九年级（上）期末数学试卷 (九)

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）已知a是锐角，cosa=近，则a等于（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（3分）如果一个一元二次方程的根是Xi=X2=l,那么这个方程是（）

A.x2=lB.x2+l=0C.（x-1）2=0D.（x+1）2=0

3.（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.

下面有三个推断：

①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以

“钉尖向上”的概率是0.616；

②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显

示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”

的频率一定是0.620.

其中合理的是（）

A.①B.②C.①②D.①③

4.（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左

视图、俯视图都相同的是（)

C.图形的轴对称D.图形的相似

2

6.（3分）在反比例函数y=K±L（k为常数）的图象上有三点A（x,,山），

X

B（X2,y2）,C（x3,y.3）,若xVOVx2VX3,则y”y2,y；,的大小关系为

)

A.yi<y2<y,3B.y2<yi<y3C.yi<y3<y2D.y3<y2<yi

7.（3分）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:

a.两组对边分别相等

b.一组对边平行且相等

c.一组邻边相等

d.一个角是直角

顺次添加的条件：①afcfd②bfd—c③afbc

则正确的是（）

乙、添加条件》匚I

四边形正方形

A.仅①B.仅③C.①②D.②③

8.(3分)抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2

个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面

直角坐标系中的函数表达式为()

A.y=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3

C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)2-1

9.(3分)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B

分别在x轴、y轴的正半轴上，ZABC=90°,CA，x轴，点C在函数y

=K(x>0)的图象上，若AB=1,则k的值为()

X

A.1B.1C.V2D.2

2

10.（3分）如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线y=ax?+bx+c经过点

（-1,-4）,则下列结论：①£>4ac；②ax?+bx+cN-6；③9a-3b+c

=-6；④关于>n,其中正确结论的个数共有(）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）如图，已知在RtZ^ABC中，NACB=90°，AC=1,AB=2,则

tanB的值是

12.（3分）在AABC中，AB=9,AC=6.点M在边AB上，且AM=3,点N

在AC边上.当AN=时，4AMN与原三角形相似.

13.（3分）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m,拱顶距

水面4m,在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为.

14.(3分)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点。

重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=K的图象与大正方形的一

X

边交于点A(2,4),且经过小正方形的顶点B.则图中阴影部分的面

积为.

15.(3分)在矩形ABCD中，M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的

点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD,下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16.(14分)计算或解方程：

(1)V2(2cos45°-sin60°)+2/24_；

4

(2)sin60°*cos60°-tan30°*tan60°+sin245°+cos245°；

2

(3)(2x-5)2=9(x+4)；

(4)2x2-5x-1=0(用配方法解，并写上必要的文字说明).

17.(8分)近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛

的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为

“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书

写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A,B,C,D）.为了解

同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生

中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问

卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）.

“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后

“[]”内打“J”，非常感谢您的合作.

A.“诵读中国”经典诵读[]

B.“诗教中国”诗词讲解[]

C.“笔墨中国”汉字书写[]

D.“印记中国”印章篆刻[]

占调查人数

类别的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

请根据图表提供的信息，解答下列问题:

（1）参与本次问卷调查的总人数为人,统计表中C的百分比

m为；

（2）请补全统计图;

(3)小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总

人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的

度数；若不可行，请说明理由.

(4)学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”

“夏”“秋”“冬”四组题目(依次记为C,X,Q,D),由电脑随机给每

位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画

树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.

18.(7分)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF

J_AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.

(1)求证：△ABMS/\EFA；

(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.

19.(9分)王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利

用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的

仰角为45°,再从C点出发沿斜坡走2J记米到达斜坡上D点，在点D

处测得树顶端A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比为i=l：3(点E、C、

B在同一水平线上).

(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；

(2)求大树AB的高度(结果保留根号).

