高考新结构-泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用

·1·泰勒公式是将一个在x0处具有n阶导数的函数利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上其中：f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的R(n)(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小量.·2·n=1+nx+x2+o4.1对数型超越放缩≤lnx≤x-1上式(1)中等号右边只取第一项得：ln(1+x)≤x(x>-1)⋯⋯结论①用x-1替换上式结论①中的x得：lnx≤x-1(x>0)⋯⋯结论②≤lnx⋯⋯结论③4.2指数型超越放缩：x+1≤ex≤x≥1+x(x∈R)⋯⋯结论①用-x替换上式结论①中的x得：e-x≥1-x(x∈R)⋯⋯结论②当x<1时，对于上式结论②e-x≥1-x⇒≥1-x⇒-≥ex⋯⋯结论③当x>1时，对于上式结论②e-x≥1-x⇒≥1-x⇒-≤ex⋯⋯结论④试根据此公式估计下面代数式·3·式：ln(1+x(=x-+⋯+(-1(n-1试根据此公式估计下面代数式2++-+⋯+(-1(n-1+⋯(n≥5)的近似值为()(可能用到数值ln2.414=0.881,ln3.414=1.23)A.eix=cosx+isinx(i是虚数单位)B.eix=-i(i是虚数单位)时，有f(x(=(x-x0(0+(x-x0(+(x-x0(2其中f'(x(是f(x(的导数，f''(x(是f'(x(的导数，f'''(x(是f''(x(的导数⋯⋯.取x0=0ln(1+x)=x-+-+⋯+(-1)n-1+⋯,试根据此公式估计下面代数式2++-+⋯+(-1)n-1+⋯(n≥5)的近似值为()(可能用到数值ln2.414=0.881，ln3.414=1.23)·4·他研究出数学中著名的Maclaurin级数展开式，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：时，有f(x(=(x-x0(0+(x-x0(+(x-x0(2 x时，有f(x(=(x-x0(0+(x-x0(+其中fI(x(是f(x(的导数，fⅡ(x(是f'(x(的导数，f川(x(是fⅡ(x(的导数⋯⋯.取x0=0A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a·5·A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c-A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<aA.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>bA.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>bA.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>cx-e2lnx>0；1+1+(⋯(1+ex-a.1+x2>2.xln(x+1(+e-x-cosx≥0.·6·3+⋯+lnn2-1n>-(n∈N*,n≥2(.*，1+++⋯+>ln(n+1).f(x)>2lnx+4.=1,xn+1=f(xn(．证明：n<xn+1；lnx,g=ex-x-1.例3.(2024·福建福州·模拟预测)已知函数f(x(求证：f(x(<e-x+·7·(3)若p>0,q>0且pq>1，求证：f(p(+f(q(<-4.2.(2024·内蒙古包头·一模)设函数f(x(=ex+2asinxx≥x+1；②当x≥0时，x≥sinx，当x≤0时，x≤sinx；③当a=时，函数y=f(x(存在唯一的零点.·1·泰勒公式是将一个在x0处具有n阶导数的函数利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上其中：f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的R(n)(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小量.