2024-2025学年度北师版九上数学-总复习-期末复习课（二）（第二章　一元二次方程）【课件】

总复习期末复习课期末复习课（二）（第二章一元二次方程）数学九年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01知识梳理1.一元二次方程的相关定义.（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为

的整式方程叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：

⁠

⁠.（3）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是

⁠

⁠.2

ax2＋bx＋c＝0（a

≠0）

x

2.一元二次方程的四种常见解法.（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法.3.一元二次方程的根的判别式.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是Δ＝

⁠.（1）当Δ

0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ

0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ

0时，方程有（两个）实数根；（4）当Δ

0时，方程没有实数根.b2

－4ac

＞

＝

≥

＜

数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

解一元二次方程

解下列方程：

类型一

解一元二次方程

解下列方程：（2）(x＋1)(x－3)＝－2；

类型一

解一元二次方程

解下列方程：（3）x(x＋3)＝5(x＋3)；

（3）

移项，得x（x＋3）－5（x＋3）＝0，即（x＋3）（x－5）＝0.∴x＋3＝0或x－5＝0.∴x1＝－3，x2＝5.类型一

解一元二次方程

解下列方程：（4）(x＋1)(4x－1)＝2x.

【点拨】对于解一元二次方程的计算类问题，通过观察方程的结构从所学的直接开平方法、配方法、因式分解法（十字相乘法）、公式法（平方差公式、完全平方公式）中选择合适的方法进行求解，确保用最简捷合理的方法进行求解，从而达到减小运算量，准确又高效的目的.

根据要求解下列方程：

（2）5x2＋2x－1＝0（公式法）；

（3）9（x－2）2＝121（x＋1）2（直接开平方法）；

类型二

根的判别式的综合运用

已知关于x的一元二次方程mx2－4x－5＝0（m≠0）.（1）求证：当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；（1）证明：Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4m·（－5）＝16＋20m.当m＞0时，16＋20m＞0.∴当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根.类型二

根的判别式的综合运用

已知关于x的一元二次方程mx2－4x－5＝0（m≠0）.（2）已知x＝n是原一元二次方程的一个实数根，且mn2－4n＋m＝3＋m2，求m的值.（2）解：∵x＝n是原一元二次方程的一个实数根，∴mn2－4n－5＝0，∴mn2－4n＝5.又∵mn2－4n＋m＝3＋m2，∴5＋m＝3＋m2.整理，得m2－m－2＝0.

【点拨】Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根.若题目已知一个根，解决代数式问题时，可直接将根代入方程中进行变形，然后寻找变形后的方程与题中所给的方程之间的关系，从而解决问题.

1.已知关于x的方程2kx2＋（8k＋1）x＝－8k有两个不相等的

实数根，则k的取值范围是

⁠.

2.已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.（1）若x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；解：（1）△ABC为等腰三角形.理由如下：把x＝－1代入方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形.（2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；解：（2）△ABC为直角三角形.理由如下：根据题意，得Δ＝（2b）2－4（a＋c）（a－c）＝0，即b2＋c2＝a2.∴△ABC为直角三角形.（3）若△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.解：（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c.∴原方程化为x2＋x＝0.解得x1＝0，x2＝－1.类型三

根与系数的关系的综合运用

（1）已知x＝1是方程x2－kx－2＝0的一个根，则该方程的另一个根为

，k的值为

⁠.x＝－2

－1

【解析】（方法一）设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得1＋x2＝k，

x2＝－2，则k＝－1.∴方程的另一个根为x＝－2，k的值为－1.故答案为x＝－2，

－1.（方法二）∵方程x2－kx－2＝0的一个根是x＝1，∴1－k－2＝0.解得k＝－1.∴方程为x2＋x－2＝0.解得x1＝1，x2＝－2.∴方程的另一个根为x＝－2，k的值为－1.故答案为x＝－2，