20.(9分)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件

售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销

售量y(件)与每件售价x(元)之间符合一次函数关系，如图所示.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售

价应定为多少元？

(3)设商场销售这种商品每天获利w(元)，当每件商品的售价定为多

少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

,W件

70--x

50--------:

02535*阮

21.(8分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E是AD的中

点，点F,G在AB上，EF±AB,0G〃EF.

(1)求证：四边形0EFG是矩形；

(2)若AD=10,EF=4,求0E和BG的长.

D

22.(10分)如图，已知一次函数y=Lx+b与反比例函数y="的图象交

X

于第一象限内的点A(1,6)和B(6,m),与x轴交于点C.

(1)分别求出这两个函数的表达式；

(2)①观察图象，直接写出不等式kix+be”的解集；②请连接0A、

X

0B,并计算AAOB的面积；

(3)是否存在坐标平面内的点P,使得由点0,A,C,P组成的四边形

是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理

23.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=Lx?+bx+c经过

2

点A(0,2)和B(1,3).

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；

(3)点D在抛物线上，且横坐标为4,记抛物线在点A,D之间的部分

(含点A,D)为图象G,若图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线

BC只有一个公共点，求t的取值范围.

-河南省平顶山市叶县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）已知a是锐角，cosa=逅，则a等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可.

【解答】解：•・・cos30°=近，

故选：A.

【点评】解答此题要熟记以下三角函数值：

sin30°=A,sin45°=退_,sin60°=亚_；

cos30°cos45°=亚，cos60°=A；

tan30°=tan45°=1,tan60°=5/3；

cot30°=北，cot45°=1,cot60°=2/2..

2.（3分）如果一个一元二次方程的根是xi=x2=l,那么这个方程是（）

A.x2=lB.x2+l=0C.（x-1）2=0D.（x+1）2=0

【分析】分别求出每个方程的根即可得出答案.

【解答】解：A.x?=l的根为xi=l,X2=-1；

B.x2+l=0无实数根；

C.（x-1）2=0的根为xi=X2=l；

D.x+1）2=0的根为xi=X2=-1；

故选：c.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方

程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结

合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

3.（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.

下面有三个推断：

①当投掷次数是500时-，计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以

“钉尖向上”的概率是0.616；

②随着实验次数的增加，''钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显

示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”

的频率一定是0.620.

其中合理的是（）

A.①B.②C.①②D.①③

【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答

本题.

【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是

308,所以此时“钉尖向上”的频率是：3084-500=0.616,但“钉尖向

上”的概率不一定是0.616,故①错误，

随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示

出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618.故②正确，

若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频

率可能是0.620,但不一定是0.620,故③错误，

故选：B.

【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定

义，利用数形结合的思想解答.

4.（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左

视图、俯视图都相同的是（）

C.foD.由

【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看

得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案.

【解答】解：A.主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，

上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；

B主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方

形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本

选项不合题意；

C.主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两

个小正方形，故本选项不合题意.

D.主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图

为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左

边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关

键.

A.图形的平移B.图形的旋转

C.图形的轴对称D.图形的相似

【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可.

【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金

字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图

形的相似，

故选：D.

【点评】考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是

了解物高与影长成正比，难度不大.

2

6.（3分）在反比例函数y=K_2.（k为常数）的图象上有三点A（X],y,）,

X

B（X2,y2）»C（x3,YD,若XIVOVX2VX3,则y”y2,丫3的大小关系为

（）

A.y,<y2<y3B.Vz<N\<V3C.yi<y3<y2D.y3<y2<yi

【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象

限，然后利用X1<0<X2<X3得到yiVO,0<y3<y2.

【解答】解：Vk2+l>0,

反比例函数图象在第一、三象限，

Vx1<0<x2<x3,

.,.yiVO,0<y3<y2,

.\yi<y3Vy2.

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例

函数的性质是解题的关键.

