高考数学第一轮复习第八章　解析几何讲义及试题

第八章解析几何第一节直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；③范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°.提醒倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.每条直线都有唯一确定的倾斜角.（2）直线的斜率①定义式：直线l的倾斜角为αα≠90°，则斜率k＝tanα②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2提醒如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在.2.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k（x－x0）不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y-y1y2-y1＝x-x1x2不含垂直于x轴，y轴的直线续表名称方程适用范围截距式xa＋yb不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）平面直角坐标系内的直线都适用1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大. （）（2）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α. （）（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. （）（4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）·（y2－y1）表示. （）答案：（1）×（2）×（3）×（4）√2.直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是 （）A.π6B.π3C.2π3解析：D由直线的方程得直线的斜率为k＝－33，设直线的倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π），所以α＝5π6.3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是 （）A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0解析：D直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4.（2023·沈阳模拟）若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足 （）A.ab＞0，bc＜0 B.ab＞0，bc＞0C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0解析：A由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，故-ab<0,-cb>0,故ab5.已知三角形的三个顶点A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），则BC边上的中线所在直线的方程为.

解析：由已知，得BC的中点坐标为32,-12，且直线BC边上的中线过点A，故BC边上的中线所在直线的方程为y-0-12-0＝x+53答案：x＋13y＋5＝01.直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°＜θ＜90°90°90°＜θ＜180°k0k＞0不存在k＜0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.2.特殊直线的方程（1）过点P1（x1，y1），垂直于x轴的直线方程为x＝x1；（2）过点P1（x1，y1），垂直于y轴的直线方程为y＝y1；（3）y轴的方程为x＝0；（4）x轴的方程为y＝0.1.直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是 （）A.0,π4BC.0,π4∪π2,π D解析：B由直线方程可得该直线的斜率为－1a2+1，又－1≤－1a2+1＜02.经过M（3，0）与N（6，0）两点的直线方程为（）A.x＝0 B.y＝0C.x＝3 D.x＝6解析：B由结论2知，直线方程为y＝0.直线的倾斜角与斜率1.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（）A.[0，π）B.0,π4C.0,π4 D.0,解析：B设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选2.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 （）A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2解析：D因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.3.直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，3）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为.

解析：如图，∵kAP＝1−02−1＝1，kBP＝3-00−1＝－3，∴k∈（－∞，－3]∪[1答案：（－∞，－3]∪[1，＋∞）｜练后悟通｜1.求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率k＝tanα的取值范围；（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围.2.斜率的求法（1）定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；（2）公式法：若已知直线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般根据斜率公式k＝y2-y1x2-x1直线的方程【例1】（1）（多选）过点（－3，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是 （）A.x＋3y＝0 B.x＋y＋2＝0C.x－y＋2＝0 D.x－3y＝0（2）已知一条直线经过点A（2，－3），且它的倾斜角等于直线x－3y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为；

（3）经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝（－3，2）的直线方程为.

解析（1）当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点（－3，1）的坐标代入得k＝－13，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为xa＋ya＝1，将点（－3，1）的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2（2）由已知得直线x－3y＝0的斜率为33，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线的方程为y－（－3）＝3（x－2），即3x－y－33＝0（3）联立x+y=2,2x-y=1,解得x=1,y=1,∴直线过点（1，1）.∵直线的方向向量v＝（－3，2），∴直线的斜率k＝－23，则直线的方程为y－1＝－23（x－答案（1）AB（2）3x－y－33＝0（3）2x＋3y－5＝0｜解题技法｜求解直线方程的两种方法（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所设直线方程.提醒（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在；（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.1.在△ABC中，已知A（5，－2），B（7，3），且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为.

解析：设C（x0，y0），则Mx0+52,y0-22，Nx0+72,y0+32.因为点M在y轴上，所以x0+52＝0，解得x0＝－5.因为点N在x轴上，所以y0+32＝0，解得y0＝－3.所以M0,−52，N（答案：5x－2y－5＝02.过点（－2，－3），且在x轴，y轴上的截距互为相反数的直线方程是.

解析：①当直线过原点时，由直线过点（－2，－3），得其方程为y＝32x，即3x－2y＝0.②当直线不过原点时，若该直线在x轴，y轴上的截距互为相反数，设此时直线的方程为xa＋y-a＝1，又直线过点（－2，－3），则有-2a＋-3-a＝1，解得a＝1，此时直线的方程为x－y－1＝0.综上可得，所求直线的方程为3x－2y＝0或x答案：3x－2y＝0或x－y－1＝03.若一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为.

