平面与平面平行课件

3.3平面与平面平行

。常考题型目录

题型1面面平行的概念辨析........................................................................2

题型2面面平行的证明............................................................................8

题型3面面平行证明线线平行.....................................................................17

题型4面面平行证明线面平行.....................................................................26

题型5面面平行的简单应用.......................................................................34

题型6面面平行中的动点问题.....................................................................39

Q知识梳理

知识点一.两个平面的位置关系及表示

位置关系公共点图形语言符号语言

相交有无数个共同点加0=1

平行没有公共点Z__/

Z__/

知识点二.平面与平面平行的判定定理（简称面面平行的判定定理）

文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行简记为“线面平行面面

平行”）

图形语言

口

一隆,b£^,aCb=P,

符号语言

々□afbEla,DaDyff

判定定理的推论：如果一个平面内有一两条相交直线分别平行于另一个平面内的则这两个平

面平行.

知识点三.平面与平面平行的性质定理(简称面面平行的性质定理)

文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

图形语言a#7

符号语言aU£,=b,LaLb

性质定理推论：如果两个平面平行，其中一个平面内的一任一直线一平行于另一个平面.

符号表示：_御aaa___=a\\艮

知识点四三种平行关系的转化

直线与平面平行

直线与直及平司不士I平面与平SJ平行

题型分类

题型1面面平行的概念辨析

【方;去总结】解决平行关系基本问题的三个注意点

(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理要求线在面外

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判别，

(3)会举反例或用反证法探测结论是否正确.

【例题1]（2023•全国•高一专题练习）平面。上有三个不共线点到平面讨巨离相等，则平面。与平面S）

位置关系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.相交或平行

【答案】D

【分析】根据面面关系结合图形来分析判断.

【详解】如图1,若。II口,则平面。上任一点到平面讨巨离相等，故平面入一定存在三个不共线点到

平面08巨离相等；

如图2,若。与。相交，则平面口上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面q巨离相等；

故平面。与平面中）位置关系是相交或平行.

故选：D.

DE

【变式1-1]1.（2023春•全国•高一专题练习）设提空间中的两条直线，£7,砥空间中的两个平

面，下列说法正确的是（）

A.若口u口，口”口,副口//口

B.若£7u□，口c□=口，则行厘目交

C.若0u口Du则夕/£7

D.若。uaouaa//D,则q与◎殳有公共点

【答案】D

【分析】ABC可举出反例，D选项可利用反证法得到证明.

【详解】A选项，若LJu口,口”口,则£7〃口，或〃与用面，

如图1,满足OuD.口“口，但若冰平行，A错误;

B选项，若。Un,口八口=口,则O与。R亍或相交，

如图2,满足Ou□，口口□=口.怛口与中行,B错误；

c选项，若。uaou口口”口,则切/o,或g用面，

如图3,满足OuaOuaD〃O,但不满足Z7〃Z7,C错误;

D选项，结合c选项的分析可知：若ouaDUaa//n,则z7〃o,或。与取面,

即。与。殳有公共点，

假设D与O有公共点，设公共点为。，则Oeaoe口,则OeUc□，怛,故矛盾，假设不成

立，即a与◎殳有公共点，D正确.

故选：D

【变式1-1】2.（多选）（2022春•安徽安庆・高一校考期中）下列命题中，正确的是（）

A.平行于同一条直线的两个平面平行

B.平行于同一平面的两个平面平行

C.平行于同一平面的两直线关系不确定

D.两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面

【答案】BCD

【分析】通过举反例说明选项A错误，其它选项根据线面、面面平行的判定和性质直接判断即可.

【详解】对于A,如图，平行于同一条直线的两个平面相交，故A错误；

对于B,平行于同一平面的两个平面平行正确，故B正确；

对于C,平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行,相交，也可以异面，故C正确；

对于D，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面正确，故C正确；

故选：BCD.

【变式1-1]3.（多选）（2022春•安徽芜湖•高一校考期中）已知O,。是两个平面，则下列条件可以得

到。/O的是（）

A.平面。内的任何一条直线口，都有On口=。

B.平面。内有无数条直线与平面。平行

c.平面。内任意一条直线与平面。内的任意一条直线都没有公共点

D.平面。内有两条相交直线都在平面夕卜

【答案】AC

【分析】根据平面与平面平行的性质判断各选项即可.