7.（3分）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：

a.两组对边分别相等

b.一组对边平行且相等

c.一组邻边相等

d.一个角是直角

顺次添加的条件：①afcfd②b—dfc③afbfc

则正确的是（）

乙、添加条件》匚।

四边形正方形

A.仅①B.仅③C.①②D.②③

【分析】①由条件a可得到四边形是平行四边形，添加c得到平行四边

形是菱形，再添加d得到菱形是正方形，①正确；

②由条件b得到四边形是平行四边形，添加d平行四边形是矩形，再添

加c矩形是正方形，②正确；

③由a和b都可得到四边形是平行四边形，再添加c得到平行四边形是

菱形，不能得到四边形是正方形，③不正确.

【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添

加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的

菱形是正方形，故①正确；

②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一

个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正

方形，故②正确；

③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组

对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相

等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；

故选：C.

【点评】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是

解决问题的关键.

8.(3分)抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2

个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面

直角坐标系中的函数表达式为()

A.y=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3

C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)2-1

【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右

移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的

平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案.

【解答】解：根据题意知，将抛物线y=3(x-2)2+1向下平移2个单

位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为:y=3(x-5)

2-1.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律

是解题关键.

9.(3分)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B

分别在x轴、y轴的正半轴上，ZABC=90°,CA，x轴，点C在函数y

=K(x>0)的图象上，若AB=1,则k的值为()

X

A.1B.亚C.V2D.2

2

【分析】根据题意可以求得0A和AC的长，从而可以求得点C的坐标,

进而求得k的值，本题得以解决.

【解答】解：•••等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的

正半轴上，ZABC=90°,CA_l_x轴，AB=1,

...NBAC=NBA0=45°,

OA=OB=AC=V2，

2_

.,.点C的坐标为（亚，衣），

2

\•点C在函数y=K（x>0）的图象上，

X

故选：A.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形,

解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

10.（3分）如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线y=ax?+bx+c经过点

（-1,-4）,则下列结论：（Db2>4ac；②ax,bx+c2-6；③9a-3b+c

=-6；④关于>n,其中正确结论的个数共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用抛物线与X轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的

顶点坐标可对②③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y=

ax'+bx+c上的点（T,-4）的对称点为（-5,-4）,则可对④进行

判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-3,则根据二次函

数的性质可对⑤进行判断.

【解答】解：•.•抛物线与x轴有2个交点，

A=b?-4ac>0,

即b?>4ac,所以①正确；

•••抛物线的顶点坐标为（-3,-6）,开口向上，

.•.当x=-3时-，函数有最小值，

ax,bx+c1-6,所以②正确；

•••抛物线的顶点坐标为（-3,-6）,

/.9a-3b+c=-6,所以③正确；

•••抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1,-4）,且抛物线的对称轴为直线x

=_3,

.,.点（-1,-4）关于直线x=-3的对称点（-5,-4）在抛物线上，

二•关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1,所以④正

确；

\•抛物线开口向上，对称轴为直线），（-5,n）在抛物线上，

,Z-3-(-5)>-2-(-3),

所以⑤错误.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=

ax2+bx+c（aWO）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a

>0时一，抛物线向上开口；当aVO时-，抛物线向下开口；一次项系数b

和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,

对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abVO）,对称轴在y轴右；常

数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0,c）；抛物

线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2

个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；A=b2-4ac

<0时一,抛物线与x轴没有交点.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）如图，已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=2,则

tanB的值是逅.

一3一

【分析】首先利用勾股定理计算出BC,再根据正切定义进行计算.

【解答】解：•••NC=90°,AC=1,AB=2,

BC=62_]2-y/2,

tanB=至,

BCV33

故答案为：近.

3

【点评】此题主要考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，关键是掌

握正切：角A的对边a与邻边b的比叫做NA的正切，记作tanA.

12.（3分）在AABC中，AB=9,AC=6.点M在边AB上，且AM=3,点N

在AC边上.当AN=2或4.5时,4AMN与原三角形相似.

