核心考点05 等腰三角形-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

核心考点05等腰三角形

目录

一.等腰三角形的性质（共16小题）

二.等腰三角形的判定（共2小题）

三.等腰三角形的判定与性质（共12小题）

四.等边三角形的性质（共9小题）

五.等边三角形的判定（共2小题）

六.等边三角形的判定与性质（共3小题）

U考点考向

1.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

（2）等腰三角形性质2：

文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）

图形：如下所示：

'若N1=N2,则8。=CD,AD1BC;

符号：在AABC中，AB=AC,＜若==

若AO1BC,则Z1=Z2,BD=CD.

2.等腰三角形的判定

（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；

（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；（简称：等角对等边）

3.等边三角形的性质

（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；

（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60°；

（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

4.等边三角形的判定

（1）等边三角形的判定方法L（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；

（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形：

（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

u考点精讲

一.等腰三角形的性质（共16小题）

1.（2022春•杨浦区校级期末）性质"等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）

A.等腰三角形底角的平分线

B.等腰三角形腰上的高

C.等腰三角形腰上的中线

D.等腰三角形顶角的平分线

【分析】根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，逐个选

项进行分析即可得出结果.

【解答】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，

只有选项。符合条件，

故选：D.

【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是正确解答本题的关键，比较

简单.

2.（2022春•嘉定区校级期末）等腰三角形的顶角为a,那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为

（）

A.aB.2aC.D.900-a

2

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可.

【解答】解：如图：

，NC=NABC=/I8O。_a)=9o0-j-a>

VBD1AC.

・・・NA5£>=90°-a,

，NO8C=90°-ya-（90°-a）[a，

故选：c.

【点评】此题考查等腰三角形的性质2,关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答.

3.（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知NA=13°,AB=BC=CD,那么NBCC=128度.

ABD

【分析】由4B=8C可知/BCA=NA=13°,由三角形外角性质得/。8。=/4+/8（7。=26°,再由BC

=C£>可知，△BCO为等腰三角形，由内角和定理求NBCZX

【解答】解：：人⑶二鸟。，

.,.NBC4=/A=13°,

AZCBD=ZA+ZBCD=26a,

又，：BC=CD,

：.ZCBD=ZD=26°,

/.ZBCD=1800-ZCBD-ZD=128".

故答案为：128.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质.关键是根据“等边对等角"，外角性质，内角和定理求解.

4.（2022春•嘉定区校级期末）等腰三角形的周长是50,一边长为10,则其余两边长为20,20.

【分析】要确定等腰三角形的另外两边长，可根据已知的边的长，结合周长公式求解，由于长为10的边已

知没有明确是腰还是底边，要分类进行讨论.

【解答】解：•••等腰三角形的周长为50,

.•.当10为腰时，它的底长=50-10-10=30,10+10V30,不能构成等腰三角形，舍去；

当10为底时，它的腰长=（50-10）+2=20,10+20>20,能构成等腰三角形，

即它的另外两边长分别为20,20.

故答案为：20,20.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；注意养成检验三边长能否组成三角形的好习

惯，把不符合题意的舍去.

5.（2022春•杨浦区校级期末）如图，G是直线HA上的点，若HNHBF,FH=FG,NHFG=46°,则/

HFB=113度.

HGA

FB

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出N”，再根据平行线的性质即可求出

【解答】解：-：FH=FG,ZHFG=46°,

：.ZH=ZFGH^1.（180°-NHFG）=67°,

2

\'HA//BF,

AZ//FB=180°-Z//=113°.

故答案为：113.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理已经平行线的性质.掌握各定理是解题的关键.

6.（2022春•杨浦区校级期中）若△ABC中，AB=AC,且三角形的周长为20,那么底边BC的取值范围是0

<x<10.

【分析】设BC=x,根据等腰三角形以及三角形的周长可知AB=AC=型工，根据等腰三角形各边长为正

2

数且三角形的三边关系，即可求出8C的取值范围.

【解答】解：设BC=x,

\'AB=AC,且三角形的周长为20,

：.AB=AC=?^L,

2

Vx>0,钝N_>0且20-x>x,

2

解得OVxVIO,

故答案为：0〈x<10.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

7.（2022春•静安区期中）等腰三角形的两边长分别为5c,"和9c〃?，则该等腰三角形的周长为19或23

cm.