【详解】若Q/K成立，则口与0目交，那么与。内的任一条直线都与次公共点矛盾，故A、C正确；

对于B,平面口与平面。也可能相交，故B错误；

对于D,在平面》卜，可以是平行，也可以是相交，故D错误.

故选：AC.

【变式1-1]4.（多选）（2022•高一课时练习）已知以。是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，

下列说法正确的是（）

A.”经过两条平行直线，有且仅有一个平面"是平面的基本事实之一

B."若E口,口匚口,则。/〃’是平面与平面平行的性质定理

C."若。〃O,UC□,EJu口,则口//口，是直线与平面平行的判定定理

D.若。/〃，anu,□“口,£7<?a,则g/o

【答案】CD

【分析】根据立体几何中的公理可判断A选项；利用平面与平面平行的性质定理可判断B选项；利用线面

平行的判定定理可判断C选项；分£7仁OW£7u侬种情况进行讨论，由线面平行的性质和判定定理可判

断D选项

【详解】解："经过两条平行直线，有且仅有一个平面"是平面的基本事实的一个推论，故A错误；

"巷口廿口,Du£7,则。//T是平面与平面平行的一个性质,故B错误；

"若口,□色□,□—,则口旧'是直线与平面平行的判定定理，故C正确；

若口立□.设过直线m的平面期别交O,。于直线a,b,如图所示：

n

•:口/口,Z7c£7,£7nD=D,.-.DIID,

EJH口.□□□=□,□□□=口,

：.LJH[J,：.unu,

■：UH[J,：.DIID,-.-Oc口,口丰口，:.UH□:

若Ou£7,at[J,□丰□,则。/O,故D正确，

故选：CD.

【变式1-1]5.（2023・全国•高一专题练习）设a,b为不重合的两条直线a,P为不重合的两个平面，给

出下列命题：

①若aua,b。a,a,b是异面直线，那么b//a;

②若aca,b//a,a,b共面，那么a//b;

③若a〃B,aua,则a//p.

上面命题中，所有真命题的序号是一.

【答案】②③

【分析】对选项逐个判断，对①，若aua,bQa,a,b是异面直线可得出相交平行异面,即可判断正误;

对②，由线面平行的性质可判断；对③由面面平行的性质可判断.

【详解】a,b为不重合的两条直线，a,P为不重合的两个平面，

对于①，若aua,bQa,a,b是异面直线，那么b与a相交或平行或异面，故①错误；

对于②，若aua,b//a,a,b共面，那么由线面平行的性质得a//b,故②正确；

对于③，若a〃B,aua,则由面面平行的性质得a〃口,故③正确.

故答案为：②③.

【变式1-1]6.（2022・高一课时练习）口,□,%三条不重合的直线，口,口,磔三个不重合的平面，直

线均不在平面内，给出六个命题：

①/9=口旧;②部=③器/=口旧；=□"口；⑤第自=口/口・

其中正确的命题是.（将正确的序号都填上）

【答案】①④⑤

【分析】由线线、线面、面面平行的相关定理依次判断各个选项即可.

【详解】对于①，当口旧,DIIDS.D,。不重合时，DIID.①正确；

对于②，当口旧.口值,口,5r能相交、平行或异面，②错误；

对于③，当。/。，Q/UH寸，□,g能相交或平行，③错误；

对于④,当口1口,UH海口t四,CUD,④正确；

对于⑤，当。/O,口11遍口色。时,口/口,⑤正确.

故答案为：①④⑤.

题型2面面平行的证明

【方法总结】证明两个平面平行的方法

证明两个平面平行的关键在于证明线面平行，在证明线面平行时，可利用面面平行判定定理的推论：

如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即证一个

平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直找分别平行即可.

【例题2]（2023•全国•高一专题练习）在正方悻□□□□一口1口1口1口1中.磔底面ODDO中心，力

□□i中点，皿口口1中氤.证明：平面0II平面PAO.

【答案】证明见详解

【分析】根据线面'面面平行的判定定理分析证明.