【分析】分别从△AMNs/^ABC或△AMNs^ACB去分析，根据相似三角

形的对应边成比例，即可求得答案.

【解答】解:由题意可知，AB=9,AC=6,AM=3,

①若△AMNsaABC,

则迎=幽，

ABAC

即3=细，

96

解得：AN=2；

②若△AMNs/SACB,

则迎=迎，

ACAB

即3=现

69

解得：AN=4.5；

故AN=2或4.5.

故答案为：2或4.5.

【点评】此题考查了相似三角形的性质.此题难度适中，注意掌握分类

讨论思想的应用是解此题的关键.

13.(3分)有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m,拱顶距

水面4m,在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为y=-0.04

(x-10)2+4.

【分析】设所求抛物线的解析式为：y=a(x-h)2+k,由已知条件易

知h和k的值，再把点C的坐标代入求出a的值即可.

【解答】解：(1)设所求抛物线的解析式为：y=a(,

贝IJC(10,4),A(0,0),B(20,0)

把A,B,C的坐标分别代入得a=-0.04,h=10,k=4

抛物线的解析式为y=-0.04(x-10)2+4.

故答案为:y=-0.04(x-10)2+4.

【点评】本题考查了二次函数的应用，同时也考查了利用图象上的点解

决实际问题，正确理解题意是解决问题的关键.

14.(3分)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点0

重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=K的图象与大正方形的一

X

边交于点A(2,4),且经过小正方形的顶点B.则图中阴影部分的面

积为32.

【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，根据反

比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2=24,再求出大

正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4X42=64,根

据图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可求出

结果.

【解答】解：•••反比例函数y=K(k#0)的图象经过点A(2,4),

X

Ak=2X4=8,

.•.反比例函数的解析式为y=?，

二•小正方形的中心与平面直角坐标系的原点。重合，边分别与坐标轴平

行，

.••设B点的坐标为(m,m),

•二反比例函数y=©的图象经过B点，

X

m

二.小正方形的面积为4m2=32,

•.•大正方形的中心与平面直角坐标系的原点0重合，边分别与坐标轴平

行，且A(2,4),

大正方形在第一象限的顶点坐标为(4,4),

，大正方形的面积为4X42=64,

图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=64-32

=32.

故答案为:32.

【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函

数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几

何意义是解决问题的关键.

15.（3分）在矩形ABCD中，M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的

点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD,下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是①②③.

【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四

边形的判定定理即可得到结论.

【解答】解：①如图，•••四边形ABCD是矩形，连接AC,BD交于0,

过点0直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,

则四边形MNPQ是平行四边形，

故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；

②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ

是矩形；故正确；

③如图，当PMJ_QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；

④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ,

则△AMQZZXDQP,

.\AM=QD,AQ=PD,

VPD=BM,

AAB=AD,

...四边形ABCD是正方形，

当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定,

平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.(14分)计算或解方程：

(1)V2(2cos45°-sin60°)+2/24_；

4

(2)sin60°*cos60°-tan30°•tan60°+sin245°+cos245°；

(3)(2x-5)2=9(x+4)2；

(4)2x2-5x-1=0(用配方法解，并写上必要的文字说明).

【分析】(1)把特殊角的三角函数值代入进行计算即可；

(2)根据sin2a+cos2a=1,再把特殊角的三角函数值代入进行计算

即可解答；

(3)利用直接开平方法进行计算即可解答；

(4)利用配方法进行计算即可解答.

【解答】解：(1)&(2cos45°-sin60°)+返

4

=&X(2X近-返)+近

222

=2-娓+娓

~2T

=2；

(2)sin60°*cos60°-tan30°*tan60°+sin'45°+cos245°

=Vlx1-近XJ3+I

223

=2/A-1+1

4

=叵

4，

(3)(2x-5)2=9(x+4)2,

2x-5=±3(x+4),

2x-5=3x+12或2x-5=-3x-12,

♦♦Xi=-17,X2="—,

5

（4）2x2-5x-1=0,

x2-Ax-1=0（二次项系数化为1）,

22

x2-2R.x=A1,

22

X2-lx+（1）2=工+（1）2（同时加上一次项系数一半的平方），

2424

（x-5）三型，

416

x-5=±

44_

Xi=x2=

44

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，实数的运算，解一元二次方

程-配方法，公式法，因式分解法，特殊角的三角函数值，熟练掌握特

殊角的三角函数值，以及解一元二次方程的方法是解题的关键.