【分析】等腰三角形两边的长为5c机和9cm具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情

况讨论.

【解答】解：当腰为9c机时，则三角形的三边长分别为9。”、9cm、5cm,满足三角形的三边关系，周长为

23所；

当腰为5cm时，则三角形的三边长分别为5。小5cm、9cm,满足三角形的三边关系，周长为195?；

综上可知，等腰三角形的周长为195?或23cm.

故答案为：19或23.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.应

向学生特别强调.

8.（2022春•杨浦区校级期末）已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25。，则该

等腰三角形的顶角为65°或115°.

【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数.另一种情况

等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数.

【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，

'：BDLAC,NAB£>=25°,

=65°,

即顶角的度数为65°.

AZBAD=65°,

.•.NBAC=115°.

故答案为65°或115°.

【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计

算.

9.（2022春•徐汇区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则顶角的度数可能为50

°或130°.

【分析】等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况,

所以舍去不计，另外两种情况可以根据垂直的性质及外角的性质求出顶角的度数.

【解答】解：①当为锐角三角形时，如图，

高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；

②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，

因为三角形内角和为180°,

由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50。，

所以三角形的顶角为130°.

故答案为50°或130°.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，进行分类讨

论是正确解答本题的关键，难度适中.

10.（2022春•闵行区校级期末）等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的

直线.

【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上

的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边

的中线）所在的直线.

【解答】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所

在的直线.

故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形的知识；对两个性质的熟练掌握是正确解答本题的关

键.

11.（2022春•闵行区校级期末）若等腰三角形的边长分别为3和6,则它的周长为15.

【分析】因为3和6不知道那个是底那个是腰，所以要分不同的情况讨论，当3是腰时，当6是腰时等.

【解答】解：当3是腰时，边长为3,3,6,但3+3=6,故不能构成三角形，这种情况不可以.

当6是腰时，边长为6,6,3,且3+6>6,能构成三角形故周长为6+6+3=15.

故答案为：15.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两边相等，以及三角形的三边关系，两个小边的和必

须大于大边才能组成三角形.

12.（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知在三角形A8C中，AC=AB,过点C作AB的平行线。E,证明:

【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论.

【解答】证明：

\'AB//DE,

:.NB=NBCE,

：.ZACB=ABCE,

平分NACE.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

13.（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB=AC=f>,P是BC上任意一点，PC_L4B于点

D,PE1.AC于点E,若△ABC的面积为27,问：PD+PE的值是9.

【分析】可连接AP,由图得，SABC=SAHP+SACP,代入数值，解答出即可.

【解答】解：连接AP,

由图可得，SAHC—SABP+SACP,

：P£>_LAB于。，PEVACE,A8=AC=6,ZVLBC的面积为6,

二27=工X6XPD+1.X6XPE,

22

=3(PD+PE),

，P£>+PE=9；

故答案为：9.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积

和；体现了转化思想.

14.（2022春•闵行区校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC,B。是△ABC的一条角平分线，若NB£）C=

72°,则NA的度数为36°.

A

BC

【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可推出NA8C=NACB=2ND8C,再根据三角形内角和

定理可求得NOBC的度数，最后根据三角形外角的性质不难求解.

【解答】解：是NA3C的平分线，

,ZABD^4DBC,

"：AB=AC,

二NABC=NACB=2NDBC,

VZDBC+ZACB+ZBDC=\SO0,ZBDC=12°,

/.3ZDBC+720=180°,

AZDBC=36°,

AZBAC=12°-36°=36°,

故答案为：36°.

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用.

15.（2022春•闵行区校级月考）己知△ABC中，AB=AC,A力是BC边上的高，BD=3cm,那么BC=6

cm.

【分析】根据等腰三角形性质即可得到答案.

【解答】解：••,AB=AC,A。是BC边上的高,

.,.BC=2BO=2><3=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查等腰三角形性质：等腰三角形底边上三线合一.

16.（2022春•徐汇区校级期末）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为14c机和21a〃两部分,

这个等腰三角形底边的长为理5或7c.

一3

【分析】根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结

论.