【详解】由题意可得：口,a分别为0a的中点，则H,

£7£7,平面。1。£7,u平面。i£7L7,

:.□□II平面]□、□口,

连接。。，由题意可得：口,2分别为。a,的中点，则ooH□口,且口口=口口,

，：□□H口口,目口□=,

则OO||□口,且□口=,

故oooa为平行四边形，则。oH□□,

£7。仁平面&Z7Z27,ZZ7Z7u平面&£7£7,

:♦□口II平•面□]□□,

□□c\□口=U,0az7Z7u平面

故平面a£7口II平面PAO.

【变式2-1］1.（2023・全国•高一专题练习）正方体口。。□一口］口［口&中。分别为功□［、口1口］

的中点，口Z7分别是4&、aa的中点.

⑴求证：E、F、B、D共面;

⑵求证：平面口“礴口□□□.

【答案】Q）证明见详解

（2）证明见详解

【分析】（1）根据题意证明。。II口口,即可得结果；

（2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明.

【详解】（1）连接aa,由题意可得：口,a分别为&a,口、乌的中点，则ooH□、a,

ii,则O&a孕平行四边形，

:，□口H□、口、,

则。。II口口，报JF、B、D共面.

（2）由题意可得：口,a分别为&□、,&&的中点，则ooH口1,

,:□□||,则O£7||口口,且£7£7u平面£7£7£7,Z7ZZ7C平面ZZ7Z7Z7,

；.□口呼面

连接口口，由题意可得：a为别为&a&的中点，则口口H□、口、,□□=□］口、，

■：Dy［Jy||口□,口、口、=□□1则。。||即ODOR平行四边形,

:.□□II□口,

ZZ7Z7u平面ZZ7Z7Z7,ZZ7ZZ7C平面Z7Z7ZZ7,

：.UU||平面ZZ7Z7O,

□□c□口=D,口□,口口心加口口口□,

故平面口。口\\^^口口口口.

【变式2-1]2.（2023•全国•高一专题练习）如图，在正田/□□□□-口1口1口1口1中,O是&&的

中点，口,口,口分别是口口□□,中点，求证：

④□□//蟀□□□Ri；

(2)平面。0切/平面□□□[□”

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】⑴利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用面面平行的判定定理证明.

如图，淫妾□□,一：口,为别是oa口语中点

文：面□□□]□],00C平面£7。0。1,，直线。5/平面。/704.

（2）连接SD,a分别是。a口□的中点,

□□又：□□^^□□口1口1,Z7OC平面。Z7alz71,

:.□口/,由Q）知，□□“平面□□□、口、,

且二平面ZZ7OZ7,O£7u平面£7。。，□□（＞□□:U,

二平面□□□“平面□□□、□、.

【变式2-1]3.（2022•高一单元测试）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，M,N,P分别为AB,BC,

B1C1的中点.

Q）求证:ACII平面B1MN;

（2）求证:平面ACPII平面B1MN.

【答案】Q）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由已知，M,N分别为AB,BC的中点.所以MNIIAC,利用线面平行的判定定理即可证明

AQI平面B1MN;

（2）由已知，P为B1C1的中点.可证B1P=CN,B1PIICN,从而证明四边形B1PCN是平行四边形，得

到CPIIB1N,利用线面平行的判定定理即可证明CPII平面B1MN,结合第（1）问ACII平面B1MN,利

用面面平行的判定定理即可证明平面ACPII平面B1MN.

【详解】（1）证明：因为M,N分别为AB,BC的中点.所以MNIIAC,

因为MNu平面B1MN,DO仁平面B1MN,所以ACII平面B1MN,

得证.

（2）证明：因为P为B1C1的中点.所以B1P=CN,

又因为B1PIICN,所以四边形B1PCN是平行四边形，所以CPUBIN,

又因为BINu平面B1MN,平面B1MN,所以CPII平面B1MN,

由第（1）问，ACII平面B1MN,ACDCP=C,

ACu平面ACP,CPu平面ACP,

所以平面ACPII平面B1MN.

得证.

【变式2-1]4.（2023春•全国•高一专题练习）如图，在三棱柱OZZ7-口回口】中，口，口,/盼别

为口1口1,dd,0中]中点.

（1）求证：平面4jDII平面OOZ7;

⑵若平面&&On口口=。，求证：口%口口^中氤.

