人教版数学高一-必修1教师用书 第二章 基本初等函数(I)

2.1.1指数与指数基的运算

第一课时根式

层析教材，新知无师自通

根式

［提出问题］

(1)若f=9,则x是9的平方根，且尸±3；

(2)若/=64,则x是64的立方根，且x=4；

(3)若d=81,则x是81的4次方根，且尸土3；

(4)若炉=-32,则x是一32的5次方根，且x=-2.

问题1：观察(1)(3),你认为正数的偶次方根都是两个吗？

提示：是.

问题2：一个数的奇次方根有几个？

提示：1个.

问题3：由于22=4,小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2,你认为谁说的正确？

提示：小明.

［导入新知］

根式及相关概念

(1)4的〃次方根定义：

如果V=a,那么x叫做a的〃次方根，其中且〃GN*.

(2)a的n次方根的表示：

a的n次方根的

n的奇偶性。的取值范围

表示符号

n为奇数%R

"为偶数土血[0,+oo)

(3)根式：

式子缶叫做根式，这里〃叫做根指数,4叫做被开方数.

［化解疑难］

根式记号的注意点

(1)根式的概念中要求且"GN*.

(2)当n为大于1的奇数时，a的一次方根表示为初(adR)；当〃为大于的偶数时，血(定0)

表示a在实数范围内的一个〃次方根，另一个是一般，从而(土赤)"=〃

根式的性质

［提出问题］

问题1：(翡)3,(去下分别等于多少？

提小：2,—2,2.

问题2：。=3,於，仁3,力分别等于多少？

提示：-2,2,2,2.

问题3：等式亚=a及(3)2=〃恒成立吗？

提示：当4之0时，两式恒成立；当“<0时，(也产无意义.

［导入新知］

根式的性质

(1)(%)"=政?为奇数时，aGR；”为偶数时，a>0,且〃>1).

为奇数，且〃>1,

(2)收।%/甲粉目.

［回〃为偶数，且

(3)A/0=0.

(4)负数没有偶次方根.

［化解疑难］

(缶)"与加的区别

(1)当〃为奇数，且〃GR时，有勺^=(%)〃=〃;

(2)当王为偶数,且〃K)时，有靠？=(缶)"=〃.

101

锁定考向，考题千变不离其宗

Eia根式的概念

［例1］(1)下列说法：①16的4次方根是2；②印4,—正的运算结果是±2；③当〃为大于1的奇

数时，缶对任意aWR都有意义；④当”为大于1的偶数时，缶只有当生0时才有意义.其中说法

正确的序号为.

(2)若子区有意义，则实数〃的取值范围是.

［解析J(1)①16的4次方根应是±2；②七叵=2,所以正确的应为③④.

(2)要使寺区有意义，贝11“一3r0，即

的取值范围是⑷存3}.

［答案1(1)@©⑵/|厚3}

［类题通法］

判断关于〃次方根的结论应关注两点

(1)〃的奇偶性决定了〃次方根的个数；

(2)〃为奇数时，。的正负决定着〃次方根的符号.

［活学活用］

已知加°=2,则m等于()

A.%B.-%

C.pD.土用

解析:选D•.,加°=2,，加是2的10次方根.

又..TO是偶数，

，2的10次方根有两个，且互为相反数.

，,"=±।般.

利用根式的性质化简求值

［例2］化简:

(1)勺)一兀"(xv兀,nCN")；

(2川4a2―44+1尾).

［解］(l)Vx<7t,•,.》一兀<0,

当n为偶数时，抵二j?=|x—兀|=兀一x；

当〃为奇数时，抵二杀=不一兀

71-X,〃为偶数，〃£N*,

综上，yjx-Tin=

X一兀,〃为奇数，"GN”.

(2)V/.1—2a>0.

y］4a2~4a+1=y］2a—\2=|2a-11=1-2a

［类题通法］

根式化简应注意的问题

(1)(%)"已暗含了缶有意义，据n的奇偶性不同可知a的取值范围.

(2)超中的“可以是全体实数，好的值取决于n的奇偶性.