【解答】解：设等腰三角形的腰长是我根，底边是yc/n.根据题意，得：

ZZ

x+y=14x+y=21

<岗，

尹=21y+y=14

解得：］;或产巴

位至1y=7

y3

根据三角形的三边关系，两组值都能组成三角形.

故答案为：丝。"或7c?".

3

【点评】本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确所以首先要分两种情况考

虑.最后一定要注意检查是否符合三角形的三边关系.分类讨论是解题的关键.

二.等腰三角形的判定（共2小题）

17.（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，NACB=90°,NB=36°,点。、E在AB

上，如果8c=2。，NCED=NCDE,那么图中的等腰三角形共有（）个.

C---------------B

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案.

【解答】解：：/ACB=90°,/B=36°,

AZA=54°,

•:BC=BD,

:.NCDB=NDCB=12°,

：.ZECB=36°,NACE=54°,

：.CE=BE,AE=CE,

.,.△BCD,ACD£,△CEB,△ACE都是等腰三角形，

故选：B.

【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型.

18.（2022春•嘉定区校级期末）如图，在△ABC中，点。、E分别在边AB、AC上，且满足8E=CD,Z1

=Z2,试说明△ABC是等腰三角形的理由.

【分析】易证NACO=N4BE,即可证明△ABEgZVIC。，可得4B=AC,从而得结论.

【解答】解：VZ1=Z2,

：.ZACD^ZABE,

在△ABE和△AC。中，

"ZA=ZA

■ZABE=ZACD

BE=CD

.♦.△ABE丝△AC。（A4S）,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题

中求证△BCE之△CBO是解题的关键.

=.等腰三角形的判定与性质（共12小题）

19.（2021春•浦东新区校级期末）如图，NB、NC的平分线相交于凡过点尸作。E〃BC,交AB于。，

交AC于E,那么下列结论正确的是

①△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE：③△AOE的周长为A3+AC；④BD=CE.（）

A

D“E

RC

A.③④B.①②C.①②③D.②③④

【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质.

【解答】解：'：DE//BC,

：.NDFB=NFBC,NEFC=NFCB,

WF是/ABC的平分线，CF是NAC8的平分线，

，NFBC=ZDFB,NFCE=NFCB,

,：NDBF=NDFB,NEFC=NECF,

：.l\DFB,△FEC都是等腰三角形.

.'.DF=DB,FE=EC,KP<DE=DF+FE=DB+EC,

：./XADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错

角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键.

20.（2021春•松江区期末）下列判断错误的是（）

A.等腰三角形是轴对称图形

B.有两条边相等的三角形是等腰三角形

C.等腰三角形的两个底角相等

D.等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合

【分析】根据如果一个图形，沿着一条直线对折，两边的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图

形和等腰三角形的判定与性质分别对每一项进行分析即可.

【解答】解：4、等腰三角形是轴对称图形，正确；

8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；

C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；

。、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；

故选：D.

【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是轴对称图形、等腰三角形的性质与判定，

熟练掌握有关性质与定义是本题的关键.

21.（2021春•闵行区校级月考）如图，已知OC平分NAO8,CD//OB,若。£>=3。“，则CD=3cm.

【分析】根据角平分线的定义可得NAOC=NBOC,再根据两直线平行，内错角相等可得NBOC=NOC。,

然后求出/AOC=N£>C。，再根据等角对等边的性质可得CD=OD.

【解答】解：：OC平分/AO8,

，ZAOC=ZBOC,

'JCD//OB,

,NBOC=ZDCO,

：.乙AOC=ZDCO,

：.CD=OD=3cm.

故答案为:3.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图

是解题的关键.

22.（2021春噌陀区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC,乙4=36°,BO是△A8C的角平分线，则

图中的等腰三角形共有（）

【分析】由BD是△ABC的角平分线，可得N48C=2N4B£>=72°,又可求/ABC=/C=72°,所以△

ABC是等腰三角形；又乙4=180°-2乙4BC=180°-2X72°=36°,故=所以△ABD是等

腰三角形；由N£>BC=NABO=36°,得NC=72°,可求NBOC=72°，故/BOC=/C,所以△8OC是

等腰三角形.

