2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第12章复数

第12章复数

12.1复数的概念

课程1.通过方程的解•认识复数.

标准2.理解复数的代数表示•理解两个复数相等的含义.

》基础认知-自主学习《

【概念认知】

1.复数的概念

形如a+bi(a,beR)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位,满足i2=

-1；复数通常用字母Z表示，即z=a+bi(a,bwR),其中a与b分

别叫作复数z的实部与虚部.

2.复数的分类

实数(6=0)

(1)复数”+历(a,6GR)(纯虚数Gz=0)

虚数(〃/0)［非纯虚数(。工。)

⑵复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.

3.复数相等的充要条件

在复数集C={a+bi|a,beR}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,

dwR),我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.

【自我小测】

1.(1+小)i的实部与虚部分别是()

A.1,小B.1+小,0

C.0,1+/D.0,(1+小)i

选C.(l+小)i可看作0+(1+5)i=a+bi,

所以实部a=0,虚部b=1+y/3.

2.如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为()

A.x=l,y=-1B.x=0,y=-1

C.x=1,y=0D.x=0,y=0

选A.因为(x+y)i=x-1,

[x+y=0,

所以

lx-1=0,

所以x=1,y=-1.

3.若xi-i?=y+2i,x,yQR,则复数x+yi=()

A.-2+iB.2+i

C.1-2iD.1+2i

选B.由i2=T,得xi-i?=1+xi,

则由题意得1+xi=y+2i,

根据复数相等的充要条件得x=2,y=l,

故x+yi=2+i.

4.下列命题：

①若a£R,则(a+l)i是纯虚数；

②若(X?-l)+(x2+3x+2)i(xeR)是纯虚数,则x=±1；

③两个复数不能比较大小.

其中错误命题的序号是_______.

当a=-1时，(a+l)i=0,故①错误；若(X?-1)+(x2+3x+2)i是纯

虚数，

fx2-1=0,

则

p+3x+2#0,

即x=1,故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的,

③中忽视了这一特殊情况，故③错.

答案：①②③

5.已知x2+ix+6=2i+5x,若xwR,贝Ux二；若xwC,

贝Ux=.

当x£R时，由复数相等的充要条件得

x2-5x+6=0,

解得x=2；

x=2,

当x@C时，x=a+bi(a,b£R),

fa2-b2-b+6=5a,

则有V

[2ab+a=2+5b.

[a=2,[a=3,

解得或

[b=0[b=-1.

所以x=2或x=3-i.

答案：23-i或2

6.实数x取什么值时,复数z=(x2+x-6)+(x2-2x-15)i是⑴实

数；(2)虚数；⑶纯虚数.

⑴当x2-2x-15=0,

即x=-3或x=5时，复数z为实数；

(2)当x2-2x-15#0,

即x>3且对5时，复数z为虚数；

(3)当x2+x-6=0Sx2-2x-15^0,

即x=2时，复数z是纯虚数.

；份学情诊断.课时测评《

【基础全面练】

一、单选题

1.设a,b£R,i是虚数单位，则“ab=0”是漫数a+bi为纯虚数”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

选B.a+bi为纯虚数，则a=0,b#0，此时ab=0；反之ab=0不能得

出a=0厉0.所以，ab=0”是复数a+bi为纯虚数”的必要不充分条件.

2.若a,b£R,且a〉b,那么()

A.ai>biB.a+i>b+i

C.ai2>bi2D.bi2>ai2

选D.虚数不能比较大小，故A,B错；

因为i2=-1,a>b,所以ai2Vbi2，故C错D对.

3.如果z=m(m+1)+(m2-l)i为纯虚数，则实数m的值为()

A.1B.0

C.-1D.-1或1

fm(m+1)=0,

选B.由题意知1解得m=0.

[m?-1R0,

二、填空题

4.以4T的虚部为实部，以8i2+也i的实部为虚部的复数是

小i-4的虚部为小,8i2+V2i=-8+^2i的实部为-8.

答案：小-8i

5.满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+l)i=O的实数对(x,y)表示的点

的个数为.

fx2-2x-3=0,

由题意知，

[9y2-6y+1=0,

x=3,x=-1,r1、

解得，1或11所以实数对(X,y)表示的点有3,、,

[-1,共有2个.

