2025版新教材高中数学同步练习24棱柱棱锥棱台的表面积和体积新人教A版必修第二册

同步练习24棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为()A．2a2B．2eq\r(2)a2C．2eq\r(3)a2D．3eq\r(2)a22．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为()A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(8,3)D．83．[2024·陕西渭南高一期末]棱长都是1的三棱锥的表面积为()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)4．若正三棱锥的底面边长等于a，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为()A．eq\f(3,4)a2B．eq\f(\r(3),4)a2C．eq\f(3,2)a2D．3a25．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，四棱锥S­ABCD的体积占正方体体积的()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．不确定6．[2024·安徽池州高一期中]将一个长方体沿从同一个顶点动身的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶57．[2024·河南开封高一期中]已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为()A．30B．15C．10D．608．(多选)[2024·湖北鄂州高一期末]用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两部分空间图形的说法正确的是()A．侧面积之比为1∶2B．侧面积之比为1∶8C．体积之比为1∶27D．体积之比为1∶269．(多选)[2024·河南开封高一期中]已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则()A．正四棱台的高为2B．正四棱台的斜高为eq\r(3)C．正四棱台的表面积为20＋12eq\r(3)D．正四棱台的体积为eq\f(28\r(2),3)二、填空题(每小题5分，共15分)10．长方体的表面积是24，它过同一个顶点的三条棱长之和为6，则它的体对角线长是________．11．[2024·河北石家庄高一期末]已知正三棱锥O­ABC的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为________．12．[2024·山东聊城一中高一期中]一个四棱锥的体积为4，其底面是边长为2的正方形，侧棱长都相等，则该四棱锥的侧面积为________．三、解答题(共20分)13．(10分)用长为6cm，宽为3cm的矩形作成一个正三棱柱的侧面，求此正三棱柱的体积．14．(10分)如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.(1)求此正四棱台的侧面积；(2)求此正四棱台的体积．关键实力提升练15．(5分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(3,2)16.(5分)[2024·广东东莞高一期末]若四面体各棱的长是2或4，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能为________(只需写出一个可能的值).17．(10分)[2024·山东泰安高一期中]现须要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形态是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部分的形态是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积(含上下两部分)是多少？(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？同步练习24棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积必备学问基础练1．答案：A解析：设正方体的棱长为x，则eq\r(3)x＝a，即x2＝eq\f(1,3)a2，所以正方体的全面积为6x2＝6×eq\f(1,3)a2＝2a2.故选A.2．答案：C解析：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).故选C.3．答案：A解析：因为四个面是全等的正三角形，S底面积＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，则表面积S＝4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).故选A.4．答案：A解析：因为正三棱锥的底面边长等于a，三条侧棱两两垂直，所以三棱锥的侧棱长为eq\f(\r(2),2)a，则它的侧面积为3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(3,4)a2.故选A.5．答案：B解析：令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，VSABCD＝eq\f(1,3)×a×a2＝eq\f(1,3)a3，∴V四棱锥SABCD＝eq\f(1,3)V正方体．故选B.6．答案：D解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a、b、c，则截去的棱锥的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×abc＝eq\f(1,6)abc，原长方体的体积V＝abc，剩下的几何体的体积为V2＝abc－eq\f(1,6)abc＝eq\f(5,6)abc，∴V1∶V2＝1∶5.