［活学活用］

求下列各式的值：

(l)^x-28；(2)43-21+(翡一的3

8/----fx-2,x>2,

解：(1)出二^=b一2|={

2—x,x<2.

(2)因为3~2y［2=P-2啦+(啦>=(啦一I)2,

所以四3-2&+(正诟3川加一了+1一巾=也一if-也=0

条件根式的化简

［例3］⑴若口和，则使Zvy成立的条件可能是()

A.x>0,y>0B.x>0,)<0

C.x>0,y>0D.x<0,y<0

⑵设一34<3,求7/-2%+1—4？+6x+9的值.

⑴［解析］，：y［4^=2［xy\=-2xy,

•\xy<0.

又丁x*0,.**xy<0,故选B.

［答案］B

⑵［解］原式=，x—P—4》+32=。一1|一|x+3|.

V-3<x<3,

当一3a<1时，原式=-(x-l)-(x+3)=—2x-2.

当1与<3时，原式=(x—1)—(x+3)=—4.

—2x-2—3<x<\,

・•・原式=

-4l<x<3.

［类题通法］

有条件根式的化简

(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化

简.

(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被

开方数或被开方的表达式的正负.

［活学活用］

若n<m<0,则，加2+2mn+——力及-2mn+/等于()

A.2mB.2n

C.—2mD.—2n

解析：选C原式=y/几2—yjm—n2

—\m-\-ri\—\m—n|,

Vn<n?<0,，/k+〃<0,加一〃>0,

:.原式=—(加+拉)—(rn-〃)=-2m.

修补短板，拉分题一分不丢

偏无鳏/

5.忽略"的范围导致式子^化简出错

31------4/------

［典例］化简-啦』.

3।---------41---------

［解析］V1+百+勺1一转=(1+也)+11-也1=1+V2+V2-1=2y/2.

［答案J2小

［易错防范］

i.本题易忽视"二?》>0,而误认为一啦而导致解题错误.

2.对于根式超的化简一定要注意〃为正奇数还是正偶数，因为加=4(“WR)成立的条件是〃

为正奇数，如果〃为正偶数，那么超=同.

［活学活用］

当a,Z?GR时，下列各式恒成立的是()

A.(瑞-甑尸=a-b

B.(y［a+h)4=a+h

C.y［^-^=a~b

D.yja+b4=a+b

解析：选B当且仅当〃=厄0时，(y［ci-y［b)4=a-b；

4»—41—

当且仅当OK)时，y［c^—y［b^=a—b；

当且仅当a+b>0时，yja+b4=a+b.

由于〃，b符号未知，因此选项A,C,D均不一定恒成立.

选项B中，由“+b可知〃+以),所以(上〃+〃)4=〃+/?.故选B.

自主演练，百炼方成钢

［随堂即时演练］

1.化简尸刀（x>g的结果是（

)

A.1—2xB.0

C.2x~1D.(l-2x)2

解析：选C”1-2记=|1一2x|,X>T,

1—2x<0,

yj1—2JT=2X—1.

2.下列式子中成立的是()

A.a\l—a=yj—a3B.a\j—a——

C.cr\[--a=D.a\[--a=y[c^

解析：选C要使川一〃有意义,则无0,

故a\]-a=~(~a)\f-a=­a2—a=—yf—ai,故选C.

3.若x>3,则{若一6x+9—\2~x\=.

解析：^X2-6X+9~|2-X|=^/X-32-|2-X|=|X-3|-|2-X|=X-3-(X-2)=-1.

答案：一1

4.化简(yja—l)2+yjl~a2+yfl—a3=.

解析：由根式g。一i有意义可得〃一IK),即介i,

・•・原式=3—1)+3—1)+(1—〃)=a—l.

答案：a—}

5.已知〃<*0,n>\,〃£N",化简勺a—b〃+"a+b”.

解：\*a<b<0f・•・〃—/?<(),a+b<0.

