高中数学第二章数列2-1-2数列的通项公式与递推公式同步课件新人教A版必修5

第2课时

数列的通项公式与递推公式

主题递推公式1.观察图形,根据下面的说明,回答问题:某剧场有9排座位,第一排有7个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位(如图).写出前五排座位数,第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗?若能,请写出an与an+1的等量关系.提示:前五排座位数分别为7,9,11,13,15,an与an+1能用等式an+1=an+2表示.2.观察数列1,3,7,15,31,63,127,…这个数列中的项有规律吗?它们存在怎样的规律?提示:有,首项为1,从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*).结论:数列递推公式的定义如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项____(或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.an-1【对点训练】1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是 (

)A.an+1=an+n(n∈N*)B.an=an-1+n(n∈N*,n≥2)C.an+1=an+(n+1)(n∈N*,n≥2)D.an=an-1+n+2(n∈N*,n≥2)【解析】选B.由a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,所以an-an-1=n,故an=an-1+n(n∈N*,n≥2).2.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1=an+,此数列的第3项是 (

)A.1 B. C. D.【解析】选C.a1=1,a2=a1+=1,a3=a2+=.2.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1=an+,此数列的第3项是 (

)A.1 B. C. D.【解析】选C.a1=1,a2=a1+=1,a3=a2+=.3.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=3an-2,则a6= (

)A.0 B.1 C.2 D.6【解析】选B.因为a1=1,an+1=3an-2,所以a2=3-2=1,以此类推可得a3=3a2-2=1,a4=3a3-2=1,a5=3a4-2=1,a6=3a5-2=1.类型一由递推公式求数列的项【典例1】已知数列{an}满足:a1=0,an+1=(n∈N*).(1)写出数列{an}的前5项.(2)归纳猜想出该数列的一个通项公式.【解题指南】在递推公式中分别令n=1,2,3,4,结合a1=0,即可得数列的前5项.观察前5项的分子分母的变化规律写出其通项公式.【解析】(1)因为a1=0,an+1=(n∈N*),所以a2==,a3===,所以数列{an}的前5项为0,,,,.(2)由(1)直接观察可以发现a3==,a5==,这样可知an=(n≥2).当n=1时,=0=a1,所以an=(n∈N*).(2)由(1)直接观察可以发现a3==,a5==,这样可知an=(n≥2).当n=1时,=0=a1,所以an=(n∈N*).【方法总结】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.【跟踪训练】1.数列{an}满足1-an=,a10=,则a1=________.

【解析】数列{an}满足1-an=,a10=,可得a9=-1,a8=2,a7=,所以数列的周期为3,a1=a10=.答案:

2.在数列{an}中,已知a1=4,a2=5,且满足an-2an=an-1(n≥3),则a2019= (

)

A. B. C. D.

【解析】选B.由an-2an=an-1(n≥3),可得an=(n≥3).又a1=4,a2=5,所以a3==,a4==,同理可得a5=,a6=,a7=4,a8=5.于是可得数列{an}是周期数列且周期是6.因为2019=6×336+3,所以a2019=a3=.故选B.【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+(n≥2),写出该数列的前5项,并写出它的一个通项公式.【解析】因为a1=1,an=an-1+(n≥2),所以a2=a1+a3=a2+a4=a3+a5=a4+故数列前5项分别为:1,由于故数列{an}的一个通项公式为类型二由递推公式求数列的通项公式【典例2】(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则{an}的通项公式为________.

(2)(2019·六安高一检测)若数列{an}是正项数列,且

=n2+3n(n∈N*),则an=________.

(3)设数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),求{an}的通项公式.【解题指南】(1)将原式an+1=变为即再利用累加法求解.(2)写出n≥2时,前n-1项的和式,相减即得.(3)将原递推公式转化为(n≥2),然后利用累乘法求解.【解析】(1)由an+1=,得,即所以

…以上各式累加得:即=n,an=.答案:an=

(2)数列{an}是正项数列,且(n∈N*),所以=4,即a1=16,n≥2时=(n-1)2+3(n-1)(n∈N*),两式相减得=2n+2, 所以an=4(n+1)2(n≥2)当n=1时,a1=16适合上式,所以an=4(n+1)2.答案:4(n+1)2(3)因为a1=1,an=(n≥2),所以又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.【方法总结】由递推公式求通项公式的两种方法(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项.(2)累乘法:当=g(n)时,常用an=··…··a1求通项.【跟踪训练】已知数列{an}中,a1=2,=3an(n∈N*),求数列{an}的通项公式.【解析】由=3an,得=3,所以将以上各式相乘得

所以an=a1·(n≥2),又a1=2,即当n=1时,a1=2×30=2也满足,所以an=2·.【补偿训练】在数列{an}中,若a1=2且对所有n∈N*满足an+1=an+2,求an.【解析】因为a2=a1+2,a3=a2+2,a4=a3+2,…,an=an-1+2.把以上各式相加得:an=a1+2(n-1)=2+2n-2=2n.【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏【补偿训练】在数列{an}中,若a1=2且对所有n∈N*满足an+1=an+2,求an.【解析】因为a2=a1+2,a3=a2+2,a4=a3+2,…,an=an-1+2.把以上各式相加得:an=a1+2(n-1)=2+2n-2=2n.【解析】由=3an,得=3,所以将以上各式相乘得

所以an=a1·(n≥2),2.观察数列1,3,7,15,31,63,127,…这个数列中的项有规律吗?它们存在怎样的规律?提示:有,首项为1,从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*).【对点训练】1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是 (

)A.an+1=an+n(n∈N*)B.an=an-1+n(n∈N*,n≥2)C.an+1=an+(n+1)(n∈N*,n≥2)D.an=an-1+n+2(n∈N*,n≥2)3.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=3an-2,则a