解析：由题意设直线方程为y＝k（x＋2）＋2，直线与两坐标轴交点为-2-2k,0，（0，2k＋2）.∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，∴12︱－2－2k︱·｜2k＋2｜＝1，∴12︱-2k-2k︱｜2k＋2｜＝1，∴(2k+2)22|k|＝1.①k＞0时，（2k＋2）2＝2k，整理得2k2＋3k＋2＝0，无解.②k＜0时，（2k＋2）2＝－2k，整理得2k2＋5k＋2＝0，∴k＝－2或k＝－12，则所求直线的方程为2答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0直线方程的综合应用【例2】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.解（1）证明：直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）＝0，令x+2=0,1−∴无论k取何值，直线总经过定点（－2，1）.（2）由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1+2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则-1+2kk当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞）.（3）由题意可知k≠0，由l的方程，得A-1+2kk,0，B（0，1依题意得-1+2kk<0,1+2∵S＝12·｜OA｜·｜OB｜＝12·︱1+2kk︱·｜1＝12·(1+2k)2k＝124k+1k+4≥12×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.｜解题技法｜1.求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式（或函数）求解最值.2.求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决问题.1.当k＞0时，两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为.

解析：直线2x＋ky－2＝0与x轴交于点（1，0）.由kx-y=0,2x+ky-2=0,解得y＝2kk2+2，所以两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形的面积为12×1×2kk2+2＝1k+2k答案：22.已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为.

解析：由题得A（2，0），B（0，1），由动点P（a，b）在线段AB上.可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝（2－2b）b＝－2b2＋2b＝－2b-122＋12.由于0≤b≤1，故当b＝12答案：11.若A（－2，3），B（3，－2），C12,m三点共线，则m＝ A.12B.－C.－2 D.2解析：A因为A（－2，3），B（3，－2），故kAB＝5-5＝－1，因为A，B，C三点共线，故kAB＝kAC＝m-312-(-2)＝－1，故m＝2.（2023·浙江模拟）已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为 （）A.y＝3x＋2 B.y＝3x－2C.y＝3x＋12 D.y＝－3x＋解析：A直线x－2y－4＝0的斜率为12，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝3x＋23.在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O（0，0），M（－1，3），点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为（）A.3x－y－6＝0 B.3x＋y＋6＝0C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0解析：C因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3（x＋1），即3x－y＋6＝0，故选C.4.直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是 （）A.-1,B.-∞,12∪（1，＋C.-∞,15∪（1，＋D.（－∞，－1）∪1解析：D设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），直线在x轴上的截距为1－2k，则－3＜1－2k＜3，解不等式可得k＞12或k5.若AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过 （）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：D∵Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ABx－CB，AB＜0，BC＜0，∴－AB＞0，－CB＞0，故直线经过第一、二、6.已知两点A（－1，2），B（m，3），且m∈-33-1,3-1，则直线AB的倾斜角A.π6,π2C.π6,π2∪π解析：D①当m＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，直线AB的斜率k＝1m+1∈（－∞，－3]∪33,+∞，∴α∈π6,π2∪π27.（多选）下列说法正确的有 （）A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2）C.过点（2，－1）且斜率为－3的点斜式方程为y＋1＝－3（x－2）D.斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3解析：ABC对于A，由直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，所以直线的斜率k＜0，截距b＞0，故点（k，b）在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a（x－3）＋（－y＋2）＝0，所以无论a取何值，点（3，2）都满足方程，所以B正确；对于C，过点（2，－1）且斜率为－3的点斜式方程为y＋1＝－3（x－2），所以C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误.故选A、B、C.8.（多选）已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的是 （）A.直线的倾斜角是π－αB.无论α如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1解析：BD根据直线倾斜角的范围为[0，π），而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝12︱1-sinα︱·︱1-cosα︱＝1|sin29.（多选）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为 （）A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0解析：ABC当直线经过原点时，斜率为k＝2−01−0＝2，则所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝a，把点A（1，2）代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝010.（多选）已知直线l的一个方向向量为u＝-36,12，且l经过点（1，－2），A.l的倾斜角等于150°B.l在x轴上的截距等于2C.l与直线3x－3y＋2＝0垂直D.l上不存在与原点距离等于18解析：CD由已知得直线l的斜率k＝12-36＝－3，设其倾斜角为θ，则tanθ＝－3，所以θ＝120°，故A选项错误；直线l的方程为y＋2＝－3（x－1），即3x＋y＋2－3＝0，所以它在x轴上的截距等于1－233，故B选项错误；直线3x－3y＋2＝0的斜率为33，33×（－3）＝－1，所以两直线垂直，故C选项正确；原点到直线l的距离d＝1－32＞18，即l上的点与原点的最小距离大于18，故l上不存在与原点距离等于111.若过两点A（－m，6），B（1，3m）的直线的斜率为12，则直线的方程为.

解析：由题意得3m-61+m＝12，解得m＝－2，∴A（2，6），∴由点斜式可得y－6＝12（x－2），整理得12x－y－答案：12x－y－18＝012.设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），若直线l的斜率为－1，则k＝；若直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0，则k＝.

解析：因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－2k-3x＋2，由题意得－2k-3＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为xk-3＋y2＝1，由题意得k－3＋2＝答案：5113.过点P（4，1）作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，直线l的方程为.

解析：设直线l：xa＋yb＝1（a＞0，b＞0），因为直线l经过点P（4，1），所以4a＋1b＝1.｜OA｜＋｜OB｜＝a＋b＝（a＋b）4a+1b＝5＋ab＋4ba≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，直线答案：x＋2y－6＝014.已知点M是直线l：y＝3x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为.