当n是奇数时，原式=(〃一/?)+3+力=2”；

当〃是偶数时，原式=|。一切+|a+b|

=(》_〃)+(_〃-，)=_2a

物一切+%+切

〃为奇数，

—<2a,

—2a,〃为偶数.

［课时达标检测］

一、选择题

1.%—2+（〃-4）。有意义,则〃的取值范围是（）

A.#2B.a>2

C.在4D.2%V4或44

f（7—2>0,

解析：选D要使原式有意义，只需，即的2且存4.

［a—4#0,

2.后号+需6二7+4后二不的值为（）

A.-6B.2小一2

C.2小D.6

解析：选Ay]—6i=-6,

勺小一44=|小一4|=4一小,

中小_4；-4,

.•.原式=-6+4—*^5+A/5—4——6.

____a____

3.化简，r+32—小—33得（）

A.6B.2x

C.6或一21D.6或2x或一2天

____a____

解析：选C注意开偶次方根要加绝对值，后另一行彳

6,x>—3,

=|x+3］一(x—3)=1故选C.

2x,x<—3,

4、7+4小+、7—4小等于()

A.14B.2y/3

C.一2小D.4

解析：选D47+4小+，7-4s="2+小2+卜2一小2

=(2+5)+(2-5)=4.

y

A.-------

5.已知二次函数y=ax2+bx+QA的图象如图所示，则而牙的值为()

A.a+bB.—(〃+/?)

C.a-bD.b-a

解析：选D由图象知〃(一l)2+bx(—1)+0.1<0,

:•a<b,Ayja—b4=\a—b\=b-a.

二、填空题

6.设加<0,则（]一"?）2=.

解析：*?/n<0,/.一而>0,（1—相）2=-m

答案：-m

7.若，若一8x+16=x—4,则实数x的取值范围是

解析：,/52—81+16=yjx—42=|x—4|

又K%2—8x+16=x-4,

\x—4|=x—4,Ax>4.

答案：x>4

8.设yu)=d.-4,若o<尤i,则.

由于OVQ01,所以故<"+5)=5—a

答案：a

9.写出使下列等式成立的x的取值范围:

x\\[x+5.

解：⑴要使勺盾=占成立，

只需x—3押即可，

即对3.

(2>\/x—5X2-25=yjx—52x+5.

要使｛N-5?无+5=(5—x)yjx+5

x+5>0,

成立，只需，

X—5<0,

即一53烂5.

10.化简(yja—1)2+yj1—a2+yfa—I7.

解：由题意可知后7有意义，・・・aNL

/•原式=(〃-1)+|1—a|+(〃一1)

=a-l+a—\+a—l=3a—3.

第二课时指数幕及运算

层析教材，新知无师自通IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

EEH分数指数事的意义

［提出问题］

问题1：判断下列运算是否正确.

10

(1)y[a^)=yla^=a2=a4'3>0)；

12

(2)y[a^=y[^=a4=a3(a>0).

提示：正确.

问题2：能否把寺言，赤，也写成下列形式：

3

y/a，=a(a>0)；

2

\[bi=bi(匕>0)；

5

y[?=c4(c>0).

提示：能.

[导入新知]

分数指数幕的意义

(1)规定正数的正分数指数新的意义是：

m

，1

a=y[a^(a>09m,N*,且〃>1).

tn

(2)规定正"数的负分数指数暴的意义是：

in

rt11*i

a=F")=----(a>0,m,,且心1).

/位

(3)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕无意义.

[化解疑难]

对分数指数基的理解

(1)指数慕溪不可以理解为7个“相乘，它是根式的一种新写法.在定义的规定下，根式与分数

指数嘉是表示相同意义的量，只是形式上不同而己，这种写法更便于指数运算，所以分数指数嘉与

根式可以相互转化；

(2)通常规定分数指数基的底数“>0,但要注意在像(一“)；=衿中的小则需要好0.

有理指数基的运算性质

[导入新知]

有理数指数累的运算性质

(Maf'SO,r,sGQ)；

(2)3)=典a>0,r,SCQ)；

(3)(abY^ar-br(a>0,b>0,rGQ).