·2·n=1+nx+x2+o4.1对数型超越放缩≤lnx≤x-1上式(1)中等号右边只取第一项得：ln(1+x)≤x(x>-1)⋯⋯结论①用x-1替换上式结论①中的x得：lnx≤x-1(x>0)⋯⋯结论②≤lnx⋯⋯结论③4.2指数型超越放缩：x+1≤ex≤x≥1+x(x∈R)⋯⋯结论①用-x替换上式结论①中的x得：e-x≥1-x(x∈R)⋯⋯结论②当x<1时，对于上式结论②e-x≥1-x⇒≥1-x⇒-≥ex⋯⋯结论③当x>1时，对于上式结论②e-x≥1-x⇒≥1-x⇒-≤ex⋯⋯结论④试根据此公式估计下面代数式·3·=-+23+⋯+(-1)n-1+⋯=ln2.7321=1.005所以23++⋯+(-1)n-1+⋯≈ln(1+3)+=4.755式：ln(1+x(=x-+⋯+(-1(n-1试根据此公式估计下面代数式、2+++⋯+(-1(n-1的近似值为()(可能用到数值ln2.414=0.881,ln3.414=1.23)+⋯+(-1(n-1进而可得答案.+⋯+(-1(n-1所以ln(1+2(++⋯+(-1(n-1故+⋯+(-1(n-1的近似值为2.881.·4·ex=1+x++++⋯++⋯A.eix=cosx+isinx(i是虚数单位)B.eix=-i(i是虚数单位)C.2x≥1+xln2+(x≥0(D.cosx≤1-(x∈(0,1((1-+-证明+⋯<0即可.对于A、B，由sinx=x-+⋯+(-1(n+1两边求导得cosx=1-+-+⋯+(-1(n+1-+⋯,isinx=xi-+-+⋯+(-1(n+1+⋯,cosx+isinx=1+xi--++--+⋯+(-1(n+1+(-1(n+1=1+xi--++--+⋯+(-1(n+1+(-1(n+1-+⋯,对于C，已知ex=1+x++++⋯++⋯,则ex≥1+x+.x=exln2(x≥0(，则exln2>1+xln2+，即2x≥1+xln2+(x≥0(成立，故C正对于D，cosx=1-+-+-+⋯+(-1(n+1-+⋯,，·5·所以-+-+⋯-++⋯<0，所以cosx<1-+=1-+时，有f(x(=(x-x0(0+(x-x0(+(x-x0(2其中f'(x(是f(x(的导数，f''(x(是f'(x(的导数，f'''(x(是f''(x(的导数⋯⋯.取x0=0【分析】根据泰勒展开式，化简得到f(x(=sinx=x-x3+x5+⋯,求得sinx的“泰勒展开0=0时，可得f(x(=x0+x+x2+x3+⋯则f(x(=sinx=0×x0+1×x+0×x2+(-1)×x3+0×x4+1×x5⋯令x=1，代入上式可得f(1(=sin1=1-++⋯=+⋯≈0.84.·6·试根据此公式估计下面代数式【详解】依题意ln(1+x)=x-+-+⋯+(-1)n-1+⋯,令x=2，则ln(1+2(=2-+-+-+⋯+(-1(n-1⋅+⋯,ln(1+2(+2=2++-+⋯+(-1(n-1⋅+⋯,他研究出数学中著名的Maclaurin级数展开式，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：2+ ·7·时，有f(x(=(x-x0(0+(x-x0(+(x-x0(2 f(x(=sinx,f(x)=cosx,fⅡ(x)=-sinx,f川(x)=-cosx,⋯,x时，有f(x(=(x-x0(0+(x-x0(+(x-x0(2+f川3(x!0((x-x0(3+⋯.其中f(x(是f(x(的导数，fⅡ(x(是f'(x(的导数，f川(x(是fⅡ(x(的导数⋯⋯.取x0=0·8·取x0=0时，可得f(x(=x3+⋯令x=1，代入上式可得f(1(=sin1=1-++⋯=+⋯≈0.84.A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a所以f(x)<f(0)=0，所以f=ln-<0，即ln<，则c<a；设g(x(=ex-x-1,(x>0(，则g(x(=ex-1>0，故g(x(在(0,+∞)上单调递增，则g=e--1>g(0(=0，即e-1>，则b>a，综上c<a<b.A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c·9· 设=ex-1-ln，则g=ex--1-lne-1>ln，即c>a..综上，c>a>b.-A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a【详解】令f(x(=ex-x-1，x<0，则f(x(=ex-1<0在(-∞,0(上恒成立，故f(x(在(-∞,0(上单调递减，故f(x(>f(0(=1-0-1=0，故f(-(=e-(-1>0，·10·故-sin>g(0(=0-0=0，即a>c；令h(x(=sinx-ln(x+1(，0<x<1，则h(x(=cosx-=1-2sin2>1-2×(故h(x(在(0,1(上单调递增，又h(0(=sin0-ln1=0，故h((>h(0(=0，故有a>c>b.cA.