解析：在y＝3x＋3中，令y＝0，得x＝－3，即M（－3，0）.因为直线l的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为90°，此时直线l'的斜率不存在，故其方程为x＝－3；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为30°，此时直线l'的斜率为tan30°＝33，故其方程为y＝33（x＋答案：x＝－3或y＝33（x＋315.已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则yx-3的最大值为 （A.1 B.3C.－12 D.－解析：C设Q（3，0），则kAQ＝3−02−3＝－3，kBQ＝2−0-1-3＝－12，∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴yx-3的取值范围是-3,-12，故y16.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，.

解析：如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan（θ－45°）＝tanθ-tan45°1+tanθtan45°＝2−11+2＝13，kOC＝ta答案：13－17.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E（30，0），F（0，20），∴直线EF的方程为x30＋y20＝1（0≤x≤易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，草坪面积可取最大值，在线段EF上取点P（m，n），作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝｜PQ｜·｜PR｜＝（100－m）（80－n）.又m30＋n20＝1（0≤m≤30），∴n＝20－2∴S＝（100－m）80−20+23m＝－23（m－5）2＋180503（0∴当m＝5时，S有最大值，此时｜EP｜∶｜PF｜＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大.18.过点P（3，2）的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于点A，B.（1）当P为AB的中点时，求l的方程；（2）当｜PA｜·｜PB｜最小时，求l的方程.解：（1）设A（a，0），B（0，b），∵P（3，2）为AB的中点，∴a2＝3，b2＝2，则a＝6，b＝∴A（6，0），B（0，4），则l的方程为x6＋y4＝即2x＋3y－12＝0.（2）由题意知直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k＜0），令x＝0可得y＝2－3k，令y＝0可得x＝3－2k则A3−2k,0，B（0，2－∴｜PA｜·｜PB｜＝4＝72+36k2+当且仅当k2＝1，即k＝－1时取等号，∴直线l的方程为y－2＝－（x－3），即x＋y－5＝0.第二节两直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.两条直线平行和垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.（2）两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.提醒在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.2.两直线相交（1）交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x（2）相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；（3）平行⇔方程组无解；（4）重合⇔方程组有无数个解.3.三种距离公式（1）两点间的距离公式：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为｜P1P2｜＝(x（2）点到直线的距离公式：点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|A提醒利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式.（3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C提醒利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. （）（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. （）（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交. （）（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. （）答案：（1）×（2）×（3）√（4）√2.点A（2，5）到直线l：x－2y＋3＝0的距离为 （）A.25B.5C.5 D.2解析：C点A（2，5）到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝|2-10+3|1+4＝5.故选C3.若直线l1：ax－（a＋1）y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝ （）A.3 B.0C.－3 D.0或－3解析：D∵直线l1与直线l2垂直，∴2a＋a（a＋1）＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.故选D.4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m＝.

解析：由y=2x,x+y=3,得x=1,y=2.∴点（1，2）满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×答案：－95.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋8y＋14＝0平行，则它们之间的距离是.

解析：直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|-3-7|32+答案：21.与直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直或平行的直线方程可设为：（1）垂直：Bx－Ay＋m＝0；（2）平行：Ax＋By＋n＝0（n≠C）.2.两个充要条件（1）直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0；（2）直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.3.与对称问题有关的四个结论（1）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a－x，2b－y）；（2）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，2b－y）；（3）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x的对称点为（－y，－x）；（4）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y，k－x），关于直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k）.1.过点（2，1）且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为 （）A.2x－3y－1＝0 B.2x＋3y－7＝0C.3x－2y－4＝0 D.3x＋2y－8＝0解析：B由结论1可设直线方程为2x＋3y＋b＝0，把（2，1）代入，则4＋3＋b＝0，即b＝－7，则所求直线方程为2x＋3y－7＝0.2.已知直线l1：ax＋2y－1＝0，直线l2：8x＋ay＋2－a＝0，当l1∥l2时，a＝.

解析：因为l1∥l2，由结论2得a·a－2×8＝0，解得a＝±4.当a＝4时，直线l1：4x＋2y－1＝0，直线l2：8x＋4y－2＝0，即4x＋2y－1＝0，此时l1与l2重合，所以a＝－4.答案：－43.点P（2，5）关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是.

解析：由结论3可知，对称点为（1－5，1－2），即（－4，－1）.答案：（－4，－1）两条直线的位置关系1.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是 （）A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0解析：A因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为12,0，直线3x－2y＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l的方程为y＝32x-12，化为一般式，得6x2.（多选）已知直线l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0，l2：ax＋（1－a）y－1＝0，则 （）A.l1恒过点（2，－2）B.若l1∥l2，则a2＝1C.若l1⊥l2，则a2＝1D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限解析：BDl1：（a＋1）x＋ay＋2＝0⇔a（x＋y）＋x＋2＝0，当x+y=0,x+2=0,即x＝－2，y＝2时，直线l1恒过点（－2，2），故A不正确；若l1∥l2，则有（a＋1）·（1－a）＝a2，解得a2＝12，故B正确；若l1⊥l2，则有a（a＋1）＋a（1－a）＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，11−a≥0，－a1−a≤0，解得0≤a＜1，当1－a＝0，即a＝1时，直线l2：x＝1，也不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限3.已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为.