17.（8分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛

的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为

“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书

写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A,B,C,D）.为了解

同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生

中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问

卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）.

“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后

“[]”内打“J”，非常感谢您的合作.

A.“诵读中国”经典诵读[]

B.“诗教中国”诗词讲解[]

C.“笔墨中国”汉字书写[]

D.“印记中国”印章篆刻[]

人机

占调查人数

类别的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

请根据图表提供的信息，解答下列问题:

(1)参与本次问卷调查的总人数为120人,统计表中C的百分比

m为50%；

(2)请补全统计图；

(3)小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总

人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的

度数；若不可行，请说明理由.

(4)学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”

“夏”“秋”“冬”四组题目(依次记为C,X,Q,D),由电脑随机给每

位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画

树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.

【分析】(1)由D类的人数除以所占百分比得出参与本次问卷调查的总

人数，即可解决问题；

(2)求出B类的人数，补全统计图即可；

(3)由表中数据即可得出结论；

(4)画树状图，共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目

在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：(1)参与本次问卷调查的总人数为：24・20%=120(人)，

则m=60+120XI00%=50%,

故答案为：120,50%；

(2)B类的人数为：120X30%=36(人)，

补全统计图如下：

由统计表可知，70%+30%+50%+20%>1,

即有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比之和大于1,

所以不可行；

(4)画树状图如图：

开始

甲

共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果

有4种，

甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率为二=工

164

【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法适合两步或两步以

上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的

知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.也考查了条形统计图和

统计表.

18.(7分)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF

±AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.

(1)求证：△ABMs/iEFA；

(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.

【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,ZB=90°,AD//BC,得出

ZAMB=ZEAF,再由NB=NAFE,即可得出结论；

(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABMs^EFA得出比例式，求

出AE,即可得出DE的长.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形,

.•.AB=AD,ZB=90°,AD//BC,

ZAMB=ZEAF,

又•.•EFJ_AM,

AZAFE=90°,

.*.ZB=ZAFE,

，AABM^AEFA；

(2)解：•.•NB=90°,AB=12,BM=5,

AM=+52=13,AD—12,

•「F是AM的中点，

，AF=1AM=6.5,

2

VAABM^AEFA,

•BMAM

,•而记，

.\AE=16.9,

.•.DE=AE-AD=4.9.

【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定

理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

19.（9分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利

用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的

仰角为45°,再从C点出发沿斜坡走2疝米到达斜坡上D点，在点D

处测得树顶端A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比为i=l：3（点E、C、

B在同一水平线上）.

（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；

（2）求大树AB的高度（结果保留根号）.

【分析】（1）作DHJ_CE于H,解RtZ\CDH,即可求出DH；

（2）过点D作DGLAB于点G,设BC=a米，用a表示出AG、DG,根据

tanNADG=^_列出方程，解方程得到答案.

DG

【解答】解：（1）过点D作DH_LCE于点H,

由题意知CD=2V73米，

•.•斜坡CF的坡比为i=l：3,

•••DH=—1,

CH3

设DH=x米，CH=3x米，

VDH2+CH2=DC2,

•7+（3*）2=（2近5）2，

x=2,

.,.DH=2（米），CH=6（米），

答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；

（2）过点D作DGLAB于点G,设BC=a米，

VZDHB=ZDGB=ZABC=90°,

四边形DHBG为矩形，

.\DH=BG=2米，DG=BH=（a+6）米，

VZACB=45°,

.♦.BC=AB=a（米），

/.AG=（a-2）米，

VZADG=30°,

•AG加

••7^r=tan30

UyJo

a-2,

a+63

.•.a=6+4«,

/.AB=（6+4V3）（米）.

