2024-2025学年度北师版九上数学2.4用因式分解法求解一元二次方程【课外培优课件】

第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程

1.方程

x2－3

x

＝0的根是（

C

）A.

x1＝

x2＝0B.

x1＝

x2＝3C.

x1＝0，

x2＝3D.

x1＝0，

x2＝－3C2.下列解方程的过程正确的是（

D

）A.解方程2

x2＝

x

时，将方程两边同时除以

x

，得

x

＝2B.解方程2

x2＋6

x

＝0时，将方程两边同时除以2

x

，得

x

＝－3C.解方程

x2＋1＝2

x

时，因式分解，得（

x

＋1）2＝0，解得

x1＝

x2＝－1D.解方程

x2＋2

x

＋1＝0时，因式分解，得（

x

＋1）2＝0，解得

x1＝

x2＝－1D3.一元二次方程

x2－4

x

＝12的根是（

B

）A.

x1＝2，

x2＝－6B.

x1＝－2，

x2＝6C.

x1＝－2，

x2＝－6D.

x1＝2，

x2＝64.一元二次方程（

x

－3）（

x

－2）＝0的根是

⁠

⁠.5.以－1和6为根，且二次项系数是1的一元二次方程是

⁠

⁠.6.（1）方程

x

（

x

－2）＝

x

－2的解是

⁠；（2）方程

x

（

x

－6）＋9＝0的解是

⁠.Bx1＝3，

x2＝

2

（

x

＋

1）（

x

－6）＝0或

x2－5

x

－6＝0

x1＝2，

x2＝1

x1＝

x2＝3

7.用因式分解法解下列方程：（1）5

x2＋4

x

＝0；解：提取公因式，得

x

（5

x

＋4）＝0.

（2）（2

x

＋3）2－25＝0；解：因式分解，得（2

x

＋3＋5）（2

x

＋3－5）＝0，即4（

x

＋4）（

x

－1）＝0.解得

x1＝－4，

x2＝1.（3）2

x2＋

x

－6＝0；解：因式分解，得（

x

＋2）（2

x

－3）＝0.

（4）（

x

－5）（

x

＋2）＝8.解：原方程整理，得

x2－3

x

－18＝0.因式分解，得（

x

＋3）（

x

－6）＝0.解得

x1＝－3，

x2＝6.8.用适当的方法解下列方程：（1）2（

x

－2）2＝50；解：原方程可化为（

x

－2）2＝52.方程两边开平方，得

x

－2＝±5.解得

x1＝7，

x2＝－3.（2）5

x2＝

x

＋4；解：原方程整理，得5

x2－

x

－4＝0.因式分解，得（5

x

＋4）（

x

－1）＝0.

（3）2

x2－7

x

＝2；

9.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为

a

⊕

b

＝

a2－

b2，则

方程（4⊕3）⊕

x

＝2

x

＋1的解为

⁠.【解析】由题意，得4⊕3＝42－32＝7，∴（4⊕3）⊕

x

＝7⊕

x

＝72－

x2＝2

x

＋1，即

x2＋2

x

－48＝0.∴（

x

＋8）（

x

－6）＝

0.∴

x1＝－8，

x2＝6.故答案为

x1＝－8，

x2＝6.x1＝－8，

x2＝6

10.如图，在▱

ABCD

中，

AE

⊥

BC

于点

E

，

AE

＝

EB

＝

EC

＝

a

，且

a

是一元二次方程

x2＋2

x

－3＝0的根，则▱

ABCD

的周长

是

⁠.

11.已知关于

x

的方程（2

x

－

m

）（

mx

＋1）＝（3

x

＋1）（

mx

－1）的一个根为0，求

m

的值和方程的另一个根.解：将

x

＝0代入原方程，得－

m

＝－1，解得

m

＝1.∴原方程为（2

x

－1）（

x

＋1）＝（3

x

＋1）（

x

－1）.化简，得

x2－3

x

＝0.解得

x1＝0，

x2＝3.∴

m

＝1，方程的另一个根为3.12.解方程：

x

｜

x

｜－4｜

x

｜＋3＝0.解：①当

x

≥0时，原方程变形为

x2－4

x

＋3＝0.解得

x1＝1，

x2＝3，均符合题意.②当

x

＜0时，原方程变形为

x2－4

x

－3＝0.

13.（选做）已知关于

x

的一元二次方程

x2－（3

k

＋1）

x

＋2

k2

＋2

k

＝0.（1）求证：

k

取任何实数值，该方程总有实数根；（1）证明：Δ＝[－（3

k

＋1）]2－4×1×（2

k2＋2

k

）＝

k2－2

k

＋1＝（

k

－1）2.∵

k

取任何实数值，恒有（

k

－1）2≥0，∴Δ≥0.∴

k

取任何实数值，该方程总有实数根.（2）解：原方程化为

x2－[2

k

＋（

k

＋1）]

x

＋2

k

（

k

＋1）＝0.因式分解，得（

x

－2

k

）[

x

－（

k

＋1）]＝0.解得

x1＝2

k

，

x2＝

k

＋1.不妨设

b

＝2

k

，

c

＝

k

＋1.∵△

ABC

为等腰三角形，∴有以下三种情况：①若

a

＝

b

，则6＝2

k

.解得

k

＝3.则

a

，

b

，

c

分别为6，6，4，能

组成三角形.此时，△

ABC

的周长为6＋6＋4＝16.（2）若等腰三角形

ABC

的一边长

a

＝6，另外两边长

b

，

c

恰好

是这个方程的两个根，求△

ABC

的周长（用因式分解法）.②若

a

＝

c

，则6＝

k

＋1.解得

k

＝5.则

a

，

b

，

c

分别为6，