解析：法一：由2x-y-3=0,4x-3y-5=0,得x=2,y=1,即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×（x法二：由2x-y-3=0,4x-3y-5=0,得x=2,y=1,即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以可设直线l的方程为x－y＋C＝0，把点P的坐标代入得2－1＋C＝0，解得C＝－1答案：x－y－1＝0｜练后悟通｜1.两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在：（1）两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；（2）两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”距离问题【例1】（1）两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为 （）A.a＝6，d＝63 B.a＝－6，d＝C.a＝6，d＝53 D.a＝－6，d＝（2）已知直线l过点P（－1，2）且点A（2，3）和点B（－4，5）到l的距离相等，则直线l的方程为.

解析（1）由题知2×3＝－a，解得a＝－6，又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋43＝0，所以d＝︱3-43（2）法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k-3+k+2|k2+1＝|-4k-5+k+2|k2+1，即｜3k－1｜＝｜－3k－3｜，所以k＝－13，所以直线l的方程为y－2＝－13（x＋1），即x＋3y－5法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13（x＋1），即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为（－1，4），所以直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－答案（1）B（2）x＋3y－5＝0或x＝－1｜解题技法｜两种距离的求解思路（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式；（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为对应相等的形式）.1.已知点P（－1，－1），A（1，0），B（0，1），则△ABP的面积为.

解析：∵A（1，0），B（0，1），∴｜AB｜＝2，直线AB的方程为x＋y－1＝0，则点P（－1，－1）到直线AB的距离d＝32，∴△ABP的面积为12×2×32答案：32.已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为.

解析：设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意知d1＝|m+2|16+36，d2＝|m+9|16+36.因为d1d2＝12，所以2|m+2|16+36＝|m+9|16+36，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－133，即直线l为4x＋答案：4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0对称问题【例2】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.（1）求点A关于直线l的对称点A'的坐标；（2）求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程.解（1）设A'（x，y），由已知得y+2x所以A'-33（2）在直线m上取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点M'必在m'上.设对称点为M'（a，b），则2×解得M'613设m与l的交点为N，则由2x-3y+1=0,3x-2又因为m'经过点N（4，3），所以由两点式得直线m'方程为9x－46y＋102＝0.（变设问）在本例条件下，直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l'的方程为.

解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M（1，1），N（4，3），则M，N关于点A的对称点M'，N'均在直线l'上.易知M'（－3，－5），N'（－6，－7），由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0.法二：设P（x，y）为l'上任意一点，则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P'（－2－x，－4－y），∵P'在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.答案：2x－3y－9＝0｜解题技法｜1.光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有 （）A.a＝13，b＝B.a＝－3，b＝1C.a＝3，b＝－1D.a＝－13，b＝－解析：D由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点（0，2）关于直线y＝－x的对称点（－2，0）在直线y＝－3x＋b上，所以（－3）×（－2）＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点（0，－6）关于直线y＝－x的对称点（6，0）在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－132.已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为.

解析：设点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M'（a，b），则反射光线所在直线过点M'，所以b-4a-(-3)·1=-1,-3+a2-b+42+3=0,解得a=1,b=0.又反射光线经过点N（2，6），答案：6x－y－6＝01.已知直线l过点（0，7），且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为 （）A.y＝－4x－7B.y＝4x－7C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7解析：D过点（0，7）且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7.故选D.2.“a＝1”是“直线（2a＋1）x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A当a＝1时，直线（2a＋1）x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为13，两直线垂直；当a＝0时，两直线也垂直，所以a＝1是“直线（2a＋1）x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要的条件，故选A3.点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为 （）A.（1，2） B.（2，1）C.（1，2）或（2，－1） D.（2，1）或（－1，2）解析：C设P（x，5－3x），则d＝|x-5+3x-1|12+(−1)2＝2，解得x＝1或x＝2，故P（14.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为 （）A.2 B.8C.3 D.8解析：B由l1∥l2得（a－2）a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，∴l1与l2之间的距离d＝︱6-23|125.若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点 （）A.12,16C.16,-12解析：B∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴（mx＋n）＋3y＝0，当x＝12时，mx＋n＝12m＋n＝12，∴3y＝－12，∴y＝－16，故直线过定点6.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 （）A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0解析：D设直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线为l2，则l2的斜率为－12，且过直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点（1，1），则l2的方程为y－1＝－12（x－1），即x＋2y－3＝0.故选7.若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点（m，n）与原点之间的距离的最小值为 （）A.5 B.6C.23 D.25解析：A由y=2x,x+y=3,解得x=1,y=2.把（1，2）代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n.∴点（m，n）与原点之间的距离d＝m2+n2＝(5+2n)2+n2＝5(n+2)2+58.已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝ （）A.10 B.13C.16 D.20解析：B直线l1：x－my＋1＝0过定点A，令y＝0，得x＝－1，所以A（－1，0）；直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，直线l2的方程可化为m（x－1）＋y＋3＝0，令x＝1，得y＝－3，所以B（1，－3）.因为1·m－m·1＝0，所以l1⊥l2.因为l1与l2相交于点P，所以△PAB是以AB为斜边的直角三角形，由勾股定理可得｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝（－1－1）2＋（0＋3）2＝13，故选B.9.（多选）已知直线l：（a2＋a＋1）x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是 （）A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0C.直线l过定点（0，1）D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等解析：AC对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知（a2＋a＋1）·（－1）＝1×（－1），解得a＝0或a＝－1，不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点（0，1），正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴，y轴上的截距分别是－1，1，不正确.10.（多选）若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的有 （）A.直线l2的斜率为定值B.当c＝25时，｜PQ｜的最小值为3C.当｜PQ｜的最小值为1时，c＝20D.c≠10解析：ABD因为l1∥l2，所以a3＝2，c5≠2，所以a＝6，c≠10，故A、D正确；因为｜PQ｜的最小值为两平行直线间的距离，所以当c＝25时，d＝|10-25|62+82＝32，故B正确；当｜PQ｜的最小值为1时，d＝|10-c|62+82＝11.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜＝.