【解答】解：:B力是△ABC的角平分线，

AZABC=2ZABD=12°,

.../A8C=NC=72°,

...△ABC是等腰三角形…①.

ZA=180°-2NABC=180°-2X72°=36°,

：.ZA=ZABD,

.'.△ABD是等腰三角形…②.

,.,/OBC=NABO=36°,2c=72°,

:.NBDC=T1°,

：.ZBDC=ZC,

...△8OC是等腰三角形…③.

故图中的等腰三角形有3个.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用

相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键.

23.（2021春•浦东新区校级期末）如图，已知△ABC,/ACB的平分线CD交A8于。，DE//BC,S.DE

=6cn,如果点E是边4c的中点，那么AC的长为12an.

【分析】根据角平分线的性质得NBCO=NACZ）,由平行线的性质得/BCD=/E£>C,最后根据等腰三角

形的判定与性质可得答案.

【解答】解：的平分线CC交AB于Q,

：.ZBCD^ZACD,

'JDE//BC,

:.NBCD=NEDC,

：.ZACD=AEDC,

••DE=CE—6c/n,

•・•£是AC中点,

・・AC=2C£=12cm.

故答案为：12.

【点评】此题考查的是等腰三角形的判定与性质，掌握其性质是解决此题的关键.

24.（2021春•嘉定区期末）已知BO是△A8C的角平分线，E是边AB上一点，DE//BC,如果。E=5,那

么BE=5.

【分析】利用角平分线的定义，找出相等角，利用平行线的性质，内错角相等，进行等量代换，找到在一

个三角形内相等的两个角，判定为等腰三角形，问题即可解决.

【解答】解：根据题意，画出如下图形：

B匕---------

•；BD是△ABC的角平分线，

：.ZABD^ZCBD,

'：DE//BC,

:.NBDE=NCBD,

：.NABD=NCBD,

为等腰三角形，

：.BE=DE=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是根据平行线性质判定出角相等.

25.（2021春•静安区期末）如图，已知△AOC的面积为4,AO平分NBAC,且AO_L8O于点。，那么△

ABC的面积为8.

【分析】延长B£＞交AC于点E,则可知△ABE为等腰三角形，则SAAB。=SAADE,SABDC=SACDE,可得出S

AABC=2SAADC.

【解答】解：如图，延长80交AC于点E,

・.・AO平分N5AE,ADLBD,

：.ZBAD=ZEADf/ADB=/ADE,

在△AB。和中，

<ZBAD=ZEAD

,AD=AD，

ZBDA=ZEDA

•••△AB。g△ABD(ASA),

:・BD=DE,

：・S〉ABD=S4ADE，S丛BDC=SACDE,

/.S/、ABD+SABDC=SAADE+SKDE=S^ADC,

**•S/^ABC=2SAADC=2X4=8j

故答案为：8.

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BO=DE得至USAABD=SAAPE,SMDC=SA°E是解题的

关键.

26.（2021春•崇明区期末）阅读并填空（在空格内直接填写答案）：

如图，已知△ABC中，8。平分/ABC,DE//CB,说明BE=OE的理由.

解：因为80平分NABC（已知）

所以NEBD=NDBC（角平分线的性质）

因为£>E〃CB（已知）

所以/OBC（两直线平行内错角相等）

所以NEBD=NEDB（等量代换）

所以BE=DE（等角对等边）

A

【分析】首先利用已知条件和角平分线的性质，接着利用已知条件和内错角相等两直线平行，最后利用等

式的性质和等腰三角形的判定.

【解答】解：因为BO平分NABC（已知），

所以NEBD=NDBC（角平分线的性质），

因为。E〃C8（已知），

所以/EOB=NOBC（两直线平行内错角相等），

所以NEBD=NEDB（等量代换），

所以BE=DE（等角对等边）.

故答案为：已知；角平分线的性质；已知；两直线平行内错角相等；等量代换；等角对等边.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，同时也利用了平行线的性质及角平分线的性质，比较简单.

27.（2021春•普陀区校级期中）如图，ZVIBC中，NB,/C的平分线相交于点F,过尸作£）E〃8C,分别

交AB、AC于£＞、E,若AB+AC=10,则ZVIDE的周长等于10.