【答案】Q）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）由已知可得oo〃&口1,得到平面&d口,同理得到平面&&口，再由

面面平行的判定可得平面4口、OII平面£7口。；

（2）由公理及平面与平面平行的性质得口1。1〃0。，则£7£7〃。£7,由％的中点，可得。为。。的

中点.

【详解】（1）证明：如图,

口,为•别为&&,a&的中点，

□□J]□[□]t

■:u平面ZZ71ZZ7,Z17ZZ7c平面ZZ71ZZ7,

：•/平面口[□]口t

又。，侬别为&a,。中）中点，

:.□、□=□□,

又。177〃。〃，・・・四边形4Z7。侬平行四边形，於

•:□、口u平面ZZ7i□[□I□□C平•面,

□□]/平面□、□]□I

又OOn□□=□I□口,口□u平面OOO,

•••平面。1□、々/平面。。O;

（2）证明：•・・平面zzzzzza//平面a&4,平面口口口口平面口1口口1=口口，

平面&aO与平面。DO有公共点。，则有经过7^勺直线,交。，于G,

则a口川口□,得口□“口口,

•••乃DO的中点，

.•・。为£7。的中点.

【变式2-1】5（2022•高一单元测试如图所示，。是△口所在平面外的一点,aa。分别是^□□□、

△□□□、△匚仁江通重心.

⑴求证:平面平面£700;

（2）求^口口口与40。％）面积之比.

【答案】（1）证明见解析

⑵g

【分析】（1）连接OO、□口、口口,口、口、侬别是△□□□、）勺重心,

可得携=器=端，再由面面平行的判断定理可得答案；

（2）由端=携=携=携=携=黑，可得△口皿&□□□，&口口口口口口口，△口口口口

□□□,利用相似比可得答案.

（1）

连接£70、□□、□□,,：□、□、为别是△£700、△□□□、△£7/7%）重心，

:口口、/秒为□□、□□、口口^中氤，且岸=岸=岸=之,

1—11—1I_!1—1I—/L_/6

p

□□《强□□□,ZZ7Ou平面。OO,耐以口□〃平面口口口,

口口C平面£7。。,口□u平面£70口,所以□□“平面口□口,

且□□△□□=£7,.,.平面£7£7口/平面ZZ7ZL7Z7.

⑵

mI1、而口口一口□—□□—2.D£_DD_DD_2

田（）知缶□口□口37''DD□口口口3

□口口□口□□,其相似比为|,

.・.口、/别为。以口有中氤，：・□□”□□,

.1.△□口口八口□□,其相似比为g,

口口口八口□□,其相似比为:，・・.△口口口与△的面积之比（

【变式2-1]6.（2023・全国•高一专题练习）由四棱柱口一口、口口&截去三棱锥&—口、□□、

后得到的几何体如图所示，四边形口口。。为平行四边形，0为。。与口O0勺交点.

（2）求证：平面&口口\\平面□□□[；

（3）设平面a口口与底面口〃。中）交线为।,求证：口〃||口.

【答案】（D证明见解析

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）取4a的中点4,连接,结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；

（2）由线线平行证OOII平面,结合&oil平面aoa即可证平面a。。II平面aoa；

（3）由线面平行证线线平行即可.

【详解】（1）取&&的中点a,连接口、口、,

,：□□□□-ZZZ|ZZTj是四棱柱，:.□■\口1II,

二四边形a□□□、为平行四边形，，口川口、口,

又Du平面ZZ7[ZZ7/Z7[,ZZ7c平面ZZ7[ZZ7/Z7i,□II平囿□、□□、.

（2）・：口□、।口口।.•.四边形口aaai平行四边形，・•.0mi口口,

□C平■面□]□,口、□、u平■面□]□□||平"囿□]□,

由（1）得&DII平面a且口口门口、口=□,□□、da（=平面a口□,

二平面&Z7Z7II平面qz：7a.

（3）由（2）得：平面,

又O£7u平面ZZ7Z7ZZ7O,平面0ZZ7Z7in平面£7£7£7Z7=U.

题型3面面平行证明线线平行

【方法总结】由两个平面平行的性质定理可以得到两个平面平行的其他性质：

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面；

(2)经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行；

(3)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；

(5)平行于同一平面的两个平面平行(面面平行的传递性).