－1.【点拨】已知一元二次方程的一个根求另一个根及字母系数的方法有两种，方法一（利用根与系数的关系）：（1）若字母系数在一次项中，先用两根积的关系求出另一个根，再用两根和的关系求字母系数的值；（2）若字母系数在常数项中，先用两根和的关系求出另一个根，再用两根积的关系求字母系数的值.方法二（利用根的定义）：先把已知根代入一元二次方程中，求出字母系数的值，再解一元二次方程，求出另一个根.（2）已知α，β是方程x2＋4x＋2＝0的两个实数根，则α3＋14β＋2072＝

⁠.2024

【解析】

∵α，β是x2＋4x＋2＝0的两个实数根，∴α＋β＝－4，α2＋4α＋2＝0.∴α2＝－4α－2.∴α3＝－4α2－2α＝－4（－4α－2）－2α＝14α＋8.∴α3＋14β＋2072＝14α＋8＋14β＋2072＝14（α＋β）＋2080＝14×（－4）＋2080＝－56＋2080＝2024.故答案为2024.【点拨】解决此类问题首先根据题干告知的根的情况找出相应的根与系数的关系，然后对所求的代数式进行合理降次或拆分处理，再结合方程根的定义和根与系数的关系，运用整体思想进行求解.注意求代数式的值时，不仅要考虑根与系数之间的关系，还要考虑方程根的意义.

－20或2

类型四

一元二次方程的实际应用

某工厂引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产3万个，第三天生产4.32万个.已知每天生产口罩个数增长的百分率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？解：（1）设每天增长的百分率为x.由题意，得3（1＋x）2＝4.32.解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）.∴每天增长的百分率为20％.（2）经调查发现，一条生产线最大产能是9万个/天，若每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少0.3万个/天.①现该厂要保证每天生产口罩39万个，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（9－0.3m）万个/天.由题意，得（1＋m）（9－0.3m）＝39.整理，得m2－29m＋100＝0.解得m1＝4，m2＝25.又∵在增加产能的同时又要节省投入，∴m＝4.即应该增加4条生产线.②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩90万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.②不能.理由如下：假设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（9－0.3a）万个/天.由题意，得（1＋a）（9－0.3a）＝90.化简，得a2－29a＋270＝0.∵Δ＝（－29）2－4×1×270＝－239＜0，∴方程无解.∴不能通过增加生产线，使得每天生产口罩90万个.【点拨】解决一元二次方程类应用题通常都会运用到a（1±x）2＝b这类公式，所以一定要根据题意弄清楚“增长”还是“减少”，经过几次“增长（减少）”.注意在一元二次方程的应用题中解方程之后一定要进行检验：（1）检验计算结果是否正确；（2）检验计算结果是否符合题意.

小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”.已知小伟的家乡每年大约产“留香瓜”600t，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为每千克10元，水果商贩上门收购的价格为每千克8元.利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100t“留香瓜”，水果商贩每千克的收购价将提高1元.假设网上销售价格为每千克20元，本地自产自销的价格仍然为每千克10元.

（2）利用网络平台进行销售后，小伟家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，则每年在网络平台上销售了多少吨“留香瓜”？

类型五

一元二次方程与几何图形的综合

如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P，Q，M，N分别从点A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止.已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP

＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm.（1）当x为何值时，点P与点N重合？解：（1）∵AP＝2xcm，DN＝x2cm，点P，N重合.∴AP＋DN＝AD，即2x＋x2＝20.

（2）当x为何值时，以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

①当点P在点N的左侧时，如图1所示.由题意，得20－（x＋3x）＝20－（2x＋x2）.解得x1＝0（舍去），x2＝2.∴当x＝2时，四边形PQMN是平行四边形.图1②当点P在点N的右侧时，如图2所示.由题意，得20－（x＋3x）＝（2x＋x2）－20.解得x1＝－10（舍去），x2＝4.∴当x＝4时，四边形NQMP是平行四边形.综上所述，当x＝2或x＝4时，以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形.图2【点拨】此类问题是涉及一元二次方程与几何的综合问题.对于动点的分析，一般情况下是找到点运动的关键拐点，再根据具体几何图形构造方程进行求解.注意：在解题过程中，不要遗漏动点运动的任何一种情况，确保分析问题的完整性.

如图，已知在数轴上有A，B两点，点