［化解疑难］

有理指数累的运算性质的理解与巧记

(1)有理数指数基的运算性质是由整数指数基的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①

同底数幕相乘，底数不变，指数相加；②幕的基，底数不变，指数相乘；③积的幕等于累的积.

(2)有理数指数基的运算性质中基指数运算法则遵循：乘相加，除相减，基相乘.

ill第鬻锁定考向，考题千变不离其宗

根式与分数指数累的互化

［例1］(1)下列根式与分数指数幕的互化正确的是()

A.—y[x=(—x)^(x>0)B.y[f=y^(),<0)

-13

C.x4=yl》(x>0)D.x3=一班(/0)

(2)用分数指数基的形式表示下列各式.

①4./(4>())；

⑴[解析]—也=—C(x>0)；

6-1

2

yp=[(y)]6=-y3(J<o)；

X4=(”)4=

［答案］c

⑵[解]①.也=〃2.45=〃2+*=>.

法二：从里向外化为分数指数基.

［类题通法］

根式与分数指数基的互化技巧

m

(1)在解决根式与分数指数事互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数基的转化式子：a；=

___丝11

行和a~n=士=」一，其中字母a要使式子有意义.

««幅

(2)将含有多重根号的根式化为分数指数累的途径有两条：一是由里向外化为分数指数累；二是

由外向里化为分数指数塞.

［活学活用］

将下列根式化为分数指数基的形式：

-----/311\-

(3)原式=上收加)2]2=[aa2〃(分)2]2=[j2

3H

=a4b4.

指数累的运算

[例2]计算下列各式：

(1)(21)°+22><f24)~"F01吟

(2)0.064一(一())+[(-2月-5+16-0-75；

⑶Q)^>0).

0.广2调35

[解]⑴原式=1+3即-(志？=1+1宏的

11

43+--27

(2)原式=0.4'-1+(-2)+2-=|-+■8

1616

13

3-2-33404

⑶原式h］00R2.a2.62_/,2__a0^0——

［类题通法］

利用指数基的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数累的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数累，化小数为分数，同时

兼顾运算的顺序.

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运

算.

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数基的形式表示.

［活学活用I

计算下列各式的值：

(1)0.0273_(一;2+(2&2_(也一］)0；

(2)(含)^-(-1)°+160-75+0.25^；

⑶凯+岑和。效(-郛

解：⑴原式=(磊尸_(护+(¥)1=¥-49+|—1=—45.

5-5

(2)原式=》一1+164+0.5=2-1+8+0.5=10.

(3)原式=42+"：［卓一lx—23=16+5+2加+和^=21+*/^.

修补短板，拉分题一分不丢

4.含附加条件的幕的求值问题

［典例］(12分)已知x+y=12,孙=9,且x<y,求：

11

⑴户+户；

11

⑵x"-y"；

(3)L).

［解题流程］

审；

方向』,工工

於5+y，，x，一『5,x—y的值，应建立其与x+y及町的关系后求解

审挖题

条件/信息

1111

2222

1将x+），,x-y平方后即可建立其与x+y及孙的关系；，2可利用平方差公式将x-y

1111

分解成户一/求解

—y22=x+y—

11111111

2

（x—y=x^2—/2=/+/=x^+y^—y?

［规范解答］

⑴G+，）2=x+y+

2而7=18,（2分）

ii

/.x^+y?=3啦.（4分）

（2）（/_y5）=%+y_2M=6,（6分）

II

又xvy,—y^=—y/6.（8分）

（3）X—TA（,）2

=G+f）GJ）（io分）

III

=3V2x（-V6）=-3x2ix2ix3i

=—6，§.（12分）

［名师批注J

由X与X?，

y与广都具有平方关系，

故可先求

Q2+y2〉,然后

11

求♦+力的值，

解题时常因找不到

此关系而使问题不能得以正确求解.

易忽视条件x<y,而得出错误答案.

此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.

［活学活用］

已知a+，i=5,求下列各式的值；

(l)a2+a-2；

1।

⑵a5~a5.

