2024-2025学年度北师版九上数学1.2矩形的性质与判定（第一课时）【课件】

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定（第一课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学九年级上册BS版课前预习011.矩形的定义.有一个角是

的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质定理.（1）矩形的四个角都是

⁠；（2）矩形的对角线

⁠.注：①矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所

有性质；②矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的

⁠.直角

直角

相等

一半

数学九年级上册BS版课前导入02观察下面图形,长方形在生活中无处不在.情景引入思考长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？你还能举出其他的例子吗？长方形（也叫矩形）矩形的性质活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形；定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形.归纳总结平行四边形不一定是矩形.思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质；由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？可以从边，角，对角线等方面来考虑.活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦课本桌子物体测量（实物）（形象图）（2）根据测量的结果,你有什么猜想？猜想1矩形的四个角都是直角.

猜想2矩形的对角线相等.

你能证明吗？证明：∵四边形

ABCD是矩形，

∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB∥DC.∴∠B+∠C=180°.又∵∠B=90°，∴∠C=90°.∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.(1)如图，四边形

ABCD是矩形，∠B=90°.求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.ABCD证一证证明：∵四边形

ABCD是矩形，∴

AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.在

△ABC和

△DCB中，∵

AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.∴

AC=DB.ABCDO(2)如图，四边形

ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线

AC与

DB相交于点

O.求证：AC=DB.矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.归纳总结几何语言描述：在矩形

ABCD中，对角线

AC与

DB相交于点

O，故∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.ABCDO数学九年级上册BS版典例讲练03

（1）如图，在矩形ABCD中,已知AC交BD于点O,∠AOB＝120°,AD＝3，则BD的长为

⁠.6

【点拨】矩形的性质如下：（1）各角相等，均为90°；（2）对边平行且相等，邻边互相垂直；（3）对角线互相平分且相等；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴（分别是对边中点所在的直线）.（2）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点.若∠C＝55°，则∠ABD＝

⁠.35°

【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD是Rt△ABC斜边上的中线.∴AD＝BD＝CD.

∴∠DBC＝∠C＝55°.∴∠ABD＝90°－55°＝35°.故答案为35°.【点拨】直角三角形斜边上的中线将直角三角形分为两个等腰三角形，可利用这一特征求边角关系.

1.矩形的两邻边长度之比为3∶4，对角线的长为10cm，则周长为

cm.2.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD和BC于点E，F.若AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为

⁠.28

4

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB,CD上的点,AE＝

CF，连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O，且BE＝B

F，∠BEF＝2∠BAC.

（1）求证：OE＝OF；

（2）解：如图，连接OB.

∵OE＝OF，BE＝BF，∴BO⊥EF.

∴∠BOE＝90°.∴∠OEB＋∠OBE＝90°.由（1），得OA＝OC.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90，∴OB＝OA.

∴∠OAB＝∠OBA.

∵∠BEO＝2∠BAC，∴∠BEO＝2∠OBE.

∴2∠OBE＋∠OBE＝90°.∴∠OBE＝30°.∴∠BAC＝30°.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

【点拨】矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有对角线相等，可以得到四个等腰三角形；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是计算或证明题中较为常用的一个性质.

如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BC＝120°，AB＝2.（1）求矩形对角线的长；

（2）过点O作OE⊥

A

D于点E，连接

B

E，求

B

E的长.

如图，已知四边形ABCD是矩形，E为边AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，点P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M.

（1）求证：BE＝DE；（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.

∴∠ADB＝∠CBD.

∵∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB＝∠EBD.

∴BE＝DE.

（2）解：PM＋PN＝AB.

理由如下：延长MP交BC于点Q，如图所示.∵AD∥BC，PM⊥AD，∴PQ⊥BC.

又∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，∴PQ＝PN.

∴AB＝MQ＝PM＋PQ＝PM＋PN.

（2）试判断AB和PM，PN的数量关系，并说明理由.【点拨】等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，这一结论在