【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△8OF和是等腰三角形，再由等腰三角形的性

质得BD=DF,CE=EF,则△4OE的周长=A8+AC,从而得出答案.

【解答】解：平分NABC,

:./DBF=/CBF,

'JDE//BC,

：.NCBF=NDFB,

：.ZDBF=ZDFB,

：.BD=DF,

同理FE=EC,

：./\ADE^J^^z=AD+AE+ED=AD+DF+AE+EF=(AD+BD)+(AE+CE)=AB+AC=10,

故答案为：10.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质.正确地进行线段的等量代换是解

决问题的关键.

28.(2021春•普陀区校级期中)如图，△ABC中，DE//AC,EF//AB,NBED=NCEF,

(1)试说明△ABC是等腰三角形，

(2)探索A8+AC与四边形AOEF的周长关系.

【分析】(1)由平行线的性质可得/E4D=NF,NBAF=NE,进而再通过角之间的转化得出结论；

(2)由平行线的性质可得尸，NBAF=NE,由于得到/C=NCEF=/BE。

=NB,于是得到EF=CF,DE=DB,即可得到结论.

【解答】解：(1)：Z)E〃AC

二NBED=NC,

'：EF//AB,

:.NCEF=NB,

NBED=ZCEF,

:./B=NC,

.•.△ABC是等腰三角形；

(2)A2+AC=四边形ADEF的周长，

理由：-：DE//AC,

：.ZBED=ZC,

"JEF//AB,

:.NCEF=/B,

■:NBED=NCEF,

：.NC=NCEF=NBED=NB,

：.EF=CF,DE=DB,

：.AC+AB=CF+AF+AD+BD=EF+AF+AD+DE=^m.^EFAD的周长.

【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各定理是解题的关键.

29.（2021春•浦东新区校级期末）如图，在△ABE中，NEAC=N8,点C在BE上，A。平分NBAC,交

BC于点。，点尸是线段4力的中点，联结E凡/AEF与/OE/相等吗？请说明理由.

解：结论：/AEF=NDEF.

因为AC平分NBAC（已知），

所以/1=/2（角的平分线的意义）.

因为ZB=/E4C,（已知），

所以Nl+NB=N2+NEAC.（等式性质）

而/I+N8（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）,

ZEAD^Z2+ZEAC,

所以/ED4=/E4D（等量代换）.

所以EA=ED（等角对等边）.

又因为AF=£>/（线段中点的意义）

所以/AEF=NDEF（等腰三角形的三线合一）.

【分析】直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案.

【解答】解：结论：ZAEF=ZDEF.

因为平分NBAC（已知），

所以Nl=/2（角的平分线的意义）.

因为NB=/EAC,（己知），

所以N1+NB=N2+NE4c.（等式性质）

而NED4=N1+/B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），

ZEAD^Z2+ZEAC,

所以NED4=/E4£）（等量代换）.

所以EA=ED（等角对等边）.

又因为AF=CF（线段中点的意义）

所以（等腰三角形的三线合一）.

故答案为：NAEF=NDEF,Z1-Z2,Zl+ZB,Zl,NB,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角和，EA=ED,

等角对等边，ZAEF=ZDEF,等腰三角形的三线合一.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出E4=E£＞是解题关键.

30.（2021春•静安区校级期末）己知：如图，在△A8C中，ZABC=3ZC,Nl=/2,BELAE.

求证：AC-AB=2BE.

【分析】延长BE交AC于M,利用三角形内角和定理，得出N3=N4,AB=AM,：.AC-AB=AC-AM=

CM.

再利用/4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM=8M利用等量代换即可求证.

【解答】证明：延长8E交AC于M

'：BE±AE,

：.NAEB=NAEM=90°

在△ABE中，

VZl+Z3+ZXEB=180°,

.\Z3=90o-Z1

同理，Z4=90°-Z2

VZ1=Z2,

AZ3=Z4,

：.AB=AM

\'BELAE,

:.BM=2BE,

：.AC-AB=AC-AM=CM,

VZ4是ABCM的外角

，Z4=Z5+ZC

VZABC=3ZC,Z.ZABC=Z3+Z5=Z4+Z5

.\3ZC=Z4+Z5=2Z5+ZC

AZ5=ZC

:.CM=BM

：.AC-AB=BM=2BE

【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交

AC于M,利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题.