【例题3](2022•全国•高一专题练习)如图，四雌□□□□-口[口口1口内,平面□□□[4〃平面

□口口1口1,且,试判断四边形口£74。6勺形状.

【答案】平行四边形.

【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质直接推理作答.

【详解】因,则。口。4确定一个平面Z7,

平面0c平面=□、口,平面£7n平面。=IJEJ,

封面□□口口川平面

所以四边形2是平行四边形.

【变式3-1]1.(2023・全国•高一专题练习)如图所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱台,求证：B1D1IIBD.

DC

【答案】证明见解析.

【分析】根据棱台的特征易知口a4aU平面BB1D1D,再由面面平行的性质即可证结论.

【详解】根据棱台的特征知：侧棱BB1与DD1相交，所以口□,口、□[U平面BB1D1D.

又平面ABCDII平面A1B1C1D1,且平面BBIDIDCI平面ABCD=BD,平面BB1D1DD平面A1B1C1D1=

B1D1,

所以B1D1IIBD.

【变式3-1]2,（2022・高一课时练习）如图，已知平面£7//平面O,点P是平面O,点，且直线

PB,PD分别与O,。相交于点A,B和点C,D.如果口口=4cm,□□=5cm=3cm,求PD的

长.

【答案】7

【分析】根据面面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可

【详解】由题意可知：平面。DOn□=口□，平面ODOn口=□口，

因为平面。//平面所以,

.口□口口43口口27

因此有•--=>一=7^7=,=□口=

□口口□4+5□口4

【变式3-1]3.（2022•高一课时练习）如图，在棱锥中，口口；口口=1:3,截面。Z7OII底面BDC.已

知4口。。的周长是18,求4口口中）周长.

【答案】6

【分析】由面面平行可得线线平行，然后由相似三角形可解.

【详解】因为截面OOOU底面BDC,百口口□函口□□=口□，面□□□「面□□口=口□

所以口。II□□，

所以△口口口八口□口

又1:3

所以携T

同理可得，携=器制

口□=3'即18=3

所以，□□+UD+£70=6,即4OOa的周长等于6.

【变式3-1]4.（2021春•高一课时练习）如图，在三棱锥。一口口暮,U,D,口分别是£70,口□,

口。的中点.口是口□!-氤,连接。。，口是□□与口口^交氤,连接求证：oamn.

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件证得〃。//平面OOO,进而证得平面口口。//平面可得解.

【详解】因O,。分别是oo,的中点，驰,又□口《平画口□□,口口仁池口口口,

于是得£70〃平面口同理。切/平面。口口，目UUc□口=口,0a0口U平面。£7£7,

则有平面平面OZ7O,又平面O£7£7c平面00/7=□□,平面Z7£7Z7n平面Z27£7Z7=口口,

即以□□”口□.

【变式3-1】5.（2020・高一课时练习）如图，三棱锥。一。口。中,£7,U,。分别为口口，□口,口□

上的点，而且口□“□□,求证：

【答案】证明见解析

【解析】先证明面OOO//面再证明Z7O//OZ7

【详解】□□且口口建口口口,口口垂口口口,口口门口口=口,

□□u面口□口,□□c^ULJU,

.•.面□□□“面□□□.

,:面□□口语□□口=,面口□□函□□□=□□,

【点睛】本题主要考查空间直线平面平行的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

【变式3-1]6.（2021春•高一课时练习）如图，在四棱柱。。。。一口[d□]□内,底面

梯形，平'面口]□□口与口1口^于点口.

BC

求证：

【答案】证明见解析

【详解】试题分析：由条件可得BE"平面AA1D，同理BCII平面AA1D,根据面面平行的判定可得平面BCE

II平面AA1D,再由面面平行性质可得ECIIAID.

试题解析：

因为BEllAAl,AAlu平面AA1D,BEC平面AA1D,

所以8£“平面人人1口.

因为BCllAD,ADu平面AA1D,BGt平面AA1D,

所以BCII平面AA1D.

又BEOBC=B,BEu平面BCE,BCu平面BCE,

所以平面BCEH平面AA1D.

又平面A1DCED平面BCE=EC,平面A1DCECI平面AA1D=AID,

所以ECIIAID.

