八年级数学上册最短路径问题解答题培优练习

八年级数学上册最短路径问题解答题培优练习

1.如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A,B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方,

才能使A，B到它的距离之和最短？

居民区B

■

居民区A

■

街道__________________________

2.如图，高速公路的同侧有A,8两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为

AA\=2km,BBi=4km,A\B^km.现要在高速公路上4闰之间设一个出口P,使A,

B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？

B

A

I________

MaBiN

3.如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1

千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸8上建一水厂向两村输送自来

水，铺设水管的工程费用每千米20000元.

（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省.

（2）并求出铺设水管的最省总费用.

_____□k

CD

4.如图，在/ABC内有一点P,问：能否在BA、8c边上各找一点M,N,使的周

长最短？若能，请作图确定点“，N的位置（不需证明，不写作法，保留作图痕迹）；

若不能，请说明理由.

5.己知平面直角坐标系内的点A(w-3,2m-2)在第二象限，且m为整数，B(3,1).

(1)求点A的坐标；

(2)点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：

①点P的坐标；

©PA+PB的最小值.

6.如图，要在街道/上修建一个奶吧。(街道用直线/表示).

小区月,小区

小区C・

街道/-------------------------街道/-------------------------

小区5・

图①图②

(1)若奶吧。向小区A,B提供牛奶如图①，则奶吧。应建在什么地方，才能使它到小

区A,8的距离之和最短？

(2)若奶吧。向小区4,C提供牛奶如图②，则奶吧。应建在什么地方，才能使它到小

区A,C的距离之和最短？

7.如图，在△ABC中，已知AB=4C,AB的垂直平分线交AB于点M交AC于点连

接MB.

(1)若NABC=70°,则的度数是.

(2)若AB=8c«b的周长是

①求8c的长度；

②若点尸为直线MN上一点，请你直接写出△P8C周长的最小值.

8.如图，在RtZVLBC中，ZACB=90°，NBAC=30°,E为A3边的中点，以8E为边作

等边△8DE,连接AO,CD.

(1)求证：AADE注ACDB；

(2)若BC=I,在4c边上找一点”,使得2H+EH最小，并求出这个最小值.

在AC上确定点N,使DN+MN最小.

10.如图，在边长为4的正方形ABC。中，E是AB边上的一点，且4E=3,点。为对角线

AC上的动点，如果直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，那么是否可求出4

8EQ周长的最小值.

11.如图，直线〃?J_",点A在〃?上

(1)试在直线n确定一点C,使C到点A、点B的距离之和最小

(2)若点A到直线n的距离为3cm,点B到两直线相、n的距离都是9cm,求出上题中

C到A、3距离之和的最小值.

12.如图，在四边形A8CQ中，AD=CD,ACLBC,OE平分/A£>C交4B于点E,M是

OE上的动点.已知AC=4,BC=3,求△M8C周长的最小值.

D

A

13.已知:如图所示，

(1)作出△ABC关于y轴对称的AA'B'C,并写出△?!'B'C三个顶点的坐标.

(2)在x轴上画出点尸，使P4+PC最小.

14.如图1,A村和8村在一条大河CZ)的同侧，它们到河岸的距离4C、8。分别为1千米

和4千米，又知道CD的长为4千米.

BBB

方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到8村（即AC+AB）（如图2）；

方案2：作A点关于直线C。的对称点A',连接4B交CD于M点，水厂建在M点处，

分别向两村修管道AM和（即AM+BM）（如图3）.

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分

别进行计算，判断哪种方案更合适.

（2）有一艘快艇。从这条河中驶过，若快艇。在CD之间（即点Q在线段CD上），

当。。为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果.

15.如图①所示，在△ABC中，NCAB=30°,ZB=45°,AO是NC48的角平分线，AD

的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,F,G,连接ED

（1）求证：ED=AG\

（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AO上找一点尸，使得PG+PB取得最小值，

并说明理由；如果EZ）=10,则PG+PB的最小值是多少？

16.已知点P在/M0N内.

（1）如图1,点P关于射线。M的对称点是G,点尸关于射线ON的对称点是从连接

OG、OH、OP.

①若NMON=50°,则NGCW=；

②若尸。=5,连接GH,请说明当/MON为多少度时，GH=10；

（2）如图2,若/MON=60：A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的

周长最小时，求Z4PB的度数.

H

参考答案

解答题（共16小题）

1.如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A,B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方,

才能使A，8到它的距离之和最短？

居民区B

居民区A

街道__________________________

解：作点4关于直线/的对称点A',连接4'B交直线/于点M,则点M即为所求点.

2.如图，高速公路的同侧有A,B两个村庄，它们到高速公路所在直线的距离分别为

AA|=2h〃，BBi=4km,现要在高速公路上4出之间设一个出口P,使A,

B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？

B

M山坊N

解：如图，过B作8点关于的对称点8',连接AB'交4修于点P,

贝UAP+BP=AP+PB'=AB',

所以P点即为到A,8距离之和最短的点,

过A作AELB8'于点E,

则AE=A[3]=8,BrE=A4]+53]=2+4=6,

2/2=22=1

由勾股定理，得4夕=7AE+EBVS+6°-

BPAP+BP=AB'=10,

故出口。到A,B两村庄的最短距离之和是10&/n.