四.等边三角形的性质（共9小题）

31.（2021春•浦东新区校级期末）如图，在△4BC中3,E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，

则ZBAC=120°

【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出NB=/B4力=NC=NEAC=30°,进而利用

三角形内角和定理求出即可.

【解答】解：是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，

：.BD=DE=EC=AD^AE,N4£>E=/AED=60°,

AZB=ZBAD=ZC=ZEAC=30°,

AZBAC=180°-ZB-ZC=120°.

故答案为：120°.

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出的度数是解题关键.

32.（2021春•闵行区校级月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三

角形ABC和正三角形CDE,A。与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点、Q,连接PQ.以

下五个结论：®AD=BE-,②PQ〃AE；③AP=BQ：®DE=DP-.⑤/AOB=60°.其中正确的结论的个数

是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项.（根据等边三角形的性质可证NOC8=60

°,由三角形内角和外角定理可证NOPC>60°,所以OPKOE）

【解答】解：①AABC和均是等边三角形，点A,C,E在同一条直线上，

：.AC=BC,EC=DC,NBCE=/ACD=120°

二/XACD^/XECB

：.AD=BE,故本选项正确；

@V△ACQ也△EC8

：.ZCBQ^ZCAP,

又•.•/PCQ=/AC8=60°,CB=AC,

...△BCQg/MCP,

:.CQ=CP,又NPCQ=60°,

.•.△PCQ为等边三角形，

二/QPC=60°=/ACB,

：.PQ//AE,故本选项正确；

③•.•NACB=NQCE=60°,

AZBCD=60°,

/./ACP=ZBCQ,

'：AC=BC,NDAC=NQBC,

：./\ACP^/\BCQ（ASA）,

：.CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确；

④已知△ABC、△OCE为正三角形，

故/£>CE=NBCA=60°=NDCB=60°,

又因为NQPC=/OAC+NBCA,ZBCA=60Q=NZ）PC>60°,

故。P不等于OE,故本选项错误；

△OCE为正三角形，

...NACB=NZ)CE=60°,AC=BC,DC=EC,

：.NACB+NBCD=ZDCE+ZBCD,

：.NACD=NBCE,

.♦.△AC。/△BCE(SAS),

:.NCAD=NCBE,

：.NAOB=ZCAD+ZCEB^NCBE+NCEB,

■:NACB=NCBE+NCEB=6Q°,

ZAOB=60°,

故本选项正确.

综上所述，正确的结论是①②③⑤.

故选：C.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.需要学生将相关知识点融会贯通,

综合运用.

33.(2022春•闵行区校级期末)小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m,n上测得/

AEG=20a,那么乙4。尸的度数是40°.

【分析】过A点作4P〃〃?，如图，则〃〃AP,根据平行线的性质得到/以E=20°,再利用等边三角形的

性质得到NBAC=60°,所以NBAP=40°,然后根据平行线的性质得到NADF的度数.

【解答】解：过A点作AP〃/«,如图，

：.n//AP,

：.ZPAE=ZAEG=20°,

•••△ABC为等边三角形，

AZBAC=60°,

/.ZBAP=-ZBAC-ZPAE=600-20°=40°,

'：PA//m,

：.ZADF^ZBAP=40Q.

故答案为40°.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，作必〃加是解决问题的关键.也考查了平行线的性质.

34.（2021春•普陀区校级月考）等边三角形的面积为8e，则它边长是_工&_.

【分析】作出等边三角形边上高，利用勾股定理可求出高的值，利用三角形的面积公式求解即可.

【解答】解：如图，作AD,8c于点

设AB=BC=AC=xf

则BD=」BC=L

22

在RtZXABO中，3加2也2=(2_(知2=容,

故边长为x的等边三角形的面积为工XxX®=8而,

22

解得：x=±4&,舍去负值，得x=4五,

故答案为：472.

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，利用勾股定理求出等边三角形一边上的高是解决本题的突破

点.

35.（2021春•杨浦区期末）如图，已知直线“〃/2,等边三角形ABC的顶点A、C分别在直线/1、/2上，如

果边AB与直线/|的夹角Nl=26°,那么边8C与直线/2的夹角N2=34度.

