微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形微探究小专题1特殊四边形中的折叠问题

问题探究思考问题：折叠后图形的两个顶点重合如图，把矩形纸片

ABCD

沿

EF

折叠后，使得点

D

与点

B

重合，点

C

落

在点C'的位置上.(1)若∠1＝50°，求∠2，∠3的度数；解：(1)∵在矩形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，∴∠1＝∠2＝50°.由折叠的性质，得∠2＝∠

BEF

＝50°，∴∠3＝180°－2×50°＝80°.(2)①若

AD

＝6，

AB

＝2，求

CF

的长；

②求△BC'F的面积.【变式1】“沿对角线折叠”如图，将矩形纸片

ABCD

沿对角线

AC

折叠，使点

B

落在点

E

处，

AB

＝

4，

BC

＝8.(1)试判断折叠后重叠部分△

AFC

的形状，并说明理由；解：(1)△

AFC

是等腰三角形.理由如下：∵四边形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

DAC

＝∠

ACB

.

由折叠的性质，得∠

ACB

＝∠

ACE

，∴∠

DAC

＝∠

ACE

.

∴

AF

＝

FC

.

∴△

AFC

是等腰三角形.(2)求重叠部分△

AFC

的面积.

【变式2】“沿过顶点的直线折叠”如图，点

O

是矩形

ABCD

的中心，

E

是边

AB

上的点，沿

CE

折叠后，点

B

恰好与点

O

重合，若

BC

＝9，则折痕

CE

的长为

⁠.

【变式3】“沿不过顶点的直线折叠”如图，把一张矩形纸片

ABCD

沿

EF

折叠后，点

A

落在

CD

边上的点

A'处，点

B

落在点B'处，A'B'与

BC

交于点

G

，若∠A'GC＝60°，则

∠

BFE

的度数为

⁠.105°

专题进阶小练1.如图，将矩形纸片

ABCD

折叠，使点

D

与点

B

重合，点

C

落在点

G

处，折痕为

EF

，若∠

ABE

＝20°，则∠

EFG

的度数为

⁠.125°

1234

∵

FG

∥

EB

，∴∠

EFG

＝180°－∠

BEF

＝180°－55°＝125°.12342.如图，在矩形

ABCD

中，

F

是

BC

边上的一点，将△

CDF

沿着

DF

翻

折，点

C

恰好落在

AB

边上的点

E

处.(1)若∠

ADE

＝60°，则∠

EDF

等于

⁠；

15°

1234

(2)若

AB

＝5，

BC

＝4，则阴影部分的面积为

⁠.

12343.如图，现有边长为4的正方形纸片

ABCD

，

P

为

AD

边上的一点(不与

点

A

，

D

重合)，将正方形纸片沿

EF

折叠，使点

B

落在点

P

处，点

C

落

在点

G

处，

PG

交

DC

于点

H

，连接

BP

，

BH

，则下列结论正确的有

(

D

)D①

BP

＝

EF

；②当

P

为

AD

的中点时，△

PAE

的三边之比为3∶4∶5；③∠

APB

＝∠

BPH

；④△

PDH

的周长为8.A.1个B.2个C.3个D.4个1234【解析】如图1，过点

F

作

FM

⊥

AB

于点

M

.

∵四边形

ABCD

为正方形，∴∠

A

＝∠

ABC

＝∠

C

＝90°，

AB

＝

BC

.

∵

FM

⊥

AB

，∴四边形

MBCF

为矩形.∴

MF

＝

BC

＝

AB

，∠

FME

＝∠

FMB

＝∠

A

＝90°.由折叠的性质可知

EF

⊥

BP

，∴∠

PBE

＋∠

BEF

＝90°，∵∠

PBE

＋∠

APB

＝90°，∴∠

BEF

＝∠

APB

，即∠

MEF

＝∠

APB

.

∴△

ABP

≌△

MFE

(AAS).1234

1234

即△

PAE

的三边之比为3∶4∶5，故②正确；由折叠的性质可知

BE

＝

PE

，∠

EPH

＝∠

EBC

＝90°，∴∠

PBE

＝∠

BPE

，∠

BPE

＋∠

BPH

＝90°.∵∠

PBE

＋∠

APB

＝90°，∴∠

APB

＝∠

BPH

，故③正确；1234∴∠

BAP

＝∠

BNP

＝90°.又∵∠

APB

＝∠

NPB

，

PB

＝

PB

，∴△

ABP

≌△

NBP

(AAS).∴

AB

＝

BN

，

AP

＝

PN

.

如图2，过点

B

作

BN

⊥

PH

于点

N

，∴

BC

＝

BN

.

又∵

BH

＝

BH

，∴Rt△

BNH

≌Rt△

BCH

(HL).∴

NH

＝

CH

.

∴

C△

PDH

＝

PD

＋

PN

＋

NH

＋

DH

＝

PD

＋

AP

＋

CH

＋

DH

＝2

AD

＝8，故④正确.12344.(2023·石家庄校考期中)综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片

ABCD

，如图1，其中点

E

在边

AD

上，

F

，

G

分别在边

AB

，

CD

上，分别以

EF

，

EG

为折痕进行折叠并压平，点

A

，

D

的对应点分别是点A'和点D'.甲同学的操作如图2，其中∠

FEG

＝120°；乙同学的操作如图3，点A'落在ED'所在的直线上；丙同学的操作如图4，点A'落在

EG

上，点D'落在

EF

上.1234(1)求出图2中∠A'ED'的度数；解：如答图，∵∠

FEG

＝120°，∴∠1＋∠4＝60°.由折叠的性质，得∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝60°.∴∠A'ED'＝∠

FEG

－(∠2＋∠3)＝120°－60°＝60°.1234(2)直接写出图3中∠

FEG

的度数；解：∠

FEG

＝90°.【解析】由折叠的性质，得∠

AEF

＝∠A'EF，

∠

GED

＝∠GED'，∴∠AEA'＝2∠A'EF，∠DED'＝2∠GED'.∵∠AEA'＋∠DED'＝180°，∴2∠A'EF＋2∠GED'＝180°.∴∠A'EF＋∠GED'＝90°，即∠

FEG

＝90°.1234(3)直接写出图4中∠

FEG

的度数；解：∠

FEG

＝60°.【解析】由折叠的性质，得∠

AEF

＝∠A'EF＝∠

GED

＝∠GED'，∵∠

AEF

＋∠

FEG

＋∠

GED

＝180°，即3∠

FEG

＝180°，

∴∠

FEG

＝60°.1234(4)若折叠后∠A'ED'＝

n

°，直接写出∠

FEG

的度数(用含

n

的代数式表

示).

【解析】如图2，当△A'EF与△D'EG不重叠时，∵∠A'ED'＝

n

°，

∴∠AEA'＋∠DED'＝180°－

n

°.由折叠的性质，得∠

AEF

＝∠A'EF，∠

GED

＝∠GED'，

∴2∠A'EF＋2∠GED'＝180°－

n

°.