3.如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC,BD分别为1

千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来

水，铺设水管的工程费用每千米20000元.

（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省.

（2）并求出铺设水管的最省总费用.

延长AC到凡使AC=CF,连接BF,交CD于E,

则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省;

F

过8作BNJ_CA,交CA的延长线于N,

VAC1CD,BDLCD,

:./BNC=/NCD=/BDC=90°,

・・・四边形NCQ8是矩形，

・・・3N=C£）=3千米，BD=CN=3千米,

9：AC=CF=1千米，

:.NF=3千米+1千米=4千米，

在中，由勾股定理得：BF^VBN2+NF2V32+42=5（千米），

■：ACLCD,AC=CF,

：.AE=FE,

：.AE+BE=EF+BE=BF=5千米，

铺设水管的最省总费用是：20000元/千米X5千米=100000元.

4.如图，在NA8C内有一点P,问：能否在54、8c边上各找一点M,N,使△PMN的周

长最短？若能，请作图确定点M,N的位置（不需证明，不写作法，保留作图痕迹）；

若不能，请说明理由.

P"

理由：：根据题意可得：PM=P'M,PN=P"N,

...△PMN的周长=PM+PN+MN=P'M+MN+P"N,

:两点之间线段最短，

...此时最短.

5.已知平面直角坐标系内的点A(机-3,2/»-2)在第二象限，且加为整数，B(3,1).

(1)求点A的坐标；

(2)点尸是x轴上一动点，当PA+P3最小时，求：

①点P的坐标；

©PA+PB的最小值.

解：(1)•.•点A(根-3,2机-2)在第二象限，且机为整数,

.irr3<0

…2m-2>0，

解得1<胆<3,

••m--2,

・・・A(-1,2)；

(2)如图，作点A关于x轴的对称点C,则C(-l,-2),

连接8c交x轴于P,设直线BC的解析式为)，=丘+4则

-k+b=_2

3k+b=l

A,

解得4

b=4

35

・・y=­x----；

44

①令y=0,则x=£,即P(晟，0):

②如图，过C作CO〃x轴，过B作8D〃y轴，则CO=4,80=3,

.•.R"c。中，BC=^22+^2=5'

g|JPA+PB的最小值为5.

----I>

0,‘/PiIx

6.如图，要在街道/上修建一个奶吧。(街道用直线/表示).

小区月,小区4•

小区C・

街道/-------------------------街道/-------------------------

小区5.

图①图②

(1)若奶吧。向小区A,8提供牛奶如图①，则奶吧。应建在什么地方，才能使它到小

区A,8的距离之和最短？

(2)若奶吧。向小区A,C提供牛奶如图②，则奶吧。应建在什么地方，才能使它到小

区A,C的距离之和最短？

解：(1)奶吧。的位置如图1所示；

小区小区4?

小区》・:一

•.•

•.•

图①图②

I

(2)奶吧。的位置如图2所示.

7.如图，在AABC中，已知AB=AC,A8的垂直平分线交AB于点M交AC于点M,连

接M8.

(1)若/ABC=70°,则NAMN的度数是50°.

(2)若AB=8c/n,△M8C的周长是14c”.

①求BC的长度；

②若点P为直线上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值.

M

----------------'C

解：⑴-：AB=AC,

，NC=NABC=70°,

AZA=40°,

'：AB的垂直平分线交AB于点N,

...NANM=90°,

.*.ZWA=50o,

故答案为：50°；

(2)①•••MN是4B的垂直平分线，

：./XBCM的周长=BM+CM+BC=AM+MC+BC=AC+BC,

；AB=AC=8cm,△MBC的周长是14。”，

.\BC=14-8=6(cm)；

②当P与"重合时，△P8C的周长最小.

理由：'：PB+PC^PA+PC,PA+PC^AC,

工当P与M重合时，PA+PC=AC,此时PB+PC最小值等于AC的长,

...△P8C的周长最小值=AC+BC=8+6=14(cm).

8.如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,E为AB边的中点，以BE为边作

等边△BDE,连接AO,CD.

(1)求证：△ADEQ2CDB；

(2)若BC=1,在AC边上找一点4,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.

(1)在RtZ\ABC中，NACB=90°,NBAC=30°,

：.BC=—AB./ABC=60°.

2

为A3边的中点，

：.AE=BE,

「△BOE是等边三角形，

：.BE=BD=DE,NDBE=/DEB=60°,

：.AE=DE=DB=BC,ZDBC=ZAED=\20°,

.♦.△AOE也△COB(SAS).

(2)作点B关于4c的对称点8,，连接*E交AC于点”，

此时8H=B'H,B'E=B'H+HE=BH+HE最小.

"：BC=\,BB'=2,：.B'E=->/3.

答：这个最小值为JE.

9.如图，正方形ABC。，点M在CO上，在AC上确定点N,使£W+MN最小.