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b【分析】构造函数f(x(=ln(x+1(-x(x>0)，由导数分析函数f(x(在(0,+∞(上单调递减，所以得到设f(x(=ln(x+1(-x，则f(x(=<0,f(x(在(0,+∞(上单调递减，所以f(x(<f(0(=0，所以x>ln(x+1(，>ln(1+(=ln=(log56-1(ln5，所以a>b>c，-x(x>0)，由导数分析函数f(x(在(0,+∞(上单调递减，所以得到x>ln(x+1(，利用基本不等式比较大小即可.·11·A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b2>2.72>7，所以c=e0.2=(e2(0.1>70.1=b；令g(x(=ex-x-1，则g(x(=ex-1，所以g(x(≥g(0(=0，故ex≥x+1，当0<-x+1<1，即0<x<1，有->ex，从而有c=e0.2<综上，a>c>b.x≥x+1.A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c性可知b>a，再由F(x(=ex-1+ln(1-x(可求得c<b，即可得出结论.由q(x(=ex-x-1可得q(x(=ex-1，所以q(x(≥q(0(=0，即ex-x-·12·所以ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号)恒成立，故c>a≥x+1两边同时取对数可得ln(x+1(≤x(当且仅当x=0时取等号)恒成故ln(-x+1(≤-x(当且仅当x=0时取等号)即-ln(-x+1(≥x(当且仅当x=0时取等号)，构造函数F(x(=h(x(-g(x(=ex-1+ln(1-x(,x∈(0,0.001(则F(x(=ex-，令m(x(=ex-，则m(x(=ex-<0，即可得F(x(=h(x(-g(x(=ex-1+ln(1-x(在(0,0.001(上单调递减，=h(x(-g(x(<F(0(=0，综上b>c>a，x-e2lnx>0；1+1+(⋯(1+(2)根据lnx≤x-1和ex-2≥x-1得ex-2>lnx，即可求证(i)，根据ln(1+x(<x.·13·fl(x(=a-=.fl(x(<0,f(x(单调递减，fl(x(>0,f(x(单调递增，f(x(=ax-lnx-1≥0，即f(x(=x-lnx-1≥0，所以lnx≤x-1①,由f(ex-2(≥0，可得ex-2≥x-1②,(ii)当x>0时，f(1+x(=x-ln(1+x(>0，即ln(1+x(<x.1+<.所以ln(1++ln(1++⋯+ln(1+<++⋯+==1-<，即ln(1+1+1+<，ex-a.1+x2>2.<x1<1<x2，构造函数u(x(=xex·14·构造g(x(=x+1-lnx，则g(x(=1-=，>0，所以g(x(≥g(1(=2>0，f(x(>0，<x1<1<x2，故u(x(在[1,+∞(单调递增，则由f(x(=(1-x-a=(x-lnx(ex-lnx-a=u(x-lnx(，则由f(x1(=f(x2(可知u(x1-lnx1(=u(x2-lnx2(，即x1-lnx1=x2-lnx2，+x2>2.xln(x+1(+e-x-cosx≥0.【答案】(1)x-y-1=0·15·求gI(x(，运用lnx+放缩可得gI(x(≥ex-e-x+sinx，设h(x(=ex-e-x+sinx，求导可得hI所以在点(1,0(处的切线方程为y=x-1，即x-y-1=0；<0，H(x(单调递减，>0，H(x(单调递增，∴H(x(≥H(1(=ln1+1=1，所以gI(x(≥ex-e-x+sinx(x≥0)，设h(x(=ex-e-x+sinx(x≥0)，则h(0(=0，所以exln(x+1(+e-x-cosx≥0.·16·证明：ln+⋯+lnn2-1(n∈N*,n≥2(.,最后用累加求和即可证明.fI(x(<0，f(x(单调递减；fI(x(>0，f(x(单调递增；所以f(x(min=f(1(=0.(2)令g(x(=y=fI(x(+ex=lnx+ex，则gI(x(=+e,x>0，则切线方程为y-(lnt+et(=(x-t(，即y=x+lnt-1，则a+b=+e+lnt-1，令h(t(=+e+lnt-1,t>0，·17·又==-，所以->-，2-1nn+1，所以ln2>1-12-1nn+1，累加后可得ln2+ln3+⋯+lnn>1-13+⋯+lnn2-1n>-.*，1+++⋯+>ln(n+1).