点睛：(1)解决与平行有关的问题时，要注意在解题时要注意“线线平行"、"线面平行"、"面面平行"

间的转化，这是在解决平行关系问题中常用的方法.

(2)在判定中，一般遵循从“线线平行"到"线面平行"，再到"面面平行”的转化；而在应用性质定理

时，其顺序恰好相反，当然转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于模式化.

【变式3-1]7.(2021・高一课时练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图.

(1)求证：平面AB1D1II平面C1BD;

(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明：A1E=EF=FC.

【答案】略

【详解】证明：(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD//=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行

四边形，所以AB1IIC1D.又因为CIDu平面C1BD,AB1C平面C1BD，所以ABIII平面C1BD.同理，B1D1

II平面C1BD.又因为AB1HB1D1=Bl,ABlu平面AB1D1,BlDlu平面AB1D1,所以平面AB1D1II平面

C1BD.

(2)如图，设A1C1与B1D1交于点01,连接AO1,与A1C交于点E.

因为AOlu平面AB1D1,

所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.

连接AC交BD于O,连接CIO与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.

下面证明A1E=EF=FC.

因为平面A1C1CAD平面AB1D1=EO1,平面AICICACI平面C1BD=C1F,平面AB1D1II平面C1BD,

所以EO1IIC1F.

在AAICIF中，。1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，

即A1E=EF.同理，CF=FE,所以A1E=EF=FC.

考点：面面平行的判定及性质.

【变式3-1]8.（2022•高一课时练习）在三棱柱口口口中，点20分别是口口口。上

的点，目平面口口口用面口口口,试求期的值.

【答案】携=1

【分析】连接&融于点连接,利用面面平行的性质可得出&为&a的中点，再利用面

面平行的性质可推导出四边形。&为平行四边形，可得出口□=；□□,即可得解.

【详解】解：连接交于点口，连接,如下图所示：

由棱柱的性质可知，四边形。aaa为平行四边形，所以，。为a厅勺中点，

因为平面口。1。/平面〃口,平面口口口n平面。/7i£7=，平面口口口1n平面口口1口1=

□口、,

•••,则&为&&的中点，则口aT口足,

，:平面□口I平面□口1口,平面/J/：71aoe平面/74。=,平面。aaon平面oaa二

所以，口口小口、口,

又因为。。/&&,所以，四边形a为平行四边形，

所以，□□=□、□「；口、口、=；口□尾此，书=r

【变式3-2】1.在五面体ABCDEF中，面ABC。为平行四边形，EF//DC，且EF=；OC,尸为棱。。的中

点

(1)A3的中点为M,证明：平面开)M〃平面ADE；

⑵请画出过点A,P,尸的平面与平面A3石的交线/,证明〃/仪.

【答案】⑴连接利尸以加，因为EF//DC,S.EF=^DC,ABC。是平行四边形，

所以EF//DPS.EF=DP,所以“PD是平行四边形，FP//DE,同理FM//ED,

FP<Z平面ADE,DEu平面ADE,所以外〃平面,同理〃平面ADE,

又FPFM=F,FP,FMu平面FPM,

所以平面FPM//平面ADE；

MB

(2)在平面AED内过A作直线I//ED,l即为平面A£D和平面AFP的交线；

证明如下：设平面和平面A尸P的交线为/

由(1)ED//FP,EDu平面A£D,FPN平面AED,所以FP〃平面AED,

又尸Pu平面AFP,平面AFP平面AE£)=/,

所以FP/〃,所以ED///.

【变式3-2】2.如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，例，/V,Q分别丛，如，PC的

中点，平面PBC平面APD=I.

⑴证明平面MNQ/平面ABC。；

(2)求证：1//BC.

【答案】⑴证明：因为M.N,Q分别始,PB,PC的中点，所以MN"AB,NQ//BC,

又MN,NQ<z平面ABCD,AB,BCu平面所以MN//平面ABCD,NQU平面ABCD.

因为MNNQ=N,MN,NQu平面例/VQ所以平面MNQ//平面ABC。，

⑵证明：因为8C//A£>,ADu平面尸4。,8C<Z平面PAZ),所以8C//平面总。,

又平面平面P3C=/,8Cu平面P8C,所以BC/〃.