解析：设A（x，0），B（0，y），∵AB中点P（2，－1），∴x2＝2，y2＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴｜AB｜＝42+答案：2512.若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为（1，c），则a＋b＋c＝.

解析：∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－a4×25＝－1，∴a＝10，∴直线ax＋4y－2＝0的方程为5x＋2y－1＝0.将点（1，c）的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.将点（1，－2）的坐标代入方程2x－5y＋b＝0得2－5×（－2）＋b＝0，解得b＝－12，∴a＋b＋c＝10－12－2＝－答案：－413.已知直线l过直线l1：x－3y＋1＝0和l2：3x＋y－3＝0的交点A，且原点到直线l的距离为12，则直线l的方程为.解析：由x-3y+1=0,3x+y-3=0,解得x=12,y=32,故A12,32.①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝12，原点（0，0）到直线x＝12的距离为12，符合题意.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－32＝kx-12，即kx－y－12k＋32＝0.由原点（0，0）到直线l的距离d＝︱-12k+3答案：x＝12或x－3y＋1＝14.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0），B（－2，－4），若直线l上存在点P使得｜PA｜＋｜PB｜最小，则点P的坐标为.

解析：根据题意画出大致图象，如图.设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1（m，n）.则有n-0m-2·12=−1,m+22-2·n+02+8=0,解得m=−2,n=8.故A1（－2，8）.此时直线A1B的方程为x＝－2.所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，｜PA｜＋｜PB｜最小，将x＝－2代入x－2y答案：（－2，3）15.设△ABC的一个顶点是A（3，－1），角B，C的角平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是 （）A.y＝3x＋5 B.y＝2x＋3C.y＝2x＋5 D.y＝－x2＋解析：CA关于直线x＝0的对称点是A'（－3，－1），关于直线y＝x的对称点是A″（－1，3），由角平分线的性质可知，点A'，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.16.（多选）定义点P（x0，y0）到直线l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距离为d＝ax0+by0+ca2+b2.已知点P1，P2到直线A.若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行B.若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D.若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交解析：AD设P1（x1，y1），P2（x2，y2），对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝a2+b2，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误；对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1·d2＜0，即（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c）＜0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧，所以直线P1P2与直线l17.等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为2，一条直角边所在直线l的方程为x－2y－8＝0，且此三角形的面积为5，求此直角三角形的直角顶点的坐标.解：过原点且斜率为2的直线方程为y＝2x.设直角顶点为C，C到直线y＝2x的距离为d，则12·d·2d＝5，解得d＝5.设l'是与直线y＝2x平行且距离为5的直线，则l'与l的交点就是C点.设l'的方程是2x－y＋m＝0，则|m|5＝5，所以m＝±5，所以l'的方程是2x－y±5＝0.由方程组x-2y-8=0,2x-y+5=0,及18.已知光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射.（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程；（3）求与l3距离为10的直线方程.解：（1）由3x-y+7=0,2x+y+3=0,所以点M关于x轴的对称点P的坐标为（－2，－1）.（2）法一：设直线MN的倾斜角为α，则直线l3的倾斜角为180°－α，易知kMN＝0−11−(−2)＝－13，所以直线l3的斜率k3＝故反射光线所在的直线l3的方程为y＝13（x－1），即x－3y－1＝0法二：由题意知反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程.易知直线PN的方程为y-0-1-0＝x-1-2-1，整理得x－3y－故反射光线所在的直线l3的方程为x－3y－1＝0.（3）设与l3平行的直线方程为x－3y＋b＝0，根据两平行线之间的距离公式得|b+1|1+(−3)2＝10，解得b＝9所以与l3距离为10的直线方程为x－3y＋9＝0或x－3y－11＝0.第三节圆的方程1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.圆的定义与方程提醒当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点-D2,-E2；当D2＋E2－4F＜2.点与圆的位置关系平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系：（1）｜MC｜＞r⇔点M在圆外，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；（2）｜MC｜＝r⇔点M在圆上，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；（3）｜MC｜＜r⇔点M在圆内，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径. （）（2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆. （）（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.（）（4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.（）答案：（1）√（2）×（3）×（4）√2.圆心在y轴上，半径长为1，且过点A（1，2）的圆的方程是 （）A.x2＋（y－2）2＝1B.x2＋（y＋2）2＝1C.（x－1）2＋（y－3）2＝1 D.x2＋（y－3）2＝4解析：A根据题意可设圆的方程为x2＋（y－b）2＝1，因为圆过点A（1，2），所以12＋（2－b）2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋（y－2）2＝1.3.（2022·北京高考）若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝ （）A.12 B.－C.1 D.－1解析：A依题意可知圆心坐标为（a，0），又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以2a＋0－1＝0，所以a＝12，故选A4.若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，则实数m的取值范围是.

