福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2024届高三上学期12月联考数学试题含答案

“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2023—2024学年第一学期联考高三数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷（选择题，共60分）单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合，，则的元素的个数是（

）A．1 B．2 C． D．2．复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．函数的图象可能是（

）．A．

B．

C．

D．

4.设的内角的对边分别为，若则的值可以A． B． C． D．若向量，，且，则在方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．6．设，，则下列说法中正确的是（

）A．B．C．D．4923578167．我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的每列的数字之和为，如图，三阶幻方的，那么（

）A．41 B．369 C．1476 D．33218.函数,若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（

）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）9.函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．点是函数图象的一个对称中心D．直线是函数图象的对称轴10．已知数列中，，，则下列结论正确的是（

）A． B．是递增数列 C． D．11．已知函数的定义域为，若，且均为奇函数，则（

）A． B． C． D．12．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（

）A．四面体PBCQ的体积的最大值为B．的取值范围是C．若二面角的平面角为，则D．若三棱锥的外接球表面积为S，则第Ⅱ卷（非选择题，共90分）填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点,.14.命题：“”是假命题，则实数m的取值范围是．15.设点，，在上，若，则_________.16．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的范围为.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数（1）当，求的最值,及取最值时对应的的值；（2）在中,为锐角，且，求的面积.18.已知函数，的图象在处的切线为．（1）设，求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．19．已知数列的前n项和为，，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列的前n项和为，求证：．20．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，,，平面平面．（1）设平面平面，问：线段上是否存在一点，使平面？（2）平面与平面的夹角的余弦值.21．已知的三个角，，的对边分别为，，，，．（1）求角；（2）若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点），设，当取最小值时，求的面积．22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）函数有两个零点,求证：.“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2023—2024学年第一学期联考高三数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷（选择题，共60分）单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合，，则的元素的个数是（

）A．1 B．2 C． D．答案：A2．复数的虚部为（

）A． B． C． D．答案：C3．函数的图象可能是（

）．A．

B．

C．

D．

答案：A4.设的内角的对边分别为，若则的值可以A． B． C． D．答案：A5.若向量，，且，则在方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．答案：C6．设，，则下列说法中正确的是（

）A．B．C．D．答案：B4923578167．我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的每列的数字之和为，如图，三阶幻方的，那么（

）A．41 B．369 C．1476 D．3321答案：B8.函数,若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（

）A．B．C．D．答案：D【详解】由题知，的实数解及转化为，或的实数解，即当时，所以时，，单调递增，时，，单调递减，如图所示：

所以时有最大值：所以时，由图可知，当时，因为，，所以，令，则则有且，如图所示：

因为时，已有两个交点，所以只需保证与及与有四个交点即可，所以只需，解得.故选：D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）9.函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．点是函数图象的一个对称中心D．直线是函数图象的对称轴答案：ACD10．已知数列中，，，则下列结论正确的是（

）A． B．是递增数列 C． D．答案：BD11．已知函数的定义域为，若，且均为奇函数，则（

）A． B． C． D．答案：ABC【详解】因为均为奇函数，所以，即①，，因为，即，所以，即②．由①，取得，由②，令，得；令，得，所以．由①，令，得．故选：ABC12．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（

）A．四面体PBCQ的体积的最大值为B．的取值范围是C．若二面角的平面角为，则D．若三棱锥的外接球表面积为S，则答案：ACD【详解】由题意知在直四棱柱中，半圆弧经过点D，故，点P到底面的距离为，当点Q位于半圆弧上的中点时最大，即四面体PBCQ体积最大，则，故A正确；由于，则，又在中，，故，因为，所以，则，故B错误；因为平面，平面，故，而,平面，故平面，平面，故，所以是二面角的平面角，

则，因为，所以，故C正确；设线段BC的中点为N，线段的中点为K，则三棱锥的外接球球心O在NK上，在四边形中，,,设，在中，在中，故，整理得，所以，所以外接球的表面积为，D正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点,.答案：命题：“”是假命题，则实数m的取值范围是．答案：设点，，在上，若，则_________.答案：16．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的范围为.【答案】【分析】根据题意，设等差数列的公差为，分析可得的取值范围，由求出，则有，构造函数，利用导数可求出其最值，从而可得答案.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，由于无穷等差数列中的各项均大于0，则，由于，则，解得或（舍去），所以，因为，所以，令，则，由，得，得，解得或（舍去）.当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，所以，即的范围为.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数（1）当，求的最值,及取最值时对应的的值；（2）在中,为锐角，且，求的面积.【解析】................................................................2分..................................................................................................................................................4分.................................................................................................................5分...................................................................................................................6分由..............................................................................................................................................................................7分由余弦定理得即......................................................9分...................................................................................................................................10分18.已知函数，的图象在处的切线为．（1）设，求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1），...................................................................................................................1分..........................................................................................................................................................2分=，......................................................................3分令...................................................................................................................................................................................................5分即的最小值为0.....................................................................................................6分（2）令.................................................................7分由（1）可知当时...............................................................................................8分...........................................................................10分...............................................................................................................................................11分....................................................................................................................................................................12分19．已知数列的前n项和为，，且．（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列的前n项和为，求证：．【解析】(1),..............................................1分数列是以1为首项，为公差的等差数列.....................................................................................................................................2分可得.......................................................................................................................................................3分当时，.......................................................................................................................4分当时，也满足上式，....................................................................................................................5分（2）...................................................................................................................................................................6分..............................................................................................................7分.....................................................................................................................................9分..................................................................................................................................10分................................................................................................................................................................11分................................................................................................................................................................12分20．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，,，平面平面．（1）设平面平面，问：线段上是否存在一点，使平面？（2）平面与平面的夹角的余弦值.【解析】（1）分别取的中点,，，...................................................................................................................................................................1分.........................................................................2分平面平面，，，..............................................................................4分........................5分即线段上存在一点，使平面...............................................................................................6分取中点，连接....................................7分...........................8分设向量为平面的一条法向量，则由取得又为平面的一条法向量,...........................................................................................................10分.........................................................12分21．已知的三个角，，的对边分别为，，，，．（1）求角；（2）若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点），设，当取最小值时，求的面积．【解析】（1）由正弦定理得，，，即，.............................................................................................................2分，，即，..............................................................................................................3分，，.....................................................................................................................4分，..............................................................................................................................................5分（2）方法一：，，为等边三角形，，.................6分，，，，在中，由余弦定理得，，即，整理可得，，...............................8分，.........................................................................9分当且仅当时取等号，即时，取最小值，此时，............................................................................................................................................................................................10分．..........................................12分方法二：，，为等边三角形，，..............................6分，，，设，，在中，由正弦定理得，，即，整理可得，，...................................................................8分当且仅当时，取最小值，.......................................................................................................9分当取最小值时，，................................................................................................10分