题型4面面平行证明线面平行

【例题4](2023•全国•高一专题练习)如图，AD//BC且AD=2BC,AD±CD,EG//AD且口口=口□,

□□"口遍口口=2口口,DGJL平面ABCD,□□=口口=□口,若M为口。0勺中点，N为口。0勺中

点，求证：MN〃平面Z7OZZ7.

【答案】证明见解析

【分析】取H是DG的中点，连接NH,MH,证明NH,MH者屿平面Z27Z7O平行，得面面平行，从而再

得线面平行.

【详解】证明：设H是DG的中点，连接NH,MH,

由于M是CF的中点，所以MHIICD,

由于MHC平面CDE,CDu平面CDE,

所以MHII平面CDE.

由于N是EG的中点，所以NHIIDE,

由于由于NHC平面CDE,DEu平面CDE,

所以NHII平面CDE.

由于NHCMH=H,口□,口口匚礴□□□,

所以平面MNHII平面CDE,

由于MNu平面MNH,所以MNII平面CDE.

【变式4-1】1.（2020•高一课时练习）如图，在四棱柱OOZ27O-方方£7'。'中，点M和N分别为&O

和01。6勺中点、求证：。口〃平面OOOZ7.

【答案】证明见解析.

【分析】设E为棱口。，的中点，连接£70,口口,易得口□〃平面□□□□,口口\\平面□□□□,平面

,可得£7£7〃平面£70。。.

【详解】证明：如图，

设E为棱口&的中点，连接

•••口,侬别为a。，的中点，

□□I[I]□□I

又；口口,DO在平面ODOU的外部，

□□口□又□□□□□=口,

二平面。口。/7平面EJUUU.

又□口U平面□□□,

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及面面平行的判定与性质，属于中档题.

【变式4-1】2.(2023春・全国•高一专题练习)几何体口一口〃。。是四棱锥,△叨％正三角形，〃0=

口口=2,乙□□口=120°,%绯殳口中中点.

⑴求证：海□口□；

⑵线段。。上是否存在一点。，使得以口,口,。四点共面?若存在，请找出点。,并证明；若不存在，并

说明理由.

【答案】⑴证明见解析；

(2)存在，点。为线段0ab靠近点语三等分点，证明见解析.

【分析】(1)取。木中点〃，连接利用面面平行的判定、性质推理作答.

(2)延长oaZ7O®交于点。，连接。依OO于点。,连接OO,利用线面平行的性质及平行推比例

式推理作答.

【详解】（1）取oa的中点。，连接oa口□,如图,

因为£7,£7分别为oa中点，,而平面□□口[JUu平面口口□,

班□□]/平面□□□,又七为正三角形，4□□□=60°,△00a为等腰三角形，4□□□=120°,

有N000=30°,

即1有二□□口=90°,而/口口□=90°,于是得/7切/门口，口口电钾□□口，口口口口口,

因此£7切/平面。£7。，因£70。□□=□,平面□□□,则平面口£7切/平面Z7Z7。，又

□口u平面□□□,

所以□□//平面□□□.

（2）延长口口交于点。,超妾口国口方息口,趣妾口口,过点。作O£7〃£7U交口行点。,

因为£70〃平面□□□,口□u平面□口□,平面□□口c平面□□□-□□,则UUH□□,

即a口,口,侬点共面，由（1）及已知，□□=□□=2/口口口=60°,\口□,

得口〃=4,即携=携=|,又口切/口£7,则携=携=|,

则有素=v即携=票=1点型线段口入靠近点三等分点，

1—11—1O1—11—1LJLJO

所以线段存在点。，使得au,口,。四点共面，点次线段。。上靠近点，的三等分点.

【变式4-1]3.(2023春•全国•高一专题练习汝口图，已知正方体OOZZ7-0口&的棱长为2,□、

a分别为棱口a、。量勺中点，证明：霞口皿平面□□□】

【答案】证明见解析

【分析】利用平行关系，转化为证明面面平行，即可证明线面平行.

