3.1.1函数的概念课件高一上学期数学人教A版2

第三章

函数的概念与性质3.1

函数的概念及其表示

函数的概念

第1课时

函数的概念教师用书配套课性定

义设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关

系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它

对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合

B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合f(x)

∈A}基础自主学习1.函数的概念定义名称符号数轴表示闭区间开区间0半开半闭区间半开半闭区间2.区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a,b∈R,

且a<b,规定如下：定义D1{x|x={x|x>{x|x{x|x符号(a,十(一(—0

a)(2)特殊区间的表示.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”.()(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x

可以对应着值域中不同的y.

(

)(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.

(

)(4)在研究函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x),F(x),G(x)

等来表示函数.

(

)素

养

小

测提示：(1)×.f(x)是一个符号，“y=f(x)”是“y

是函数”的数学表示.(2)

×.根据函数的定义，对于定义域中的任何一个值域中都有唯一的y

与之对应。(3)×.在函数的定义中，函数的值域是集合B

的子集.(4)

√.同一个题中，为了区别不同的函数，常采用g(x),

F(x),G(x)

等来表示函数.则

f(3)=3.用区间表示函数的定义域是

类型一

函数关系的判断【典例1】(1)设集合P={x|o≤x≤2},Q={ylo≤x≤2},则图中能表示P到

Q

的函数的是

(

)①

②

③

④A.①②③④

B.①③④C.①④D.③能力合作探究②A={x|x>0,x∈R},B={yly∈R},对应关系f:x→y²=3x;③A={x|x∈R},B={yly∈R},对应关系f:x→x²

十y²=25;④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x²;⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,

对应关系f:(x,y)→s=x

十y;⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.A.①⑤⑥

B.②④⑤⑥C.②③④D.①②③⑤(2)在下列从集合A

到集合B

的对应关系中，不能确定y是x的函数的是

(

)①A={x|x∈Z},B={yly∈Z},对应关系f:x→y【思维·引】1.在x

轴上区间[0,2]内作与x

轴垂直的直线，此直线与函数的图象恰有一个公共点.2.先看集合A,B是否为非空数集，再判断非空数集A中任取一个数，在非空数集

B中是否有唯一的数与之

对应.【解析】(1)选C.根据函数的定义，在定义域内的任何一个x

值，都唯一对应一个y

值，故①、④正确；②中定义

域内的1对应了2个函数值，③中定义域(1,2)内的x

值，没有对应的y

值，故②、③错误.(2)选D.①

在对应关系f下

，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y

是x

的函数.②在对应关系f下

，A中的数在B

中有两个数与之对应，所以不能确定y

是x

的函数.③在对应关系

f

下，A

中的数(除去5与一5外)在B

中有两个数与之

对应，所以不能确定y

是

x的函数.⑤A

不是数集，所以不能确定y

是x

的函

数.④⑥显然满足函数的特征，

y

是x的函数.两非空实数集A,B一对一或多对一A中不能有剩余元素1.判断一个对应是否是函数的方法

类题

·

通

函数的概念作出判断2.根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任做一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l

与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.如图所示：不是函数图象是函数图象★习练·破已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},

在下列A

到B

的四种对应关系中，存在函数关系的个数是

(

)①

②

③

④A.1B.2

C.3

D.4A

BA

B【解析】选B.根据函数的定义可知，集合A中每一个实数在B

中都有唯一确定的实数与之对应，其中①③均满

足函数的定义.类型二

求函数的定义域【典例2】(1)若将长为a

的铁丝折成矩形，则矩形面积

关于一边长x的解析式为

,此函数的定义域

为

(2)求下列函数的定义域.【思维·引】(1)先用a

和x

表示另外一条边，然后根据两条边长都大于0,列不等式组求定义域.(2)①依据分式的分母不为0,列不等式求定义域。②依据分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于或等于0,列不等式组求定义域.【解析】(1)已知矩形的一边长为x,

则另一边长为—2x),,故定义域为由

得(2)①因为|x+1|≠0,x+1≠0,所以定义域为{

x|x≠—1}.所以定义域为{—1}.所以x≠—1.②因为★

类题·通

已知函数的解析式，求函数的定义域(1)本质：求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.(2)常见题型：①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.②如

果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.③如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.④如果y=x°,

那么x≠0.⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部

分定义域的交集).⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.★习练·破

求下列函数的定义域：;(2)y=√x-

1·√

1—x;;(4)③(1得函数的定义域为(2)由

→x=1,得函数的定义域为{1}.(3)由得函数的定义域为{x|x≤1,

且x

≠0}.(4)因为

,解得x>—1,

且x≠1.所以函数的定义域为{x|x>-1,

且x≠1}.【解析】(1)由●的【加练·固】求下列函数的定义域.得x>—2

且

x≠3.所以所求函数的定义域为(—2,3)U(3,十)

