2022届山东省泰安市高三一轮检测（一模）数学试题（解析版）

2022届山东省泰安市高三一轮检测（一模）数学试题一、单选题1．已知复数满足，则A． B．C． D．【答案】A【详解】设，则由已知有，所以，解得，所以，故，选A.2．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合A，B，再根据并集的定义即可求出.【详解】或，，或.故选：D.3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（

）A．p：，q；（，且）在上为增函数B．p：，，q：（，且）的图象不过第二象限C．p：且，q：D．p：，q：且【答案】D【分析】利用对数函数的性质可判断A；利用指数函数的性质可判断B；利用不等式的性质及取特值法可判断CD.【详解】对于A，利用对数函数的性质可知，p是q的充要条件，故A错误；对于B，利用指数函数的性质知过定点，若函数图像不过第二象限，则，，所以p是q的充要条件，故B错误；对于C，当且能推出，但不能推出且，例：取且满足，所以p是q的充分不必要条件，故C错误；对于D，且可推出，反过来取满足，所以p是q的必要不充分条件，故D正确；故选：D4．若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】已知圆圆心为，半径为，根据圆的相交弦长公式，求出圆心到渐近线的距离，由点到直线的距离公式，建立关系，进而得出关系，即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即．又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为．圆心到渐近线的距离，又由点到直线的距离公式，可得，所以.故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质、直线与圆的位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.5．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（

）A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时【答案】C【分析】根据食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，求出k、b，然后再将x＝33代入即可得出答案.【详解】解：由题意，得，即，于是当x＝33时，＝24(小时).故选：C.6．已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由诱导公式与二倍角公式即可求解【详解】，故选：B7．已知抛物线C：（）的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点，与抛物线C的准线交于点N，，则p的值等于（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.解得答案.【详解】解：设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|.因为，所以，即，所以，而，解得p＝2,故选：B.8．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A．， B． C．， D．【答案】D【分析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，，所以，解得．故选：．二、多选题9．某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示x3467y2.5345.9根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（

）A．变量x与y正相关 B．y与x的相关系数C． D．产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨【答案】ACD【分析】先求得，然后根据回归直线方程的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】，，所以，所以变量x与y正相关，y与x的相关系数，，产量为8吨时预测所需材料约为吨.所以ACD选项正确，B选项错误.故选：ACD10．已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于对称B．在上单调递减C．≥的解为D．方程在上有2个解【答案】AC【分析】根据三角函数的平移变换原则求出，再根据三角函数的性质求出，由三角函数的性质逐一判断即可.【详解】将的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得，由为偶函数，且最小正周期为，则，且，解得，，所以，对于A，当时，，即，故的图象关于对称，故A正确；对于B，由，则，正弦函数的单调递减区间为，由不是的子集，故B不正确；对于C，≥，即，即，即，解得，故C正确；对于D，，即，作出函数图象与的图象，如下：由图象可知，两函数的图象在上交点个数为个，故D不正确.故选：AC11．如图，在直三棱柱中，，，D是棱的中点，，点E在上，且，则下列结论正确的是（

）A．直线与BC所成角为90°B．三棱锥的体积为C．平面D．直三棱柱外接球的表面积为【答案】ABD【分析】对于A，证明，根据线面垂直的判定定理可得平面，再根据线面垂直的性质可得，即可判断A；对于B，证明平面，可得，再根据求出体积，即可判断B；对于C，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明不垂直，即可判断C；对于D，连接，则线段即为直三棱柱外接球的直径，求出外接球的半径，即可求出外接球面积，即可判断.【详解】解：对于A，在矩形中，因为，，D是棱的中点，所以，所以，所以，又因，，所以平面，又因平面，所以，即直线与BC所成角为90°，故A正确；对于B，在直三棱柱中，，又，，所以平面，又平面，所以，则，故B正确；对于C，由AB可知，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，则，所以，所以不垂直，所以不垂直平面，故C错误；连接，则线段即为直三棱柱外接球的直径，，所以外接球的半径，所以直三棱柱外接球的表面积为，故D正确.故选：ABD.12．已知函数，，，则下列结论正确的是（

