=12+6=18(cm),所以点E的运动时间为18÷3=6(s).综上,t=2或6.11.(2024山东聊城阳谷期中,26,★★☆)如图,做一个“U”字形框架PABQ,其中

AB=42cm,AP、BQ足够长,PA⊥AB,QB⊥AB,点M从点B出发,向点A运动,同时点

N从点B出发,沿射线BQ运动,点M、N运动的速度之比为3∶4,当M、N两点运动

到某一瞬间时,同时停止,此时在射线AP上取点C,使△ACM与△BMN全等,求此

时线段AC的长.

解析由题意设BM=3tcm,BN=4tcm,因为AB=42cm,所以A