≤0和a>0两种情况，根据导函数的正负确定函数单调区间；(2)确定x>ln(1+x)，得到1>ln当a>0时，由f(x)=0得x=a-1，当-1<x<a-1时，f(x)<0，当x>a-1时，f(x)>0，当x>0时，f(x)>f(0)=0，即x>ln(1+x)，故1>ln2，>ln=ln3-ln2，>ln=ln4-ln3，>ln=ln5-ln4，⋯,>ln=ln(n+1)-lnn，·18·故1+++⋯+>ln2+ln3-ln2+ln4-ln3+⋯+ln(n+1)-lnn=ln(n+1).f(x)>2lnx+4.xfI(x)<0；(2)①令h(x)=lnx-x+1，则hI(x)=-1=，II所以h(x)≤h(x)max=h(1)=0，即lnx≤x-1.②由①知2lnx+4≤2x+2，故要证f(x)>2lnx+4，令F(x)=2sin2x-2x+π-2，·19·(1)f(x(>0恒成立⇔f(x(min>0；f(x(<0恒成立⇔f(x(max<0.(2)f(x(>a恒成立⇔f(x(min>a；f(x(<a恒成立⇔f(x(max<a.(3)f(x(>g(x(恒成立⇔[f(x(-g(x([min>0；f(x(<g(x(恒成立⇔[f(x(-g(x([max<0；∈N，f(x1(>g(x2(⇔f(x1(min>g(x2(max.=1,xn+1=f(xn(．证明：n<xn+1；e-ln2-1n<xn+1转化为e-b>，再由lnx≤x-1与ex≥x+1证明即可；+1-xn，求导即可得到h(x(>h(1(=2-b由a=-log2e,b=0得f(x(=-2log2e⋅e-lnx-1=-2log2ex-lnx-1·20·>0，所以函数f(x(在x=1处取得极小值，即极小值为f(1(=-2log21-1=-log2e-1.函数f(x(在x=2处取得极大值，即极大值为f(2(=-2log22-ln2-1=-log2e-ln2-1，e-ln2-1；n<xn+1=f(xn(，即f(xn(-xn>0即证f(x(-x=2-b-lnx-1-x>0，即证2-b>lnx+1+x，因为lnx+1+x≤x-1+x+1=2x(利用lnx≤x-1，后面证明)，即证-b+1>，即证1>b，>b成立，所以xn<xn+1；证明：lnx≤x-1，设g(x(=lnx-x+1，则g(x(=-1=，所以g(x(≤g(1(=0，即lnx≤x-1；x≥x+1，设g(x(=ex-x-1，则g(x(=ex-1，所以g(x(≥g(0(=0，即ex≥x+1；1=1,xn<xn+1，故xn>1设h(xn(=xn+1-xn=f(xn(-xn=2-b-lnxn-1-xn，xn>1则h(x(=2-b-lnx-1-x,x>1，所以h(x(=2e-b--1，令q(x(=2e-b--1，则q(x(=e-b+>0，所以h(x(在(1,+∞(上单调递增，所以h(x(>h(1(=2e-b-2>2e0-2=0，所以h(x(在(1,+∞(上单调递增·21·所以h(x(>h(1(=2-b-2因为xn-xn+2=(xn-xn+1(+(xn+1-xn+2(=-[h(xn(+h(xn+1([，又h(xn(+h(xn+1(>h(xn-1(+h(xn(>⋯>h(x2(+h(x1(>2h(x1(>2h(1(=2(2-b-2(，所以xn-xn+2=-[h(xn(+h(xn+1([<-2(2-b-2(=-4-b-1(，例2.(+lnx,g(x)=ex-x-1.min=0 ≤,由此构造函数h(x)=x-lnx，利用导数可推出x-lnx<1，故需证明ea--1≥0，x-x-1，则g(x)=ex-1，令g(x)=ex-1>0，则x>0；令g(则g(x)min=g(0)=0；故等号取不到，+>+lnx<x-lnx，要证明f(x)<，只需证x-lnx≤,令h(x)=x-lnx，则h(x)=1-=，·22·故h(x)<h(1)=1，即x-lnx<1；故只需证明1≤,即证ea--1≥0，令m(a)=ea--1,(a>2)，m(a)=ea-a,(a>2)，x-x-1≥0，故m(a)=ea-a>1>0，(a>2)，即m(a)=ea--1在(2,+∞)上单调递增，则m(a)>m(2)=e2-3>0，例3.(2024·福建福州·模拟预测)已知函数f(x(=xlnx-x2-1.(1)讨论f(x(的单调性；求证：f(x(<e-x+(3)若p>0,q>0且pq>1，求证：f(p(+f(q(<-4.(1)f(x(在区间(0,+∞(上单调递减(1)求f(x(，令t(x(=f(x(，求t(x(，讨论t(x(的大小可证得t(x)max=t<0，即f(x(<法一：要证f(x(<e-x+-1，即证e-x++x>0，记h(x(=e-x+讨论h(x(的单调性和最值即可证明；法二：通过构造函数结合已知条件放缩要证f(x(<e-x+--1即证-+1≥0即可.