【分析】由等边三角形的性质得N8AC=NBCA=60°,再由平行线的性质得/1+/8AC+NBCA+N2=180

。，则Nl+N2=60°,即可求解.

【解答】解：:△ABC是等边三角形，

AZBAC=ZBCA=60°,

.直线h//l2,

...Nl+N8AC+/BCA+N2=180°,

.*.Zl+Z2=180°-60°-60°=60°,

VZ1=26°,

：.Z2=60°-26°=34°,

故答案为：34.

【点评】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平行线的性

质，证出Nl+N2=60°是解题的关键.

36.（2021春•崇明区期末）如图，△AB。和△CB。都是边长为6c机的等边三角形，点£是边D4上的动点，

点F是边0c上的动点.

（1）如果点E从点D出发，以\cmls的速度沿边DA向点A方向运动；点厂从点C出发，以lcm/s的速度

沿边CD向点D方向运动.当点E到达点A时，两动点均停止运动.试判断运动过程中NEBF的大小是否

会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由.

（2）如果点E从点D出发，以lcm/s的速度沿边D4向点A方向运动；点F从点D出发，以2cmls的速度

沿边DC向点C方向运动,到达点C后立即以原速度沿原路返回.当点E到达点A时，两动点均停止运动.问

当点E运动多少秒时NEB尸=60°?

D

E

B

【分析】(1)利用SAS定理证明△BDE名△BCF,从而利用全等三角形的性质分析推理；

(2)利用ASA定理证明△BCE之ABCF,然后利用全等三角形的性质，并结合分类讨论思想列方程求解.

【解答】解：(1)运动过程中/EB尸的大小不会发生变化，为定值60°,理由如下：

由题意可得，BD=BC=AD=CD=6,NBDA=NC=NCBD=60°,DE=DF,

在△/?£>£和△BCF中，

'BD=BC

<ZBDE=ZC>

DE=DF

.♦.△BDE迫ABCF(SAS),

NDBE=ZCBF,

：.ZEBF=ZDBE+ZDBF=ZDBF+ZCBE=ZCBD=60°；

(2)当NEBF=6Q°时，NEBF=NCBD=60°,

二ZDBE+ZDBF=ZDBF+ZCBE,

ZDBE=ZCBF,

在△8DE和△BCF中，

'/BDE=/C

<BD=BC，

ZDBE=ZCBF

.♦.△BDE与ABCF(ASA),

：.DE=CF,

设点E的运动时间为f秒，则。E=f,DF=2t,CF=6-2t,

当0WfW3时，f=6-2f,解得f=2,

当3Vf这6时,t=2t-6,解得f=6,

综上，当点E运动2秒或6秒时，/EBF=60°.

【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握三角形全等

的判定，利用分类讨论思想解题是关键.

37.（2021春•静安区期末）如图，在等边aABC中，边AB=6厘米，若动点尸从点C开始，按C-BfA

-C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为f秒.

（1）当1=3时，判断AP与8C的位置关系，并说明理由；

（2）当△PBC的面积为AABC面积的一半时，求f的值；

（3）另有一点。，从点C开始，按C-A-BfC的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出

发，当P、。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当f为何值时，直线PQ把AABC的周长分成相等

的两部分.

督■用图1管用图2

【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到结论；

（2）根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；

（3）根据等边三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论.

【解答】解：⑴判断：AP±BC,

理由如下：如图1,

vr=3,

:.BP=CP=3,

"：AB=AC,

J.AP1.BC；

（2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，点尸为AB中点或点P为AC中点，则CB+C尸=9或CB+BA+CP

—15）

/.t—9或f=15,

...当△PBC的面积为△4BC面积的一半时，f的值为9或15；

（3）当点尸在边BC上，且点Q在边AC上时，CP=t,CQ=\.5t

则t+1.5t=9,

•*.t—3.6,

当点P在边A8上，且点。在边BC上时，BP=t-6,BQ=\.5t-12,

则f-6+1.5L12=9,

••t—10.8，

所以当f为3.6或10.8秒时、直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.