故选D.7．答案：B解析：如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为S＝10，高h＝PH＝3，四棱柱的体积V＝10×3＝30，则此斜三棱柱的体积为eq\f(1,2)V＝15.故选B.8．答案：BD解析：依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.故选BD.9．答案：BCD解析：对于A，∵正四棱台上下底面对角线长为2eq\r(2)，4eq\r(2)，∴正四棱台的高h＝eq\r(22－（\f(4\r(2)－2\r(2),2)）2)＝eq\r(2)，A错误；对于B，正四棱台的斜高h′＝eq\r(22－（\f(4－2,2)）2)＝eq\r(3)，B正确；对于C，∵正四棱台侧面积为4×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝12eq\r(3)，上下底面面积分别为4，16，∴正四棱台的表面积S＝4＋16＋12eq\r(3)＝20＋12eq\r(3)，C正确；对于D，正四棱台的体积V＝eq\f(1,3)(4＋eq\r(4×16)＋16)×eq\r(2)＝eq\f(28\r(2),3)，D正确．故选BCD.10．答案：2eq\r(3)解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（ab＋bc＋ac）＝24,a＋b＋c＝6))，可得a2＋b2＋c2＝12，所以长方体的体对角线长为eq\r(a2＋b2＋c2)＝2eq\r(3).11．答案：eq\f(8\r(3),3)解析：如图，过O点作底面△ABC的投影O′，连接OO′，取BC的中点D，连接AD，在正三棱锥OABC中，底面△ABC为正三角形，边长为4，所以AD＝2eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(1,2)×AD×BC＝4eq\r(3)，而OO′为该正三棱锥OABC的高，长为2，所以VOABC＝eq\f(1,3)×S△ABC×OO′＝eq\f(8\r(3),3).12．答案：4eq\r(10)解析：设侧棱长为a，该四棱锥的高为h，由题意可得底面正方形的对角线为eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h＝\r(a2－2),V＝\f(1,3)×2×2×h＝4))，解得a＝eq\r(11)，即该四棱锥的侧面积为S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(11－1)＝4eq\r(10).13．解析：若用矩形的长折成正三棱柱的底面三角形，则正三棱柱的底面是边长为2cm的正三角形，高为3cm，此时该棱柱体积为eq\f(\r(3),4)×22×3＝3eq\r(3)(cm3)；若用矩形的宽折成正三棱柱的底面三角形，则正三棱柱的底面是边长为1cm的正三角形，高为6cm，此时该棱柱体积为eq\f(\r(3),4)×12×6＝eq\f(3\r(3),2)(cm3).14．解析：(1)因为正四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，所以侧面的高为eq\r(4－（\f(3－1,2)）2)＝eq\r(3)，所以此正四棱台的侧面积为4×eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\r(3)＝8eq\r(3).(2)四棱台的高h＝eq\r(22－（\r(2)）2)＝eq\r(2)，所以此正四棱台的体积为eq\f(1,3)×(1＋9＋3)×eq\r(2)＝eq\f(13\r(2),3).关键实力提升练15．答案：A解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为点G，H，连接DG，CH，简单求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2).取AD的中点O，连接GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，则S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，所以，多面体的体积V＝VEADG＋VFBCH＋VAGDBHC＝2VEADG＋VAGDBHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故选A.16．答案：3eq\r(15)＋eq\r(3)或2eq\r(15)＋8eq\r(3)或4eq\r(15)解析：由四面体各棱的长是2或4，且该四面体不是正四面体，如图，①四面体各棱中有一条为2，另五条为4，不妨取三条侧棱长均为4，底面边长BC＝BD＝4，CD＝2，则其表面积为2×eq\f(\r(3),4)×42＋2×eq\f(1,2)×2×eq\r(42－12)＝8eq\r(3)＋2eq\r(15)，②四面体各棱中有两条为2，四条为4，由三角形两边之和大于第三边，可知边长为2的必为对棱，不妨设AB＝CD＝2，AC＝BC＝BD＝AD＝4，则四个面全等，所以其表面积为4×eq\f(1,2)×2×eq\r(42－12)＝4eq\r(15)，③四面体各棱中有三条为2，三条为4，由三角形两边之和大于第三边，可知边长为2的必在同一个面内，不妨设AB＝AC＝AD＝4，BC＝CD＝BD＝2，所以其表面积为3×eq\f(1,2)×2×eq\r(42－12)＋eq\f(\r(3),4)×22＝3eq\r(15)＋eq\r(3).17．解析：(1)∵PO1＝2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，∴O1O＝8m.所以仓库的容积V＝eq\f(1,3)×62×2＋62×8＝312m3.(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1＝xm，则O1O＝4xm，A1O1＝eq