【详解】证明：取。。1的中点O,连接口口、□□、,

在'正本悻□□□□—口1口1口1口1中,目,

•••a为别为□□[、口口1的中彘，妫口口1口恒口口=口□,

故四边形OOZ7O为平行四边形，则口口“口而口□=口□,

又因为。07£7砥。0=口□,典\口口11口也口口=口□,

故四边形平行四边形，则口口1口口,

《平面□□□、,ULJu平面□□□、，：.,

但为口口1口1口1且□□=□、口、,故四边形a为平行四边形，则o4〃oa,

••・□、/副为□□、O4的中点，她口□"□□[,典\口口旧口1,

□□《平面□□□[,□□、u平面Z7Z7a,□□[平面□□□、,

V口口八口口=口,口口、口口U平面。£7£7,所以，平面。£74/平面OZZ74,

•••£7£7u平面OZZ7O,ZLO/平面。£74.

【变式4-1]4.（2023春•全国•高一专题练习）如图，在长方体口口口口一口口口1口1中,AB=4,□□=

O4=3,G为AB的中点,E,F分别在线段&&,AC上，且黑=期=:,求证：口。//平面O&□.

>—J\t-il—JO

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，结合线面平行的判定、面面平行的判定证得平面。口口〃平面。口1。，再利用面

面平行的性质推理作答.

【详解】在女后体□□口口一口Pi。口、中,取/jo的中点。，连接oa□□,如图，

因G为AB的中点网口口/口口，而口口匚平面a,平面口丽□□//平面口口、n,

四边形&为矩形，而霁=需=；,则有&。=□□=□□,又a□“口□,

LJ\LJyLJLJo

即有四边形□□□□、为平行四边形厕□□川，而U平面U，□口，平面口□[口,

从而平面。&口，而口LJC□□=口,口口,□□仁'3^口口口,因此平面口/平面L/q。,

又□□u平面□□□,

从而£70〃平面□□、□.

【变式4-1J5.（2023春•全国•高一专题练习）如图①，在直角梯形。口口。中,

口^口口^中点、,口、口、侬别为口。、□□、口中中点，将4口□□沿口口丘

起，得到四棱锥。一口□□□,如图②.求证：在四棱锥。一□□□讲,钙□□□.

【答案】证明见解析

【分析】证明出平面£70。/平面。£7£7,利用线面平行的性质可证得结论成立.

【详解】证明：在四棱锥口一口口口仔,•••□、/别为口口、£7型中点，她口□“□□,

ZZ7Z7C平面Z7Z7Z7,£7Z7u平面ZZ7/Z7Z7,；.平面□□□,

在图①中，□□“□□,且□□=2£70,

•••皿。中）中点，她口口11口电口口=口口,所以，四边形soa为平行四边形，

所以，口口1口口,

因为。、为我为口口、口弥中彘，所以，,皿\口口1口口,

■.□□《平面□□□.£7£7u平面ZZ7DZZ7,ZZZO/^F®UUU,

•••Z7£7n口□=□,□□、。£7<=平面00。，所以，平面平面£7£7£7,

•••IJUu平面口□□,因此，ZZ7。/平面。Z7£7.

【变式4-1]5如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，E是BC上一点，M,N分别是AE,CDi的中点，

AD=AAi=a,AB=2a,求证：MNII平面ADDiAi.

【解析】如图，取CD的中点K,连接MK,NK.

因为M,N,K分别是AE,CDi,CD的中点，所以MKllAD,NKllDDi.

又MK，平面ADD1A1,ADu平面ADD1A1,

所以MKII平面ADD1A1.同理NKH平面ADD1A1.

又MKnNK=K,所以平面MNKII平面ADD1A1,

又MNu平面MNK,所以乂1\||1平面人口口加1.

题型5面面平行的简单应用

【方法总结】两个平面位置关系的判断方法

两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交，热练掌握这两种位

置关系，并借助图形来判断，

【例题5]（2023春•全国•高一专题练习）如图，在长方体OOOO-口】口口口曲，写出满足条件的一

个平面：

（1）与平面□□□[4平行的平面为

（2）与平面□□□[a平行的平面为

(3)与平面&平行的平面为.

【答案】平面□□□、□[平面□□口[□]平面O&Z7

【分析】结合长方体的结构特征和面面平行的判定定理即可判断.

【详解】因为□□□□-d口、口、&为长方体，所以平面。口4aU平面,平面。口n

平面□□□1口,同时&□