解析：∵点（0，0）在（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，∴（0－m）2＋（0＋m）2＜4，解得－2＜m＜2.答案：（－2，2）5.已知A（－3，0），B（3，0），C（0，3），则△ABC外接圆的方程为.

解析：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A（－3，0），B（3，0），C（0，3）分别代入，得3−3D+F=0,3+3D+F=0,9+3E+F=0,解得D=0,E=−2,F=−3,所以△ABC外接圆的方程为x2＋y答案：x2＋（y－1）2＝41.以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.2.圆心在任一弦的垂直平分线上.1.以A（3，－1），B（－2，2）为直径端点的圆的方程是（）A.x2＋y2－x－y－8＝0B.x2＋y2－x－y－9＝0C.x2＋y2＋x＋y－8＝0D.x2＋y2＋x＋y－9＝0解析：A由结论1得，圆的方程为（x－3）（x＋2）＋（y＋1）（y－2）＝0，整理得x2＋y2－x－y－8＝0，故选A.2.点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于 （）A.22 B.2C.3 D.9解析：C由结论2可知直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径r＝5+k24＝3圆的方程1.圆心在x轴上，且过点（－1，－3）的圆与y轴相切，则该圆的方程是 （）A.x2＋y2＋10y＝0B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0D.x2＋y2－10x＝0解析：C设圆心坐标为（t，0），因为圆心在x轴上且圆与y轴相切，所以｜t｜即为半径，则根据题意得(-1-t)2+(−3−0)2＝｜t｜，解得t＝－5，所以圆心坐标为（－5，0），半径为5，该圆的方程是（x＋5）2＋y2＝25，展开得x2＋y2＋10x2.写出一个关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程为.

解析：设圆心坐标为C（a，b），因为圆C关于直线x＋y－1＝0对称，所以C（a，b）在直线x＋y－1＝0上，则a＋b－1＝0，取a＝1，b＝0，设圆的半径为1，则圆的方程为（x－1）2＋y2＝1.答案：（x－1）2＋y2＝1（答案不唯一）3.已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为.

解析：如图所示，由圆心C（0，m）与切点A的连线与切线垂直，得m-70−2＝－12，解得m＝8.所以圆心坐标为（0，8），半径为r＝(2-0)2+(7−8)2＝5.所以圆C的标准方程为x2＋（答案：x2＋（y－8）2＝54.（2022·全国甲卷）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为.

解析：法一：设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则2a+b-1=0,(3-a)2+b2=r2,a2+(1−b)2法二：设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则M-D∴2×-D2+-E2-1=0,9+3D+F=0,1+E+F=0,解得D=−2,E=2,F=−3,∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋法三：设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝1−00−3＝－13，AB的中点坐标为32,12，∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3x-32，即3x－y－4＝0.联立得3x-y-4=0,2x+y-1=0,解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5答案：（x－1）2＋（y＋1）2＝5｜练后悟通｜求圆的方程的两种方法与圆有关的轨迹问题【例1】（多选）在平面直角坐标系内，已知A（－1，0），B（1，0），C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的有 （）A.｜AC｜＝｜BC｜ B.｜AC｜＝2｜BC｜C.AC·BC＝0 D.AC·BC＝2解析设点C（x，y），则AC＝（x＋1，y），BC＝（x－1，y），对于A，由｜AC｜＝｜BC｜，得(x+1)2+y2＝(x-1)2+y2，整理，得x＝0，则点C的轨迹为一条直线，所以A不符合题意；对于B，由｜AC｜＝2｜BC｜，知｜AC｜2＝4｜BC｜2，则（x＋1）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，整理，得x2＋y2－103x＋1＝0，则点C的轨迹为一个圆，所以B符合题意；对于C，由AC·BC＝0，知（x＋1）（x－1）＋y2＝0，整理，得x2＋y2＝1，则点C的轨迹为一个圆，所以C符合题意；对于D，由AC·BC＝2，知（x＋1）（x－1）＋y2＝2，整理，得x2＋y2＝3，则点C答案BCD｜解题技法｜求解与圆有关的轨迹（方程）的方法（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.提醒要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.1.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），则直角顶点C的轨迹方程为.