解：(1)法一：由。+1|=5两边平方得：

a1+2aa'}+a2—25,

即：“2+-2=23；

法二：a2+a~2=a2+2aa^+a~2-2aa'

=3+“-1)2—2=25—2=23；

1」

1

(2)*/—a")2=。+。—2=5—2=3,

1」1_1

•\\a^—a5|=小..，.〃5一〃=±\［3.

自主演练，百炼方成钢

［随堂即时演练］

1.若2<a<3,化简#2—勺3—a4的结果是（）

A.5—2aB.2a—5

C.1D.-1

解析：选C由于2<加3,

所以2—4<0,3—。>0,

所以原式=〃-2+3—〃=1.

2.(~2a^b"(—3)6+(—")等于()

2一2-

A.1a3b2B.~2a3

2121.A

C.一梦!6匕6D.^a6b2

1-2?-14-25-2-1

解析：选A原式=(-2)X(-l)6+(-3).(a3b4).33山-2)十(。3b4)=铲233b4I

5

6-2注意符号不能弄错.

3.若i(r=3,i(r=4,则IOZL.V=

解析：V10v=3,.,.1O2'=9,

答案:I

4.化简玉布的结果是.

解析：^/^=(，皿尸=(q/)3=(.)3~2.

答案：a1

5.计算(或化简)下列各式:

_2

(1)4^+I-23~2V5-643；

a-ba-\-b-2a2-b2

⑵-iF-ii

a2+b2a2~b^

解：⑴原式=(22/+I.23寸心)

=2寸2爹d24

=2寸‘2+3-寸-4=21=2.

2222

(2)原式="+ba~b/一户2

a2+h2/一小

="5_户(；_/)=0.

［课时达标检测］

一、选择题

1.苏（。＞0）的值是（）

A.1B.a

〃1-17

C•6/^1^•a］.

解析：选D原式=〃.〃-*=a3W=“.

2.化简［沪苧总的结果为（）

A.5B.小

C.一小D.-5

2/=［（-5）|弓=53=小.

偿）|的值为（）

1

-

3

BD.

7

-

3

47

3x--做选D

z)

X93-

4.若a>l,b>0,0b+小=2小,则G-a”等于（）

A.*B.2或-2

C.-2D.2

解析：选D'：a>\,b>0,；.M>a%,（al>-a~b）2=（ai,+a~lr）2-4=（2y/2）2-4^4,

.,.ah—ab—2.

5.设x,y是正数，Ji.xy=yx,y=9x,则x的值为（）

C.1D.加

解析：选Bx9.r=（%y,，尸=（9针，

/.f=9x.JV8=9.x=乐=如.

二、填空题

7.已知屏一5一1),"GN",则(x+N1+f)"的值为.

i?2111

解析：因为1+x-^(5~+2+5--)=4(5^+5-^)2-

所以5-:+聂+5

答案：5

8.设。2=/=勿2（〃>0,b>0）,且〃+。=6,则相等于

解析：・・・a2=/=〃?3>o,。>（））,

•*•a=9b=nT^fu=b^.

由a+h=6得Z?2+/?—6=0,解得b=2或Z?=-3（舍去）.

=2,zn=24=l6.

答案：16

三、解答题

9.化简求值：

⑴信>+0厂+（2招）—13兀。+熬

(3)(〃3).(—4。।/?)4-(12a^b2c)；

QA

(4)2温乂^/^><3亚

解：⑴原式=(金+在+圜一13+|j

=1+100+蒋一3+:=100.

⑵原式=(-1)等阊_|+岛月-祥1

=1+10^5-1075-20+1--^.

(3)原式=-4晨2-坨-3+工(]2〃-'-2°.)

=—；.-3-(-4历一2-(-2)-1==

,1113

(4)原式=29：(4气蚱)x(3与)

TH3碎=14碌

1124

10.已知。=3,求一^+—^+-^7+7^的值.

1111,111十。

l+qi-q1十丐

11?

解：—^+―^+―1•14.