图1

【点评】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

38.（2021春•普陀区校级期中）如图，在等边△ABC中，点。为BC边上的点，OEJ_BC交AB于E,DF

【分析】先根据等边三角形的性质得出NA=NB=60°,再由。ELBC交A8于E,。尸，AC于F得出/

BDE=NAFD=90。，根据三角形外角的性质求出的度数，由四边形内角和定理即可得出结论.

【解答】解：:△ABC是等边三角形，

AZA=ZB=60°.

'：DEVBC^tAB^-E,DFLACF,

：.ZBDE^ZAFD^90Q.

"：ZAED是△B/）E的外角，

AZAED=ZB+ZBDE=60a+90°=150°,

AZ£DF=360°-ZA-ZAED-ZAFD=360°-60°-150°-90°=60°.

故答案为：60°.

【点评】本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质

是解题的关键.

39.（2021春•嘉定区校级期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△（；£>£

绕点C顺时针旋转，旋转角为。（旋转角0°<«<3600）,请探究下列问题：

（1）如图2,当旋转角满足0°<aW60°时，请写出/BC。与/4CE的关系，并说明理由；

（2）如图3,当旋转角满足60°<0^120°时，请写出/BCE与N4CD的关系，并说明理由；

（3）当。£〃BC时请直接写出旋转角的度数.

A

AA

E

图1图2图3

【分析】(1)根据旋转的性质或等边三角形的定义可得结论：NBCD=NACE；

(2)根据角的和与差可得结论：ZBCE-ZACD^120°；

(3)在旋转角0°<«<360°时，正确画图可得结论.

【解答】解：(1)如图2,NBCD=NACE,理由如下:

图2

△ABC和△CDE是等边三角形,

,NACB=/DCE=60°,

二ZBCD=NACE：

(2)如图3,/BCE-NACQ=120°,理由如下：

由旋转得：NBCD=NACE,

二NBCE-ZACD=ZACB+ZACD+ZDCE-ZACD=NACB+NDCE=120°；

(3)如图4,当。E〃BC时，a=60°；

图4

如图5,当OE〃BC时，a=180°+60°=240°；

B

E

综上，当。E〃BC时旋转角的度数为60°或240°.

【点评】本题考查的是旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转变换的性质是解题

的关键.

五.等边三角形的判定（共2小题）

40.（2022春•嘉定区校级期末）下列条件中，不能说明AABC为等边三角形的是（）

A.ZA=ZB=60°B.ZB+ZC=120°

C.ZB=60°,AB=ACD.ZA=60°,AB=AC

【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案.

【解答】解：A.；/4=/8=60°,

AZC=60°,

:.NA=NB=NC,

C./XABC是等边三角形.

故A选项不符合题意；

B.VZB+ZC=120°,

AZA=60°,

.•.△ABC不一定是等边三角形，

故8选项符合题意；

C.VZB=60°,AB=AC,

.♦.△ABC是等边三角形.

故C选项不符合题意；

D.VZA=60°,AB=AC,

/\ABC是等边三角形.

故D选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记定理的内容是解此题的关键.

41.（2021春•闵行区期末）在△A8C中，如果A8=AC,/A=/C,那么△ABC的形状为等边三角形.

【分析】可利用等腰三角形的判定，说明三角形的三条边都相等，亦可利用等腰三角形的性质，说明该三

角形的三个角都相等.

【解答】解：（法一）在△ABC中，♦.•/An/C,

：.BA=BC.

5L'：AB=AC,

AB=AC=BC.

所以△ABC是等边三角形.

故答案为：等边三角形.

（法二）在△ABC中，•：AB=AC,

：.ZB=ZC.

又•:NA=NC,

ZA—ZB—ZC.

所以△A8C是等边三角形.

故答案为：等边三角形.

【点评】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质和判定是解决本题的关键.

六.等边三角形的判定与性质（共3小题）

42.（2021春•普陀区校级期中）用一根长12c机的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为

4_cm.

【分析】等边三角形的三条边相等，用12除以3就得这个三角形的边长，由此可得答案.

【解答】解：12+3=4（cm）.

答：这个等边三角形的边长为4°九

故答案为：4.

【点评】此题考查了等边三角形的性质，掌握其性质是解决此题关键.

43.（2021春•普陀区校级期中）如果等腰三角形的顶角为60°