解•••西边形A8CZ）是正方形,

点8与。关于直线AC对称，

连接交4C于N,点N即为所求的点，如图所示:

则BN=DN,BM的长即为DN+MN的最小值.

10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3,点。为对角线

AC上的动点，如果直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，那么是否可求出4

BEQ周长的最小值.

解：连接B。、DE,如图所示：

•••四边形ABC。是正方形，

.•.点5与点。关于直线AC对称，ND4E=90°,AB=AD=4,

...OE的长即为OQ+QE的最小值，BE=l,

VDE=A/AD2+AE2=Ay42+32=5)

.♦.△8旦2的最小值=5+1=6.

11.如图，直线点A在，"上

(1)试在直线〃确定一点C,使C到点A、点8的距离之和最小

(2)若点A到直线〃的距离为3cm点8到两直线〃?、〃的距离都是9c7”，求出上题中

C到A、B距离之和的最小值.

解：（1）方法:作点A关于〃的对称点D,连接BD交直线n于点C,

过8作直线m于E,BF_L直线〃于凡

•.•点A到直线n的距离为3cm,点B到两直线，小n的距离都是9cm,A和。关于直线n

对称,

：.AQ=DQ=3cm,BE=9cm,BF=EQ=9cm,NBED=90°,

ED=9cni+3cm=12cm,

在中，由勾股定理得：M={BE2+DE2={92+]22=15(cm),

和。关于直线”对称,

：.AC=CD,

二C到A、B距离之和的最小值是AC+BC=DC+BC=-BD=15cm.

12.如图，在四边形ABC。中，AD=CD,AC±BC,OE平分NAOC交4B于点E,M是

BC=3,求△MBC周长的最小值.

解：如图，连接AE交BD于点P,连接PC,设AC交DE于点匕

,JACLBC,AC=4,BC=3,

^S-I/AC2+BC2=V42+32-5,

•：AD^CD,DE平分/AOC交AC于点F,

：.AF=CF,

直线DE是线段AC的垂直平分线，

即点A与点C关于。E对称，

是QE上的动点，

：.MC=MA,

：.MC+MB=MA+MB,

当点A、M、B三点在同一条直线上时，即点M与点、E重合时，MC+VB=MA+MB=EA+EB

=AB,

此时MC+MB最小，即4MBe周长的最小，

：AB+BC=5+3=8,

13.已知：如图所示，

(1)作出△ABC关于y轴对称的B'C,并写出△?!'B'C三个顶点的坐标.

(2)在x轴上画出点P,使PA+PC最小.

解：⑴

cC

*

A7

1，/

11B

-101

-1

分别作A、B、C的对称点，A'、8'、C',由三点的位置可知:

A'(-1,2),B'(-3,1),C(-4,3)

(2)先找出C点关于x轴对称的点C"(4,-3),连接C"A交x轴于点P,

(或找出A点关于x轴对称的点A"(1,-2),连接A"C交x轴于点P)则P点即为

所求点.

14.如图1,A村和B村在一条大河C。的同侧，它们到河岸的距离AC、分别为1千米

和4千米，又知道CQ的长为4千米.

BBB

方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；

方案2：作A点关于直线CQ的对称点W,连接48交CC于用点，水厂建在M点处，

分别向两村修管道AM和（即AM+8M）（如图3）.

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分

别进行计算，判断哪种方案更合适.

（2）有一艘快艇。从这条河中驶过，若快艇。在CD之间（即点Q在线段C。上），

当。。为多少时？△AB。为等腰三角形，请直接写出结果.

解：（1）方案1：AC+AB=]+5=6,

方案2：AM+BM=A'BWCD2+（AC+BD）2=VH，

V6<V41.

①若AQ]=AB=5或AQ4=AB=5时,

22

CQ1=CQ4=75-1=2V6（或病）＞4

，（不合题意，舍去）

②若AB=BQ2=5或43=2。5=5时，

DQ=V52-42=3'

③当4。3=8。3时,

设。。3=》，

贝情X2+42=(4-x)2+12

8x=l

.1

.・x下

即：DQ1；

O

故当。。=3或《时，△ABQ为等腰三角形.

O

15.如图①所示，在△ABC中，ZCAB=30°,ZB=45°,4。是NCAB的角平分线，AD

的垂直平分线分别交ACAD,AB于点E,F,G,连接加).

(1)求证：ED=AG；

(2)已知图②与图①相同，请在图②的线段A。上找一点尸，使得PG+尸3取得最小值，

并说明理由；如果红＞=10,则PG+PB的最小值是多少？

图①图②

(1)证明：如图1,连接QG,

图1

•「EG垂直平分AO,

：.AF=DF,EGLAD,

••♦A。平分NCA8,

：.ZEAF=ZGAF,

VZAFE=ZAFG=90°,

・・・NAEF=ZAGE9

：.AE=AG,

：.EF=FG,

•：AF=DF,ADA,EG,

，四边形OE4G是菱形,

：.DE=AG；

（2）解：如图2,连接EB交4。于尸，连接PG,此时PG+P8最小，理由如下:

图2

在A。上任取一点P（不与P重合），连接EP'、BP\GP,,

由（1）知：AO是EG的垂直