黑龙江省哈尔滨市建平学校2022-2023学年数学九上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2这六个数中，任取两个数，恰好和为﹣1的概率为（）A． B． C． D．3．在反比例函中，k的值是（）A．2 B．-2 C．1 D．4．若，，则的值为（）A． B． C． D．5．小红抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有1到6的点数，下列事件为必然事件的是（）A．骰子向上一面的点数为偶数 B．骰子向上一面的点数为3C．骰子向上一面的点数小于7 D．骰子向上一面的点数为66．若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm7．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠AOB＝100°，则∠C＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°8．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着原点旋转，所得抛物线的解析式是（）A． B．C． D．9．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等10．下列说法中，不正确的个数是（）①直径是弦；②经过圆内一定点可以作无数条直径；③平分弦的直径垂直于弦；④过三点可以作一个圆；⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点.（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(每小题3分,共24分)11．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．12．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为_____．13．在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽为________cm．(结果保留根号)14．已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为_____．15．已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．16．点（5，﹣）关于原点对称的点的坐标为__________．17．如果等腰△ABC中，，，那么______．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=_______cm．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）已知AB＝4，AE＝1．求BF的长．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（1）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A1B1C1．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积最大．（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）已知抛物线的顶点坐标为（1，2），且经过点（3，10）求这条抛物线的解析式．23．（8分）在如图中，每个正方形有边长为1的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长

1

3

5

7

…

n(奇数)

黑色小正方形个数

…

正方形边长

2

4

6

8

…

n(偶数)

黑色小正方形个数

…

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点且与反比例函数在第一象限的图象交于点轴于点.根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围；动点在轴上，轴交反比例函数的图象于点.若.求点的坐标.25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E,.作线段AP的中垂线MN分别交线段DC,DB,AP,AB于点M,G,F，N.（1）求证：；（2）若，求.（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求的值.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称的定义逐一判断即可.【详解】A选项是中心对称图形,也是轴对称图形,故A符合题意;B选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故B不符合题意;C选项不是中心对称图形,是轴对称图形,故C不符合题意;D选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故D不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查的是中心对称图形的识别和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解决此题的关键.2、D【分析】画树状图展示所有15种等可能的结果数，找出恰好和为-1的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有15种等可能的结果数，其中恰好和为-1的结果数为3，所以任取两个数，恰好和为-1的概率＝．故选：D．【点睛】本题考查的是概率的问题，能够用树状图解决简单概率问题是解题的关键.3、B【分析】根据反比例函数的定义，直接可得出k的值．【详解】∵反比例一般式为：∴k=－1故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的一般式，注意本题的比例系数k是－1而非1．4、D【分析】先利用平方差公式得到=（a+b）（a-b），再把，整体代入即可．【详解】解：=（a+b）（a-b）==．故答案为D．【点睛】本题考查了平方差公式，把a+b和a-b看成一个整体是解题的关键．5、C【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．【详解】A、骰子向上一面的点数为偶数是随机事件，选项错误；B、骰子向上一面的点数为3是随机事件，选项错误；C、骰子向上一面的点数小于7是必然事件，选项正确；D、骰子向上一面的点数为6是随机事件，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了随机事件与必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．6、D【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm），故选D．7、B【分析】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可；【详解】解：∵，∴∠C＝∠AOB，∵∠AOB＝100°，∴∠C＝50°；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.8、A【解析】试题分析：先将原抛物线化为顶点式，易得出与y轴交点，绕与y轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．解：由原抛物线解析式可变为：，∴顶点坐标为（-1，2），又由抛物线绕着原点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点原点中心对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，-2），∴新的抛物线解析式为：．故选A．考点：二次函数图象与几何变换．9、D【分析】根据矩形的判定进行分析即可；【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误；选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；故选D.【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.10、C【分析】①根据弦的定义即可判断；

②根据圆的定义即可判断；

③根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即可判断；

④确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆即可判断；

⑤根据切线的性质：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点即可判断．【详解】解：①直径是特殊的弦．所以①正确，不符合题意；