）A．在上单调递增B．当时，方程有且只有3个不同实根C．的值域为D．若对于任意的，都有成立，则【答案】BCD【分析】对于A：取特殊函数值否定结论；对于B：当时，解方程得到和是方程的根.利用零点存在定理证明在上有且只有一个零点.即可证明.对于C：根据单调性求出的值域.对于D：对x分类讨论：、和三种情况，利用分离参数法分别求出k得到范围，取交集即可.【详解】对于A：.因为，，所以，所以.所以在上不是增函数.故A错误；对于B：当时，方程可化为：或.由可解得：.对于，显然代入方程成立，所以是方程的根.当时，记..所以令，解得：；令，解得：；所以在上单增，在上单减.所以.所以在上没有零点；而在上单减，且，，所以在上有且只有一个零点.综上所述：当时，方程有且只有3个不同实根.故B正确；对于C：对于.当时，.，所以；当时，..令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增.所以；故的值域为成立.故C正确.对于D：对于任意的，都有成立，所以及恒成立.若恒成立，则有.令，只需.令，则.则.所以，即.若恒成立，当，无论k取何值，不等式均成立，所以.当，则有.令，只需..记，则，所以在上单减，所以，即，所以在上单减，所以所以.综上所述：.故D正确.故选：BCD【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数处理恒（能）成立问题.三、填空题13．在的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】6【分析】分别求出和展开式的通项公式，根据的组合形式分别求解即可.【详解】的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以展开式中，含的项为：，所以含的项的系数为6．故答案为：6.14．如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则_________．【答案】【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可.【详解】连接，如图所示：所以，则.故答案为：15．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．【答案】【详解】由题意，可设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，由椭圆和双曲线的定义可知，，则，，又，由余弦定理可得，整理得，即，则，所以.点睛：此题主要考查椭圆、双曲线的定义、离心率在解决问题中的应用，以及余弦定理和柯西不等式在求最值中应用的有关方面知识，属于中高档题型，也是高频考点.在解决此类问题中，注意从数和形两方面分析椭圆、双曲线的定义、离心率与基本量之间的关系，根据所求最值式子的特点，结合柯西不等式，从而问题可得解.四、双空题16．随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替），则___________.若，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）为___________.参考数据：若则，，.【答案】

73；

1587【分析】①直接通过公式计算均值即可；②结合正态分布的对称性及参考数据，先求出高于85.9的概率，再结合古典概型计算人数.【详解】；，，成绩高于85.9的人数为.故答案为：73；1587.五、解答题17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若D为BC上一点，且，，求的面积.【答案】(1).(2).【分析】（1）利用三角函数恒等变形得到，即可求出角A;（2）先由余弦定理求得，利用向量的运算求出，直接代入面积公式即可求出的面积.【详解】(1)在中，因为，所以由正弦定理得：，即.因为,所以，即.因为,所以.(2)在中，因为，，所以.由余弦定理得：，即，解得：（舍去）.因为.所以，即.因为，所以，解得：，所以的面积.即的面积为.18．已知各项均为正数的等差数列，，，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设数列满足，为数列的前n项和，，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析；【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及等比中项定义，代入即可求解；（2）利用放缩法可知，代入结合对数的运算公式即可证得结论.【详解】(1)设数列的公差为，且由已知得，整理得即，解得或（舍），所以的通项公式为(2)，19．如图，在五面体ABCDE中，已知平面BCD，，且，.(1)求证：平面平面ABC；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用面面垂直的判定定理及性质定理，及线面垂直的判定定理可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值即可得解；【详解】(1)证明：取BC中点M，AB中点N，连接且又，，且所以四边形是平行四边形，且又平面BCD，平面ABC，平面ABC平面BCD，又平面ABC平面BCD，平面BCD，平面ABC，平面ABC，又平面ABE，所以平面平面ABC(2)由（1）知，，且，平面ABC，平面平面ABC以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，又，则又平面ABC平面ABE，平面ABC，所以平面ABE，即为平面ABE的一个法向量，显然二面角为锐角，故其余弦值为20．某工厂“对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.02916(2)分布列见解析；（元）【分析】（1）若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再根据独立重复实验的概率公式即可得解；（2）可取，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.【详解】(1)解：若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，故恰好检测5次的概率；(2)解：由题意，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，则可取，，，，故分布列为：70500.90.080.02所以（元）.21．已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为2和.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：（）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且为直角三角形，求直线l的方程.【答案】