答案：2

三、解答题

6.已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数m为何值时,

复数z⑴是实数；⑵是虚数；⑶是纯虚数.

(1)当m2-m-6=0,

即m=3或m=-2时，z为实数.

(2)当m2-m-6#0,即mW-2且m#3时，z是虚数.

fm2+3m+2=0,

⑶当，即m=-1时，z是纯虚数.

Im2-m-6#0,

【综合突破练】

一、选择题

1.已知关于X的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m£R)有实根n,且z

=m+ni,则复数z=()

A.3+iB.3-i

C.-3-iD.-3+i

选B.由题意,知n?+(m+2i)n+2+2i=0,

即n2+mn+2+(2n+2)i=0,

fn2+mn+2=0,

所以

[2n+2=0,

fm=3,

解得1所以z=3-i.

[n=-1,

2.已知复数z=x+yi(x,ywR)，则()

A.z2>0

B.z的虚部是yi

C.若z=l+2i,则x=l,y=2

D.z为实数时，x+y=0

选C.对于A选项，取z=i,则z2=-l<0小选项错误；对于B选项,

复数z的虚部为y,B选项错误；对于C选项，若z=1+2i,则x=1,

y=2,C选项正确；对于D选项，z为实数时，y=0,D选项错误.

3.已知复数zi=m+(4-m2)i(m£R),Z2=2cos0+(A,+3sin0)i(X,

。QR),并且zi=Z2,则入的取值范围为()

99

A.-7<X<y^B.讳<X<7

9

C.-1<X<1D.-T7<X<7

----16-----

选D.由zi=z2,

m=2cos0,

消去m,

{4-m2=X+3sin0,

,(3、29

得九二4sin20-3sin0=41sin0-gJ-.

9

由于-l<sin旺1,故-正<X<7.

4.(多选)对于复数z=a+bi(a,beR),下列结论错误的是()

A.若a=0,则a+bi为纯虚数

B.若a-bi=3+2i,贝Ua=3,b=2

C.若b=0,则a+bi为实数

D.z为虚数时,b#0

选AB.因为z=a+bi(a,b@R),

当a=0且bM时复数为纯虚数，故A错误；

当b=0时，复数为实数，故C正确；

z为虚数时，屏0,故D正确；

a=3,a=3,

对于B：a-bi=3+2i,则即故B错误.

-b=2,b=-2,

Bi【加固训练】

（多选题）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（）

A.若x,y£C,贝Ux+yi=3-2i的充要条件是x=3,y=-2

B.(a2+l)i(a£R)是纯虚数

C.若实数a与ai对应，则实数集与纯虚集---对应

D.当m=4时，复数1g(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数

选BD.取x=-2i,y=-3i,则x+yi=3-2i,但不满足x=3,y=

-2,故A错误;

VaeR,a2+l>0恒成立，所以®+l）i是纯虚数，故B正确；若a

=0,贝Uai不是纯虚数，故C错误；m=4时，复数1g（m2-2m-7）

+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数，故D正确.

二、填空题

22

5若log2(x-3x-2)+ilog2(x+2x+1)>1，则实数x的值是

【思路导引】复数值大于1,则复数必为实数，即虚部为0,实部大

于1.

22

因为log2(x-3x-2)+ilog2(x+2x+1)>1,

flog2(x2-3x-2)>1,fx2-3x-2>2,

所以一,即,

[log2(x2+2x+1)=0,[x-+2x+1=1,

解得X=-2.

答案：-2

6.复数z=cos*+oj+isin及+oj，且。£~2,2,若z是实数,

则0的值为；若z为纯虚数，则。的值为.

z=cos3++isin'=-sin0+icos0.

jrjr

当Z是实数时，cos0=0,因为。£-2,2'

7rf-sin0=0,

所以0=±3；当2为纯虚数时《

2[cos殍0,

又0寸4图，所以。=0.

答案：或0

三、解答题

7.已知集合乂={9+3)+伊-1"8},集合N={3i,l)+(b

+2)i},且MANM,MAN#,求整数a,b的值.