[_LI111I11十。

1十q1-q1+02

4.48

1—<71+〃1—a2

2.1.2指数函数及其性质

第一课时指数函数及其性质

周图固独层析教材.新知无师自通

由•《指数函数的定义

［提出问题］

观察下列从数集A到数集B的对应:

@A=R,B=R,ftXTy=2*；

(2)24=R,8=(0,+oo),f：x-y=

问题1:这两个对应能构成函数吗？

提不：能.

问题2：这两个函数有什么特点？

提示：底数是常数，指数是自变量.

［导入新知］

指数函数的定义

函数v=〃m>0且以1)叫做指数函数,其中X是自变量，函数的定义域为R.

［化解疑难］

指数函数的概念中规定a>0且厚1的原因

(1)若〃=0,则当x>0时，a'=0；当烂0时，"无意义.

(2)若兴0,则对于x的某些数值，可使/无意义.如(一2尸，这时对于x=*x=；,…，在实

数范围内函数值不存在.

(3)若a=1,则对于任何xGR,炉=1,是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况的发生，所以规定。>0,且存1.在规定以后，对于任何xCR，炉都有意

义，且a'>0.

rmgi指数函数的图象与性质

［提出问题］

问题1：试作出函数y=2*(xeR)和y=(昴R)的图象.

提

示

-3-2-1|»123*

问题2：两函数图象有无交点？

提示：有交点，其坐标为(0,1).

问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？

提示：定义域都是R；值域都是(0,+8)；函数y=2'是增函数，函数是减函数-

［导入新知］

指数函数的图象和性质

a>\0<a<\

yy=ay

图象

0x0x

定义域R

性值域(0,+8)

质过定点过点(0,1)即-=0时,y=\

单调性是R上的增函数是R上的减函数

［化解疑难］

透析指数函数的图象与性质

(1)当底数a大小不确定时，必须分a>\和两种情况讨论函数的图象和性质.

(2)当。>1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当时，x的值越大，函数的图象越接

近x轴.

(3)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限.

锁定考向，考题千变不离其宗

EEB指数函数的概念

［例1］(1)下列函数：

①>=2-3*；②y=3"+i；③y=3*；④/=/.

其中，指数函数的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

(2)函数)二(“一2产炉是指数函数，则()

A.a=1或a=3B.a=1

C.a=3D.tf>0且Hl

［解析］(1)①中，3,的系数是2,故①不是指数函数；

②中，y=3日।的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数；

③中，y=3*3,的系数是1,塞的指数是自变量x,且只有3,一项，故③是指数函数；

④中，>=/中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.所以只有③是指数函数.

［«—22=1,

(2)由指数函数定义知所以解得。=3.

［a>0,a且分1,

［答案］(1)B(2)C

［类题通法］

判断一个函数是否为指数函数的方法

判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：

(1)底数“>0,且存1.

(2)炉的系数为1.

(3))>="中Z是常数”，x为自变量，自变量在指数位置上.

［活学活用］

下列函数中是指数函数的是(填序号).

①y=2.(小尸；②y=2*r；③④

⑤尸3-［；⑥y=g.

解析：①中指数式(啦),的系数不为1,故不是指数函数；②中)，=2厂|=/2*,指数式2,的系数

不为1,故不是指数函数；④中底数为x,不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数

不是x,故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数.故填③.

答案：③

3指数函数的图象问题

［例2］(1)如图是指数函数①y=炉，②y=",③y=c\@y="，的图象，则a,b,c,4与1的

大小关系为()

-一

o\H5

A.a<b<\<c<d

B.b<a<\<d<c

C.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

(2)函数)="-3+3(4>0,且存1)的图象过定点.

［解析］(1)由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.

过点(1,0)作直线x=l,如图所示，在第一象限内直线x=l与各曲线的交点的纵坐标即为各指数

函数的底数，则l<d<c,b<a<\,从而可知a,b,c,d与1的大小关系为匕

(2)法一：因为指数函数y=</(a>0,且存1)的图象过定点(0,1),所以在函数丫=〃-3+3中，令x

=3,得y=l+3=4,即函数的图象过定点(3,4).