(3)法一：由(1)可知f(x(为减函数，所以f(q(<f，要证f(p(+f(q(<-4即证f(p(+f<≤-x-1，即f(p(≤-p-1,f(q(≤-q-1，则f(p(+f(q(<-p-q-2，再结合基本不等式即可证明.(1)f(x(的定义域为(0,+∞(，f(x(=lnx-2x+1，记t(x(=f(x(,t(x(=-2=，·23·<0,t(x(单调递减，所以t(x)max=t=-ln2<0，即f(x(<0，所以f(x(在区间(0,+∞(上单调递减.(2)法一：先证f(x(≤-x-1，记g(x(=f(x(+x+1，则g(x(=xlnx-x2+x=x(lnx-x+1(，<0,m(x(递减.所以m(x)max=m(1(=0，所以m(x(≤0，又x>0，所以g(x(≤0，故f(x(≤-x-1.再证e-x+--1>-x-1，即证e-x+-+x>0，记h(x(=e-x+-+x，则h(x(=e-x+x-1+-1(2≥e-x+x-1，记p(x(=e-x+x-1，则p(x(=1-e-x>0，所以p(x(在x∈(0,+∞(递增，所以p(x(>p(0(=0，所以h(x(>0，即e-x+--1>-x-1，所以f(x(<e-x+法二：构造函数h(x(=ex-x-1(x>0),h(x(=ex-1，构造函数φ(x(=lnx-x+1,φ(x(=-1，max=φ(1(=0，即φ(x(≤0，即lnx≤所以f(x(=xlnx-x2-1≤x(x-1(-x2-1=-x-1，所以e-x+-1>-x+1+则只需证明--x≥-x-1，即-+1≥0，而-1(2≥0显然成立，所以f(x(<e-x+--1.所以f(p(+f(q(<f(p(+f，因为f(p(+f=plnp-p2-1+ln2-1·24·=p-lnp-(p-2-4=(p-lnp-p+-4，记s(p(=lnp-p+，则s(p(=m(p(+-1≤-1<0，因为p>1，所以p>，所以f(p(+f<-4，所以f(p(+f(q(<-4.法二：先证f(x(≤-x-1，记g(x(=f(x(+x+1，则g(x(=xlnx-x2+x=x(lnx-x+1(，<0,m(x(递减.所以m(x)max=m(1(=0，所以m(x(≤0，又x>0，所以g(x(≤0，故f(x(≤-x-1.所以f(p(≤-p-1,f(q(≤-q-1，因为p>0,q>0且pq>1，所以f(p(+f(q(<-p-q-2，所以p+q≥2、pq>2×1=2，所以-p-q<-2，则f(p(+f(q(<-2-2=-4.(1)直接构造函数法：证明不等式f(x(>g(x((或f(x(<g(x()转化为证明f(x(-g(x(>0(或f(x(-g(x(<0)，进而构造辅助函数h(x(=f(x(-g(x(；(1)求得f(x(=aex-x-1，转化为f(x)≥0在R上恒成立，进而转化为a≥在R上恒成立，令当a=1时，得到f(x(=ex-x2-x且f=1，当x>0时，只需使得f(x)>1，利用导数求得f(x)单调递增，得到f(x)>f(0)；当x=0时，显然满足f(x)>1；当-2<x<0时，由sinx<0和f(x)>0，·25·由函数f(x(=aex-x2-x，可得f(x(=aex-x-1，因为f(x)在R上单调递增，可得f(x)≥0在R上恒成立，x-x-1≥0在R上恒成立，即a≥在R上恒成立，令h(x(=可得h(x(=当a=1时，f(x(=ex-x2-x，可得f可得f(x(=ex-x-1，要使得f(x)>sinx，只需使得f(x)>1，当x>0时，令g(x(=f(x(=ex-x-1，可得g(x(=ex-1≥0，所以f(x)>f(0)=1；当-2<x<0时，可得sinx<0，因为ex>0且-x2-x=-(x+1(2+(-2+1(2+所以f(x)>0，所以f(x)>sinx，2.(2024·内蒙古包头·一模)设函数f(x(=ex+2asinxx≥x+1；②当x≥0时，x≥sinx，当x≤0时，x≤sinx；③当a=时，函数y=f(x(存在唯一的零点.·26·【分析】(1)求导得f(x(=ex+2acosx-4ax-(1+2a(，令g(x(=f(x(，继续求导发现y=g(x(即y=f(x(在R上单调递增，结合f(0(=0即可得f(x(的单调性，从而f(x(≥③当a=时，f(x(=ex+sinx-x2-x，f(x(=ex+cosx-x-，设t(x(=f(x(，则t(x(=x-sinx-1，由①、②得t(x(=f(x(在[0,+∞(单调递增，然后分类讨论得f(x(在(-∞,0[单调递【详解】(1)因为f(x(=ex+2asinx-2ax2-(1