高中数 第三章 3.4 基本不等式 第二课时 基本不等式的应用 NO.2 课下检测 新人教A版必修5

【创新方案】版高中数学第三章3.4基本不等式第二课时基本不等式的应用NO.2课下检测新人教A版必修5一、选择题1．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81解析：A、D不能保证是两正数之和，sinx取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x＝ln2时等号成立．答案：C2．已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．m>n B．m<nC．m＝n D．不确定解析：∵a>2，∴a－2>0.又∵m＝a＋eq\f(1,a－2)＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2×\f(1,a－2))＋2＝4(当且仅当a－2＝eq\f(1,a－2)，即a＝3时，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞)，由b≠0得b2≠0，∴2－b2<2.∴22－b2<4，即n<4.∴n∈(0,4)，综上易知m>n.答案：A3．设a>b>c>0，则2a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)－10ac＋25c2的最小值是()A．2 B．4C．2eq\r(5) D．5解析：2a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)－10ac＋25c2＝2a2＋eq\f(a－b＋b,aba－b)－10ac＋25c2＝2a2＋eq\f(1,ba－b)－10ac＋25c2≥2a2＋eq\f(1,\f(b＋a－b,2)2)－10ac＋25c2(b＝a－b时取“＝”号)＝2a2＋eq\f(4,a2)－10ac＋25c2＝(a2＋eq\f(4,a2))＋(a－5c)2≥4.(当且仅当a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),5)时取“＝”号)．答案：B4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3 B．4C.eq\f(9,2) D.eq\f(11,2)解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝eq\f(8－x,2x＋2)>0.∴0<x<8.∴x＋2y＝x＋2·eq\f(8－x,2x＋2)＝(x＋1)＋eq\f(9,x＋1)－2≥2eq\r(x＋1·\f(9,x＋1))－2＝4.当且仅当x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2时，取“＝”号，此时x＝2，y＝1.答案：B二、填空题5．已知a>0，b>0，且a2＋eq\f(b2,2)＝1，则aeq\r(1＋b2)的最大值为________．解析：aeq\r(1＋b2)＝eq\r(2)×aeq\r(\f(1＋b2,2))≤eq\r(2)×eq\f(1,2)[a2＋(eq\r(\f(1＋b2,2)))2]＝eq\f(\r(2),2)(1＋eq\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),4)，当且仅当a＝eq\f(\r(3),2)，b＝eq\f(\r(2),2)时等号成立．∴aeq\r(1＋b2)的最大值为eq\f(3\r(2),4).答案：eq\f(3\r(2),4)6．当0<x<2时，不等式x(2－x)≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵0<x<2，∴2－x>0，∴x(2－x)≤(eq\f(x＋2－x,2))2＝1.∴a≥1.答案：[1，＋∞)7．建造一个容积为8m3，深为2m解析：设水池的造价为y元，长方体底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为eq\f(4,x)m．那么y＝120·4＋2·80·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(4,x)))＝480＋320eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥480＋320·2eq\r(x·\f(4,x))＝1760(元)．当x＝2，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元．答案：17608．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，设x＋y的取值范围是________．解析：原式等价于x＋y＋3＝xy≤(eq\f(x＋y,2))2(当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋3≤eq\f(x＋y2,4)，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．所以x＋y的取值范围是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)三、解答题9．已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)＞3.证明：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)＝eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－3＝(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))－3.∵a，b，c都是正数，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，同理eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)≥2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2，∴(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))≥6.∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，∴(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))＞6，∴eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)＞3.10.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．解：(1)设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a由已知ax＝360，得a＝eq\f(360,x)，∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>0)