答：大树AB的高度是（6+4V3）米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角

三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键.

20.（9分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件

售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销

售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售

价应定为多少元？

（3）设商场销售这种商品每天获利亚（元），当每件商品的售价定为多

少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

”/件

70N

50--------

°2535*元

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）根据“每件利润X销售量=总利润”列出一元二次方程，解之可

得；

（3）根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函

数性质求解可得.

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k#0）,

由所给函数图象可知：（25k+b=70,

I35k+b=50

解得『=-2,

lb=120

故y与x的函数关系式为y=-2x+120；

(2)根据题意，得：(x-20)(-2x+120)=600,

整理，得:X2-80x+1500=0,

解得：x=30或x=50(不合题意，舍去),

答：每件商品的销售价应定为30元；

(3)Vy=-2x+120,

.\w=(x-20)y=(x-20)(-2x+120)

=-2X2+160X-2400

=-2(x-40)2+8OO,

•.•xW38

.•.当x=38时，w最大=792,

...售价定为38元/件时，每天最大利润w=792元.

【点评】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关

键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列

出函数解析式.

21.(8分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E是AD的中

点，点F,G在AB上，EF±AB,0G//EF.

(1)求证：四边形0EFG是矩形；

(2)若AD=10,EF=4,求0E和BG的长.

B

【分析】（1）根据菱形的性质得出OB=OD,再由点E是AD的中点，所

以,AE=DE,进而判断出0E是三角形ABD的中位线，得到AE=OE=2AD,

2

推出OE〃FG,求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即

可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到BDJ_AC,AB=AD=10,得至）OE=AE=1AD=

2

5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5,根据勾股定理

得到AF=4P宗=3,于是得到结论•

【解答】解：（1）•••四边形ABCD是菱形，

.\OB=OD,

•••E是AD的中点，

.•.0E是AABD的中位线，

.,.OE//FG,

V0G//EF,

...四边形OEFG是平行四边形，

VEF1AB,

.\ZEFG=90o,

平行四边形OEFG是矩形；

（2）•・•四边形ABCD是菱形,

.\BD±AC,AB=AD=1O,

.,.ZA0D=90°,

•.•E是AD的中点,

.•.0E=AE=』AD=5；

2

由(1)知，四边形OEFG是矩形，

.,.FG=0E=5,

VAE=5,EF=4,

AF:VAE2-EF23,

/.BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角

三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

22.(10分)如图，已知一次函数y=Lx+b与反比例函数y="的图象交

X

于第一象限内的点A(1,6)和B(6,m),与x轴交于点C.

(1)分别求出这两个函数的表达式；

(2)①观察图象，直接写出不等式Lx+b2”的解集；②请连接0A、

X

0B,并计算AAOB的面积；

(3)是否存在坐标平面内的点P,使得由点0,A,C,P组成的四边形

是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

【分析】(1)直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析

式;

(2)①利用函数图象结合其交点得出不等式kix+b2”的解集;

X

②利用三角形面积的和差求解，即可得出结论;

(3)利用平行四边形的性质结合当AP〃OC且AP=OC时，当AP'//0C

且AP'=0C时,当AO〃P〃C,且AO=P"C时，分别得出答案.

【解答】解：(1)•.•点A(1,6)在反比例函数y="的图象上,

X

.•.6="，

1

解得：k2=6,

...反比例函数的表达式是：y=j；

VB(6,m)在反比例函数y=旦的图象上,

X

...m=2=1

6

AB(6,1),

将点A(1,6),B(6,1)代入y=Lx+b,可得:

6=k|+b

l=6k1+b

匕=-

解得：1

b=7

，一次函数表达式是:y=-x+