解析：法一：设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx+1，kBC＝yx-3，所以yx+1·yx-3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知｜CD｜＝12｜AB｜＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0答案：（x－1）2＋y2＝4（y≠0）2.点A（3，0）为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，则点M的轨迹为.

解析：设点M（x，y），因为M为线段AP的中点，点A（3，0），所以P（2x－3，2y），因为P为圆x2＋y2＝1上任意一点，所以（2x－3）2＋（2y）2＝1，化简得x-322＋y2＝14，所以点M的轨迹方程为x-322＋y2＝14答案：圆心坐标为32,0，半径长为与圆有关的最值问题考向1利用几何意义求最值【例2】已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上.（1）求yx的最大值和最小值（2）求x＋y的最大值和最小值；（3）求x2+解（1）yx可视为点（x，y）与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k+3|k2+1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－（2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2+(-3)-t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.（3）x2+y2+2x-4y+5＝(x+1)2+(y-2)2，求它的最值可视为求点（x，y）到定点（－1，又圆心到定点（－1，2）的距离为34，∴x2+y2+2x-4y+5的最大值为｜解题技法｜与圆有关的最值问题的三种几何转化法考向2利用对称性求最值【例3】（2023·衡水联考）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是.

解析因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C（2，1）为圆心，半径r＝5的圆.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'（m，n），所以m+02+n+22+2=0,n-2m-0=1,解得m=−4,n=−2,故A'（－4，－2）.连接A'C交圆C于Q（图略），交直线x＋y＋2＝0于P，此时，｜PA｜＋｜PQ｜取得最小值，由对称性可知｜PA｜＋｜答案25｜解题技法｜求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路：（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.考向3建立函数关系求最值【例4】（2023·重庆模拟）设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则PA·PB的最大值为.

解析由题意，知PA＝（2－x，－y），PB＝（－2－x，－y），所以PA·PB＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以PA·PB＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案12｜解题技法｜建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式求最值是比较常用的.1.已知动点P（x，y）满足x2＋y2－｜x｜－｜y｜＝0，O为坐标原点，则｜PO｜的最大值是.

解析：如图，方程x2＋y2－｜x｜－｜y｜＝0可以转化为|x|-122＋|y|-122＝12，所以动点P（x，y）的轨迹为原点和四段圆弧.由于对称性，仅考虑圆弧x-122＋y-122＝12（x≥0，y≥0答案：22.设点P（x，y）是圆：（x－3）2＋y2＝4上的动点，定点A（0，2），B（0，－2），则｜PA＋PB｜的最大值为.

解析：由题意，知PA＝（－x，2－y），PB＝（－x，－2－y），所以PA＋PB＝（－2x，－2y），由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程（x－3）2＋y2＝4，故y2＝－（x－3）2＋4，所以｜PA＋PB｜＝4x2+4y2＝26x-5.由圆的方程（x－3）2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，｜PA＋PB｜的值最大答案：101.圆心为（2，1）且和x轴相切的圆的方程是 （）A.（x－2）2＋（y－1）2＝1B.（x＋2）2＋（y＋1）2＝1C.（x－2）2＋（y－1）2＝5D.（x＋2）2＋（y＋1）2＝5解析：A圆心为（2，1）且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是（x－2）2＋（y－1）2＝1，故选A.2.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A.3.圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）A.x2＋y2－2x－3＝0B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2－4x＝0D.x2＋y2＋2x－3＝0解析：C由题意设所求圆的方程为（x－m）2＋y2＝4（m＞0），则|3m+4|32+42＝2，解得m＝2或m＝－143（舍去），故所求圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4.过圆C：（x－3）2＋（y＋4）2＝4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为 （）A.8x－6y－21＝0B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0解析：D由题意得，圆心C的坐标为（3，－4），半径r＝2，如图.因为｜PQ｜＝｜PO｜，且PQ⊥CQ，所以｜PO｜2＋r2＝｜PC｜2，所以x2＋y2＋4＝（x－3）2＋（y＋4）2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.5.（多选）已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是 （）A.圆M的圆心坐标为（1，3）B.圆M的半径为5C.圆M关于直线x＋y＝0对称D.点（2，3）在圆M内解析：ABD设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则1+4−D+2E+F=0,4+1+2D+E+F=0,9+16+3D+4E+F=0,解得D=−2,E=−6,F=5.所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即（x－1）2＋（y－3）2＝5.故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心（1，3），所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为（26.（多选）已知圆M：x2＋y2－4x－1＝0，点P（x，y）是圆M上的动点，则下列说法正确的有 （）A.圆M关于直线x＋3y－2＝0对称B.直线x＋y＝0与M相交，弦长为3C.t＝yx+3D.x2＋y2的最小值为9－45解析：ACD如图，圆M的标准方程为（x－2）2＋y2＝5，圆心为M（2，0），半径r＝5，圆心M（2，0）在直线x＋3y－2＝0上，所以圆M关于直线x＋3y－2＝0对称，A选项正确；M（2，0）到直线x＋y＝0的距离为d＝22＝2＜5，所以直线x＋y＝0与圆M相交，弦长为2r2-d2＝25−2＝23，B选项错误；t＝yx+3＝y-0x-(-3)，表示圆上的点（x，y）与点（－3，0）连线的斜率，其最大值为552-(5)2＝525＝12，C选项正确；x2＋y2表示圆上的点（x，y）到原点的距离的平方，其最小值为（5－7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为，半径为.

