2024-2025学年度北师版九上数学4.4探索三角形相似的条件（第四课时）【课件】

第四章图形的相似4探索三角形相似的条件（第四课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学九年级上册BS版01课前预习1.一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果

，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段

AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，这个比值为

，约为0.618.注意：一条线段有两个黄金分割点.

数学九年级上册BS版02课前导入通过观察，你觉得下面那副图最有美感？

事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系.

黄金分割的概念一个五角星如下图所示.问题：度量

C到点

A、B的距离，

与相等吗？ACBABC点

C把线段

AB分成两条线段

AC和

BC，如果，

那么称线段

AB被点

C黄金分割.点

C叫做线段

AB的黄金分割点，AC与

AB的比称为黄金比.概念学习1.计算黄金比.解：由，得

AC²

=AB·BC.设

AB=1，AC=x，则

BC=1

–

x.

∴x²=1×(1-

x)，即x²+x–1=0.解方程得：x1=(不合题意，舍去)，x2=.黄金比做一做2.如图所示，已知线段

AB按照如下方法作图:1.经过点

B作

BD⊥AB，使

BD=

AB.2.连接

AD，在

AD上截取

DE=DB.3.在

AB上截取

AC=AE.思考：点

C是线段

AB的黄金分割点吗?ABDEC∴点

C是线段

AB的黄金分割点.巴台农神庙（ParthenomTemple）FCAEBD想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形

ABCD，以矩形

ABCD

的宽为边在其内部作正方形

AEFD，那么我们可以惊奇地发现，点

E是

AB

的黄金分割点吗？矩形

ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么？点

E是

AB的黄金分割点矩形

ABCD的宽与长的比是黄金比宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.ABCDEF（即）是黄金比数学九年级上册BS版03典例讲练

（1）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（

B

）A.AB2＝AP·PBB.AP2＝AB·PBC.PB2＝AP·ABB

【点拨】在黄金分割线段中，较长线段的平方等于较短线段与原线段的乘积，一定要分清长线段和短线段.

【点拨】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段中只要知道其中一条线段的长，就可以求出另外两条线段的长，其计算过程就是多次运用黄金比.

1.下列说法正确的是（

B

）A.每条线段有且仅有一个黄金分割点B.黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618C.若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB·BCD.以上说法都不对B2.已知点C是线段AB的黄金分割点，若AC＞BC，BC＝2，则

AC＝

⁠.

第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点

E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.

请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.

【点拨】解答本题的关键是掌握正方形的性质和黄金比的定义.求线段比例问题中，常先设出基本线段的长（如设BC＝CD＝2

a），再用其表示其他线段.

图1图2

如图，以定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接

PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形

AMEF，点M在线段AD上（AM＞MD）.（1）求证：点M是线段AD的黄金分割点.（2）作PN⊥PD交BC于点N，连接ND.

△

PDN与△BPN是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.

（2）解：△PDN∽△BPN.

证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAP＝∠PBN＝90°.∴∠ADP＋∠APD＝90°.∵PN⊥PD，∴∠DPN＝90°.∴∠APD＋∠BPN＝90°.∴∠ADP＝∠BPN.

∴△DAP∽△PBN.

∵点P是AB的中点，∴AP＝PB.

又∵∠DPN＝∠PBN＝90°，∴△PDN∽△BPN.

如图，用边长为a的正方形纸片进行如下操作：对折正方形

ABDE得折痕MN，连接EN