2024-2025学年新教材高考数学空间向量与垂直关系2练习含解析选择性必修第一册

PAGE6-空间向量与垂直关系 （45分钟100分） 一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知平面α的一个法向量为a=(x,1,-2),直线l的一个方向向量为n=(12,y,-1),若l⊥αA.x+2y=-4 B.x+y=3C.x+2y=12 D.x+y=2.已知平面α与β的一个法向量分别是a=(x,2,2),b=(1,3,y),若α⊥β,且|a|=26,则y=()A.-5 B.-1 C.4或-4 D.-5或-13.(2013·青岛高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=4,点E是D1A1的中点,设F在B1C1上,若DE⊥BF,则B1F=()A.4 B.2 C.1 D.14.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.位置关系不确定5.(2013·聊城高二检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,E是BC的中点,则A1E与平面AB1C1的位置关系是()A.相交但不垂直 B.A1E∥平面AB1C1C.A1E⊥平面AB1C1 D.A1E⊂平面AB1C1二、填空题(每小题8分,共24分)6.平面α与平面β的法向量分别是m,n,直线l的方向向量是a,给出下列论断:①m∥n⇒α∥β;②m⊥n⇒α⊥β;③a⊥m⇒l∥α;④a∥m⇒l⊥α.其中正确的论断为(把你认为正确论断的序号填在横线上).7.(2013·四平高二检测)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中,在平面α内的是(把正确的序号都填上).①B(1,-1,1);②C(1,3,32);③D(1,-3,32);④E(-1,3,-8.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD与△ACD折成相互垂直的两个平面后,有以下四个结论:①BD→·A②∠BAC=60°;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量相互垂直.其中正确结论的序号是(请把正确结论的序号都填上).三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=1,AB=2a(a>0),E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证:(1)AD⊥D1F.(2)平面AED⊥平面A1FD1.11.(实力挑战题)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出AF的长,若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选D.∵l⊥α,∴n∥a,即a=λn,∴(x,1,-2)=λ(12∴x=12λ,1=λy,-2=-λ,2.【解析】选D.由|a|=26,得x2+4+4=24,解得x=±4,∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=x+6+2y=0,当x=4时,得y=-5;当x=-4时,得y=-1.【误区警示】在求解本题的过程中,依据等量关系列出关系式后,切记肯定不要漏解.3.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0),设点F(1,a,1),则DE→=(0,-2,1),B∵DE⊥BF,∴DE→⊥∴DE→·BF即B1F=124.【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则DQ→=(1,1,0),DC因为PQ→·DQ→=0,所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.5.【解析】选A.如图所示,建立直角坐标系Axyz,设AB=1,则A(0,0,0),B1(1,0,1),C1(0,1,1),A1(0,0,1),E(12,1∴AB1→=(1,0,1),AC1→=(0,1,1),A1E→=(1令z=-1,则x=y=1,故n=(1,1,-1),∴A1E→·n≠0,故A1E与平面AB1C1不平行,又∵A1EAB1C1不垂直,即A1E与平面AB1C1相交但不垂直.6.【解析】①错误,因为α与β可能重合,③错误,因为l与α除l∥α外,还可能有l⊂α.明显,②④正确.答案:②④7.【解析】AB→=(-1,0,-1),AC→=(-1,4,-12),AD→∵AC→·∴AC→⊥n,故C∈答案:②8.【解析】①平面ABD⊥平面ACD,BD⊥AD,∴BD⊥平面ACD,∴BD⊥AC,∴BD→·AC→=0,②AD=BD=CD,且∠ADB=∠ADC=∠BDC,∴△ABD,△ACD,△BCD是全等三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,故②正确.③由②可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,∴三棱锥D-ABC是正三棱锥,故③正确.④建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=DB=DC=1,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),可求出平面ADC的法向量是n1=(1,0,0),平面ABC的法向量是n2=(1,1,1),∴n1·n2=1+0+0=1≠0,故④不正确.答案:②③9.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,AD=1,PD=1,AB=2a(a>0),则E(a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,12,12),得EF→=(0,PB→=(2a,1,-1),由EF→·AB→=(0,12得EF→⊥AB→,同理EF⊥PB,又AB∩PB=B,所以,EF⊥平面PAB.10.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),D(0,1,0),E(1,0,12),F(12,1,0),D(1)因为AD→=(0,1,0),D1F→=(12,0,-1),所以AD→·D1(2)因为AE→=(1,0,12),所以AE→·D1F→=12-12=0,所以AE→⊥D1F→又D1F⊂平面A1FD1,所以平面AED⊥平面A1FD1.11.【解题指南】假设存在点F,利用CF⊥平面B1DF列出方程求AF.【解析】以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则C(0,2a,0),B1(0,0,3a),