7.1空间几何体的直观图表面积与体积

7.1空间几何体的直观图、表面积与体积课标要求精细考点素养达成1.认识柱体、锥体、台体、球体及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图空间几何体的结构特征通过几何体的基本概念,培养数学抽象、直观想象素养斜二测画法通过画几何体的直观图,培养直观想象素养空间几何体的侧面积与表面积通过柱体、锥体、台体、球的表面积的计算,培养直观想象、数学运算素养空间几何体的体积通过柱体、锥体、台体、球的体积的计算,培养直观想象、数学运算素养1.(概念辨析)(多选)下列结论错误的有().A.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥C.侧面是全等的等腰梯形的三棱台是正棱台D.棱柱的侧面展开图是平行四边形2.(对接教材)(多选)下列利用斜二测画法得到的结论中,正确的有().A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.菱形的直观图仍是菱形D.圆的直观图是圆3.(对接教材)一个直角梯形的上底、下底和高之比为2∶4∶5,将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台,则这个圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为.

4.(易错自纠)下列三个空间图形中棱台的个数为().图1图2图3A.0 B.1 C.2 D.35.(真题演练)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,则该棱台的体积为.

空间几何体的结构特征典例1给出下列命题:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;②有两个侧面垂直于底面的棱柱为直棱柱;③直平行六面体是长方体;④侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;⑤底面是正多边形的棱锥是正棱锥;⑥存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的个数是().A.1 B.2 C.3 D.4解决与空间几何体结构特征有关的问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举出一个反例即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意正确利用轴截面中各元素的关系.(3)因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.训练1(2023·江苏常州校考二模)(多选)如图,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进了一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器以BC为轴顺时针旋转,则().A.有水的部分始终是棱柱B.水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变C.棱A1D1始终与水面平行D.当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时,BE·BF不是定值斜二测画法典例2已知等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为.

(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”与“三不变”.(2)平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是S直观图=24训练2水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知B'C'=4,A'C'=3,B'C'∥y'轴,则△ABC中BC边上的中线的长度为().A.5 B.52 C.73 D.空间几何体的表面积典例3(1)如图,四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是上底面圆心,则圆柱的侧面积是().A.2π3 B.32π4 C.(2)(2023·江苏校考二模)如图,圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形.把该圆锥截成圆台,已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合,圆台的上底面半径为13,则圆台的侧面积为()A.8π3 B.35π2 C.空间几何体的侧面积和表面积(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)球的截面问题的解题技巧:①有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.②解题时要注意借助球的半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.训练3(多选)等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为().A.2π B.(1+2)πC.22π D.(2+2)π空间几何体的体积典例4(1)《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物,书中所提麦门冬,别名麦冬、寸冬等,临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等.一粒麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥,如图所示,则该麦门冬的体积约为.

(2)紫砂壶是中国特有的手工制造的陶土工艺品,起源于江苏,有一紫砂壶的壶体可以近似看成一个圆台.下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容积约为().A.100cm3 B.200cm3 C.300cm3 D.400cm31.求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.2.三棱锥的体积计算要注意通过等积变形(转换顶点)来简化计算.训练4陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,也称陀罗.图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图2所示,其中B,C分别是上、下底面圆的圆心,且AC=3AB=6,底面圆的半径为2,则该陀螺的体积是(). 图1图2A.80π3 B.70π3 C.20π 割补法求体积在求不规则几何体和组合体的体积时,通常是把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算,或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.典例如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为().A.23 B.33 C.43割补法求体积(1)分析结构特征.(2)设计计算方法.根据组成形式,设计计算方法,特别要注意“拼接面”面积的处理.利用“切割”“补形”的方法求体积.(3)计算求值.根据设计的计算方法求值.训练如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,则四面体ABEF的体积为().A.13 B.23 C.1 一、单选题1.下列说法正确的是().A.棱柱的侧面可以是三角形B.棱柱的侧面是全等的平行四边形C.正四面体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形,其直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是().A BC D3.已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,侧面均为腰长为4的等腰梯形,则该四棱台的表面积为().A.10+615 B.34C.20+1215 D.684.在三棱锥PABC中,线段PC上的点M满足PM=13PC,线段PB上的点N满足PN=23PB,则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为(A.19 B.29 C.13二、多选题5.已知长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,下列说法正确的有().A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为32D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为256.某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,则下列说法正确的是().A.该圆台轴截面ABCD的面积为33cm2B.该圆台的体积为73πC.该圆台的表面积为10πcm2D.沿着该圆台表面,从点C到AD中点的最短距离为5cm三、填空题7.如图,△A'B'C'是水平放置的斜二测直观图,其中A'B'=2,B'C'=3,则原图形△ABC的面积是.

8.如图,一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4,高为3,若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,则孔的半径为.

四、解答题9.如图所示,正六棱锥的底面周长为24,H是BC的中点,O为底面中心,∠SHO=60°.(1)求出正六棱锥的高,斜高,侧棱长;(2)求出六棱锥的表面积和体积.10.现需要设计一个仓库,由上、下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当PO1为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大?最大侧面积是多少?11.(2024·河北调研卷)有一种钻头由两段组成,前段是高为3cm,底面边长为2cm的正六棱锥,后段是高为1cm的圆柱,圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切,则此钻头的体积为().A.(33+3π)cm3