②经过圆心可以作无数条直径．所以②不正确，符合题意；

③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．所以③不正确，符合题意；

④过不在同一条直线上的三点可以作一个圆．所以④不正确，符合题意；

⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点．所以⑤正确，不符合题意．

故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、确定圆的条件，解决本题的关键是掌握圆的相关定义和性质．二、填空题(每小题3分,共24分)11、80°或120°【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．故答案为80°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．12、(3，﹣10)【分析】首先根据坐标求出正方形的边长为6，进而得到D点坐标，然后根据每旋转4次一个循环，可知第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，即可得出此时D点坐标．【详解】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)，∴AB=3+3=6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=6，∴D(﹣3，10)，∵70=4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时D点与(﹣3，10)关于原点对称，∴此时点D的坐标为(3，﹣10)．故答案为：(3，﹣10)．【点睛】本题考查坐标与图形，根据坐标求出D点坐标，并根据旋转特点找出规律是解题的关键．13、()【解析】设它的宽为xcm．由题意得.∴.点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约为0.618.14、0或1．【分析】当k＝0时，函数为一次函数，满足条件；当k≠0时，利用判别式的意义得到当△＝0时抛物线与x轴只有一个交点，求出此时k的值即可．【详解】当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；当k≠0时，△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，此时抛物线与x轴只有一个交点，综上所述，k的值为0或1．故答案为0或1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注意要分情况讨论．15、1或﹣2【分析】分两种情况讨论：①当m≠n时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m=n时，直接得出答案．【详解】由题意可知：m、n是方程x1+1x﹣1=0的两根，分两种情况讨论：①当m≠n时，由根与系数的关系得：m+n=﹣1，mn=﹣1，∴原式2，②当m=n时，原式=1+1=1．综上所述：的值是1或﹣2．故答案为：1或﹣2．【点睛】本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．16、（-5，）【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．【详解】∵两点关于原点对称，∴横坐标为-5，纵坐标为，故点P（5，−）关于原点对称的点的坐标是：（-5，）．故答案为：（-5，）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．17、；【分析】过点作于点，过点作于点，由于，所以，，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出的长度．【详解】解：过点作于点，过点作于点，，，，AB=AC=3，BE=EC=1，BC=2，又∵，∴BD=,，∵，∴，故答案为：.【点睛】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．18、1【详解】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=AB，∴AB=2CD=2×1=10cm，又∵EF是△ABC的中位线，∴EF=×10=1cm．故答案为1．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．【详解】（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴ODAE∵AB＝4，AE＝1，∴23∴BF＝2．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．20、（1）见解析；（1）见解析【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征找出A1，B1，C1，然后描点即可；

（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（1）如图，△A1B1C1为所作．【点睛】本题考查了作图-根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21、（1）y＝﹣x2﹣x+1；（2）当h＝3时，△AEF的面积最大，最大面积是．（3）存在，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（，）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）由题意可得点E的坐标为（0，h），点F的坐标为（，h），根据S△AEF＝•OE•FE＝•h•＝﹣（h﹣3）2+．利用二次函数的性质即可解决问题．（3）存在．分两种情形情形，分别列出方程即可解决问题．【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），∴，解得：．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+1．（2）∵把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+1，得y＝1，∴点C的坐标为（0，1），设经过点A和点C的直线的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴经过点A和点C的直线的解析式为：y＝2x+1，∵点E在直线y＝h上，∴点E的坐标为（0，h），∴OE＝h，∵点F在直线y＝h上，∴点F的纵坐标为h，把y＝h代入y＝2x+1，得h＝2x+1，解得x＝，∴点F的坐标为（，h），∴EF＝．∴S△AEF＝•OE•FE＝•h•＝﹣（h﹣3）2+，∵﹣＜0且0＜h＜1，∴当h＝3时，△AEF的面积最大，最大面积是．（3）存在符合题意的直线y＝h．∵B（2，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+1，设D（m，﹣3m+1）．①当BM＝BD时，（m﹣2）2+（﹣3m+1）2＝42，解得m＝或（舍弃），∴D（，），此时h＝．②当MD＝BM时，（m+2）2+（﹣3m+1）2＝42，解得m＝或2（舍弃），∴D（，），此时h＝．∵综上所述，存在这样的直线y＝或y＝，使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（，）．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理一次函数的应用等知识，此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．22、y＝1（x﹣1）1+1．【分析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）1+1，代入（3，10）求解即可．【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）1+1，把（3，10）代入得a（3﹣1）1+1＝10，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝1（x﹣1）1+1．【点睛】本题考查了抛物线的问题，掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键．23、（1）1，5，9，13，…，则（奇数）2n-1；4，8，12，16，…，则（偶数）2n（2）存在偶数n=12使得P2=5P1【解析】（1）此题找规律时，显然应分两种情况分析：当n是奇数时，黑色小正方形的个数是对应的奇数；当n是偶数时，黑色小正方形的个数是对应的偶数．（2）分别表示偶数时P1和P2的值，然后列方程求解，进行分析【详解】(1)1,5,9,13,…,则(奇数)2n−1；4,8,12,16,…,则(偶数)2n.(2)由上可知n为偶数时P1=2n,白色与黑色的总数为n2，∴P2=n2−2n，根据题意假设存在,则n2−2n=5×2n，n2−12n=0，解得n=12,n=0(不合题意舍去).故存在偶数n=12,使得P2=5P1.24、或.或.【分析】(1)根据函数图象即可得出答案(2)由已知条件得出点C的坐标为（2，5），再利用B,C的坐标求出直线AC的解析式，可求出A的坐标为（-2，0），由已知条件得出三角形POQ的面积为5，则三角形PAC的面积为10，再利用三角形面积公式可求出PA的值，进而确定P点的坐标.【详解】解：由已知图象得出，当时，y<0,当x=2时，y=5,∴时，所以，x的取值范围为：或.轴于点.点的横坐标为.把代入反比例函数，得.设直线的解析式为，把代入，得直线的解析式为令，解得.轴，点在反比例函数的图象上则，或.【点睛】本题是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，用到的知识点有一次函数的图象与二次函数的图象与性质，此类题目往往需要利用数形结合的方法来求解.25、（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）点D的坐标为（，﹣5）；（3）△BCE的面积有最大值，点E坐标为（，﹣）．【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y＝x2+bx+c即可；（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可；（3）如图2，连接OE，设点E（a，a2﹣a﹣6），由式子S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC即可求出△BCE的面积S与a的函数关系式，由二次函数的图象及性质可求出△BCE的面积最大值，并可写出此时点E坐标．【详解】解：（1）∵OA