8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积与体积高一数学教材教学课件人教A版2019

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积高一下学期1、通过对棱柱、棱锥、棱台的观察，掌握其表面积求法；2、掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式，并能解决简单的计算问题；3、能利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征掌握三者体积间的关系；4、通过学习棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养.重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积求法难点：棱台的体积公式推导，三者体积间的关系几何体的表面积：围成它的所有面的面积之和.探究：在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm，底面边长为7cm（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，现需用绒布对其进行包装．那么至少需要多大面积的绒布？与围成几何体的各个面的面积密切相关．为此我们引入几何体表面积这一概念．空间几何体的表面积平面图形的面积问题平面图形的面积公式

菱形一、棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的面积的和．1、棱柱的表面积：

底面：多边形（上底、下底）侧面：平行四边形

解决问题：如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm，底面边长为7cm（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，现需用绒布对其进行包装．那么至少需要多大面积的绒布？

追问：若用绒布将其全部包裹住，需要多大面积的绒布？

一、棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的面积的和．2、棱锥的表面积：

底面：多边形侧面：三角形

一、棱柱、棱锥、棱台的表面积．3、棱台的表面积：

底面：多边形（上底、下底）侧面：梯形例题：正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积．教材P116T1

练习1：现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的表面积

练习3：正三棱台上、下底面边长分别是2和4,高为1,则正三棱台的侧面积为______.

变式：如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为___________.

3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（

C

）A.1∶1B.1∶C.1∶D.1∶2

CBC

二、棱柱、棱锥、棱台的体积

棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.hs“幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。前后体积不变底面积和高都相等的棱柱，其体积也相等祖暅原理

祖暅（５世纪—６世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡遒县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家．祖暅在数学上做出了突出贡献，他在实践的基础上，于５世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．

“势”即是高，“幂”是面积，祖暅原理用现代语言可以描述为：

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．祖暅原理底面积和高都相等的棱锥，其体积也相等两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。将三棱柱分割成3个小三棱锥，由等底等高易证得V1=V2=V3

思考：已知该棱柱可以分割成如下的3个棱锥，则该棱柱的体积与3个棱锥的体积有何关系?

二、棱柱、棱锥、棱台的体积

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.思考：等底等高的两个棱柱和棱锥之间的关系是怎样?如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.思考：你可以根据所学知识自行探究出棱台的体积公式吗?棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差得到棱台的体积公式.根据面积比=相似比的平方，得二、棱柱、棱锥、棱台的体积

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.

上底扩大上底缩小

D

等体积法

3、某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？(割补法)教材P116

3.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图①，这是一种常见的鲁班锁玩具，图②是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为________________.

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练习：如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，EF⊥面FBC，则该多面体的体积为_________.(分割法)

(分割法+换底法)3、如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，水面高为多少？

A

公式法直接代入公式求解等积法例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可补体法将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等分割法将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积求几何体体积的常用方法一、棱柱、棱锥、棱台的表面积求法：①多面体的表面积是各个面的面积之和.②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.

求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，

并注意两个直角梯形的