.(2)要使函数有意义，需满足所以所求函数的定义域为(0,1)

U(1,

十一).【解析】(1)要使函数有意义，需满足所以x>0

且

x≠1,即类型三

函数的对应关系的应用角度1

求值问题【典例3】(1)已知f(3x+1)=4x+3,

则

f(4)=

(

)A.6B.7

C.8D.9(2)如图，函数f(x)

的图象是曲线OAB,

其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f(f(3))

的值为B3xy21O2【思维·引】1.注意到f(4)=f(3×1+1)

就可以利用f(3x+1)=4x+3

求f(4).2.根据图象确定自变量x=1

和

x=3时，对应的函数值即可求f(f(3)).【解析】(1)选B.由3x+1=4,

得x=1,所以f(4)=f(3×1+1)=4×1+3=7.(2)据图象知，f(3)=1,f(f(3))=f(1)=2.答案：2①求f(3),f(4),f(g(3))及f(g(4))的值.②求f(g(x)),并证明f(x)+f(g(x))是常数.角度2

求解析式问题【典例4】已知函数●。【解析●则类题

·

通

函数求值的方法及关注点(1)方法.①求

f(a):已

知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x

即得f(a)

的值.②求f(g(a)):已

知f(x)

与

g(x),求

f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x的

数a

必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.

习练

·

破

1.若f(x)=ax²—√2,a为正实数，且f(f(√2))=—√2,

则a=

2.设f(x)=2x²+2,

●(

1

)

求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠—2),g(f(2)).(2)求g(f(x)).≠—2),【加练·固】若(x≠—1),

求

f(0),f(1),f(1—a)(a≠2),f(f(2))的值.

课堂达标检测

1.下列图形中，不能确定y

是x的函数的是

(

)y3xB.C.D.3A.【解析】选D.任作一条垂直于x

轴的直线x=a,移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一

个交点.结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数

关系.2.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=—2,f(—1)=0,

则(

)A.a=1,b=—

1

B.a=—

1,b=—

1C.a=—1,b=1

D.a=1,b=13.用区间表示数集{xlx≤2或x>3}为

,且

f(a)=2,则

a=

若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数.那么与函数y=x²,x∈{—1,0,1,2}为同族函数的个数有

()A.5

个

B.6

个

C.7

个

D.8

个新情境

·

新思维

【解析】选D.

由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y=x²,值域为{0,1,4}时，定义域中，0

是肯定有的，正负1,至少含一个，正负2,至少含一个.它

的定义域可以是{0,1,2},{0,1,—2},{0,—1,2},{0,

—

1,—2},{0,1,—2,2},{0,—1,—2,2},{0,1,—1,

—2},{0,1,—1,2,—2},共有8种不同的情况，所以

D

选项是正确的.函数的概念基础练

一、选择题1.设f:x→x²是集合A到集合B

的函数，如果集合B={1},那么集合A

可能是

(

)A.{1}

B.{0}C.{—1,1,0}

D.{—1,0}

课时素养评价(十六)

A.(—1,2)U(2,

十○)

B.(—1,

十

)C.(—1,2)D.(—1,十

)2.函数

的定义域为()【加练·固】已知集合A={x|x≥4},的定义域为B,

若

A∩B=

,则实数a

的取值范围是(

)A.(—2,4)

B.(3,

十

)C.

(

一

，

3

)

D.(

一

，

3

)3.设M={x|o≤x≤2},N={ylo≤y≤2},

给出以下四个图形，其中能表示集合M

到集合N的函数关系的有()(1)(2)(3)(4)A.0

个

B.1

个

C.2

个

D.3

个【解析】选C.图象(1)中，集合M

内(1,2)的元素在集合N内没有对应元素，所以图象(1)不能表示集合M

到集合N

的函数关系；图象(2)中，集合M内的任意元素在

集合N

中都有唯一确定的对应元素，所以图象(2)能表

示集合M

到集合N

的函数关系；图象(3)中，集合M

内的任意元素在集合N

中都有唯一确定的对应元素，

所以图象(3)能表示集合M

到集合N的函数关系；图

象(4)中，集合M

内的元素在集合N中对应的元素不

唯一，所以图象(4)不能表示集合M

到集合N的函数

关系.所以能表示集合M

到集合N的函数关系的是

(2)、(3).4.设f(x)=|x—1|—|x|, B.0则等于C.1(

)A口【加练·固】已知函数

,则(

)

B.

C.a

D.3aA二、填空题5.(2a,3a—1)

为一确定的区间，则

a的取值范围是

6.已知函数

,则g(x)=

,函数g(x)的定义域是.(用区间表示

)【加练·固】已知等腰△ABC的周长为10,底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10—2x,则此函数的定义域为

(1)求函数f(x)

的定义域；(2)求f(—1),f(12)的值.三

、解答题