法二：将原函数变形，得y—3=”「3,然后把丫_3看作是。-3)的指数函数，所以当x-3=0

时，厂3=1,即x=3,y=4,所以原函数的图象过定点(3,4).

［答案］(1)B(2)(3,4)

［类题通法］

底数。对函数图象的影响

⑴底数。与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当“>1时，指数函数的图象"上升”；

当0<4<1时，指数函数的图象“下降

(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是分1,还是在第一象限内底数越大,

函数图象越靠近y轴.

当a>b>I时，

①若x>0,则〃>">1；

②若x<0,则

当1>”>力>0时，

①若x>0,则l>a'>/z'>0；

②若x<0,贝炉>1.

［活学活用］

若函数y=〃+s-i)m>o,且存1)的图象不经过第二象限，则有()

A.且*1B.0<。<1且后1

C.0<〃<1且b>0D.且后0

解析：选D由指数函数图象的特征可知0<〃<1时，函数y=a'+S—l)(4>0,且在1)的图象必

经过第二象限，故排除选项B、C.又函数)，="+3—1)(〃>0,且W1)的图象不经过第二象限，则其

图象与)，轴的交点不在x轴上方，所以当x=0时，y=^+(b-\)<0,即后0,故选项D正确.

与指数函数有关的定义域、值域问题

［例3］求下列函数的定义域和值域：

(l)y=VT^；(2)y=2±：(3»=停仍.

［解］⑴要使函数式有意义，则1—3*0,即3句=3°,

因为函数)=3、在R上是增函数，所以烂0,

故函数y=Nl-3”的定义域为(一oo,0］.

因为烂0,所以0<3上1,所以叱1一3，<1,

所以，1—3*£［0,1),即函数y=1l—3*的值域为［0,1).

(2)要使函数式有意义，贝1」无一48，解得/4,所以函数y=2七的定义域为｛xCR|#4｝.

因为士和，所以2；片1，即函数y=2七的值域为｛第>0且

⑶要使函数式有意义，则一|冷0,解得x=0,所以函数尸仔）尸的定义域为｛小=0｝.而y

［类题通法］

指数型函数的定义域、值域的求法

（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是>=炉型还是〉，=》》型，前者的定义

域是R,后者的定义域与1x）的定义域一致，而求丫=亚型函数的定义域时，往往转化为解指数不

等式（组）.

（2）求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意

指数函数的值域为（0,+8）,切记准确运用指数函数的单调性.

［活学活用］

求函数2x—3的定义域和值域.

解：定义域为R.

VX2-2X-3=（X-1）2-4>-4,16.

又：《｝2—2x—3>0,...函数），=（；）/—2x—3的值域为（0,16］.

修补短板，拉分题一分不丢

5.利用换元法求函数的值域

［典例］（12分）已知函数>=0+2/—且存1）,当於0时,求函数式x）的值域.

［解题流程］

审

1结论,方向，，

求函数一的值域，应确定函数的类型

审

'、春隹/3息

L规范解答］①由于<*=（“a：尸.故令/=。工.可

将原函数转化为关于t的二次函数

令2=uL①一►求解.很多同学常因观察不出此规

律而造成解题错误.

y=g(t)=r+

2Z-1=(Z+1)2-2.(I

分)②由于工》（）.当a>l和OVaCl

当CL>1时.②--->时.t=a，的值域不同.即换元后

x^O..,.法1.(5分)所得关于t的函数的定义域不同.

当1时.进而影响函数的值域.因此应分类

2.(7分)讨论.此处极易被忽视.从而造成

当0VY1时.②f解题错误.

仑O.，OVW1.（8分）

g(o)=-l.g(1)=2.

.•.当0<a<ln-t.-l<3<2.(1()5>)

③值域［2.+。口）和（一1.

综上所述.当«>1时.

2］是在。取不同范围所求

函数的值域是［2.

出的结果.所以不能取并

+8）；当OVaVl时,

集.此处极易与分段函数

函数的值域是（-1,21.

的值域混淆.认为应取并

（1