解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐标为（－2，－4），半径为5.答案：（－2，－4）58.若圆C经过坐标原点和点（4，0）且与直线y＝1相切，则圆C的方程是.

解析：由已知可设圆心为（2，b），由22＋b2＝（1－b）2＝r2，得b＝－32，r2＝254.故圆C的方程为（x－2）2＋y+答案：（x－2）2＋y+39.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝｜PB｜2＋｜PA｜2，其中A（0，1），B（0，－1），则d的最大值为.

解析：设P（x0，y0），则d＝｜PB｜2＋｜PA｜2＝x02＋（y0＋1）2＋x02＋（y0－1）2＝2（x02＋y02）＋2，x02＋y02表示圆上任一点到原点距离的平方，∴（x02＋y02）m答案：7410.已知圆心为C的圆经过点A-1,1和B-2,-2，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上.（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值.解：（1）设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），∵圆经过点A-1,1和B-2,-2，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，∴(-1-a)∴圆的标准方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝25.（2）∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离d＝|3+2+5|2＝52＞5∴直线与圆C相离，∴｜PQ｜的最小值为d－r＝52－5.11.已知圆C：（x－3）2＋（y－1）2＝1和两点A（－t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是 （）A.（0，2] B.[1，2]C.[2，3] D.[1，3]解析：D圆C：（x－3）2＋（y－1）2＝1的圆心C（3，1），半径为1，因为圆心C到O（0，0）距离为2，所以圆C上的点到O（0，0）的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB＝90°，则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得｜PO｜＝12｜AB｜＝t，所以有1≤t≤3，故选D12.已知点P（t，t），t∈R，点M是圆x2＋（y－1）2＝14上的动点，点N是圆（x－2）2＋y2＝14上的动点，则｜PN｜－｜PM｜的最大值是 （A.5－1 B.2C.3 D.5解析：B易知圆x2＋（y－1）2＝14的圆心为A（0，1），圆（x－2）2＋y2＝14的圆心为B（2，0），P（t，t）在直线y＝x上，A（0，1）关于直线y＝x的对称点为A'（1，0），则｜PN｜－｜PM｜≤|PB|+12－|PA|-12＝｜PB｜－｜PA｜＋1＝｜PB｜－｜13.（多选）在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C（0，7），动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则（）A.点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8B.△PAB面积最大时，｜PA｜＝26C.∠PAB最大时，｜PA｜＝26D.点P到直线AC的距离的最小值为4解析：ABD设P（x，y），由｜PA｜＝2｜PB｜得，｜PA｜2＝2｜PB｜2，所以[x－（－1）]2＋（y－0）2＝2[（x－1）2＋（y－0）2]，化简得（x－3）2＋y2＝8，A项正确；由对A的分析知y∈[－22，22]，所以△PAB的面积S＝12｜AB｜·｜y｜∈（0，22]，当△ABP面积最大时，P点坐标为（3，22）或（3，－22），此时｜PA｜＝[3-(-1)]2+(±22-0)2＝26，B项正确；记圆（x－3）2＋y2＝8的圆心为D，则D（3，0），当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD，则｜PA｜2＝｜AD｜2－｜PD｜2＝42－（22）2＝8，｜PA｜＝22，C项错误；直线AC的方程为7x－y＋7＝0，所以圆心D（3，0）到直线AC的距离为|7×3+7|72+(−1)2＝1425，所以点P到直线AC的距离的最小值为14214.已知点P（2，2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）求点M的轨迹方程；（2）当｜OP｜＝｜OM｜时，求l的方程及△POM的面积.解：圆C：x2＋（y－4）2＝42，故圆心为C（0，4），半径为4.（1）当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆（除去点P，C），线段PC中点为（1，3），12｜PC｜＝12(2-0)2+(2−4)2＝2，故M的轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2（x≠2，且y≠2或x当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为（2，2）或（0，4）.综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2.（2）由（1）可知点M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，2为半径的圆.由于｜OP｜＝｜OM｜，故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8又易得｜OM｜＝｜OP｜＝22，点O到l的距离为812+32＝4105，｜所以△POM的面积为12×4105×415.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功到武术……，太极图无不跃然其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）x2+(y-1)2≤1或x2+y2≤4,x2+(y+1)2≥1,x≤0解析：如图，作直线2x＋y＝0，当直线上移与圆x2＋（y－1）2＝1相切时，z＝2x＋y取最大值，此时，圆心（0，1）到直线2x＋y－z＝0的距离等于1，即|1-z|5＝1，解得z的最大值为5＋1，当下移与圆x2＋y2＝4相切时，2x＋y取最小值，同理|-z|5＝2，解得z的最小值为－25，所以z＝2