初中数学综合复习

目录

考前指导：中考数学40个注意点.......................................................2

考试做题几点提示.....................................................................8

一、注意做题技巧.....................................................................8

二、注意解题规范.....................................................................8

三、注意书写工整.....................................................................9

四、注意类比联想.....................................................................9

10种中考数学解题技巧...............................................................10

一、配方法.....................................................................10

二、因式分解法.................................................................10

三、换元法.....................................................................10

四、判别式法与韦达定理.........................................................10

五、待定系数法.................................................................10

六、构造法.....................................................................11

七、反证法.....................................................................11

八、面积法.....................................................................11

九、几何变换法.................................................................11

十、客观性题的解题方法.........................................................12

中考数学常用公式及性质..............................................................13

一、乘法与因式分解.............................................................13

二、鼎的运算性质...............................................................13

三、二次根式...................................................................13

四、三角不等式.................................................................13

五、某些数列前n项之和.........................................................13

六、一元二次方程...............................................................13

七、一次函数...................................................................14

八、反比例函数.................................................................14

九、二次函数...................................................................14

十、统计初步...................................................................17

H-一、频率与概率...............................................................17

十二、锐角三角形...............................................................18

十三、正（余）弦定理...........................................................18

十四、三角函数公式.............................................................18

十五、平面直角坐标系中的有关知识...............................................19

十六、多边形内角和公式.........................................................19

十七、平行线段成比例定理.......................................................19

十八、直角三角形中的射影定理...................................................20

十九、圆的有关性质.............................................................20

二十、三角形的内心与外心......................................................20

^一、弦切角定理及其推论.....................................................20

二十二、相交弦定理、割线定理和切割线定理......................................21

二十三、面积长度公式..........................................................24

几何基本图形1..............................................................................................................................................25

几何基本图形2..............................................................................................................................................29

考前指导：中考数学40个注意点

特别提醒：每位同学均要仔细看3—5遍，记住每句话，方能考出最佳成绩。你的父母、老师

都期待你最好的中考成绩，不能辜负他们的期望。

1、认真审题，不慌不忙，先易后难，不能忽略题目中的任何一个条件。

2、考虑各种简便方法解题。选择题、填空题更是如此（直接法最后考虑）尤其是选择题，有

些可用排除法、特殊值法、画图像解答，不必每题都运算。

3、解各类大题目时脑子里必须反映出该题与平时做的哪条题类似，应反映出似曾相识，又非

曾相识的感觉。

4、注意物理、化学及其它学科习题与数学的联系，应反映出该题的公式，把此题公式与数学

知识联系起来。此类习题不会太难，但容易错。

5、会做的习题不能解错，狠抓基本分（一般先解答好80-100分的基本分）。

6、大题目先把会的一步或两步解好，解题时不会做的先放一放，最后再来解决此类提高问题。

7、实际问题要多读题目，注意认真分析，到题目中寻找等量关系，获取信息，不放过任何一

个条件（包括括号里的信息），且注意解答完整。尤其注意实用题中的圆弧型实物还是抛

物线型的实物。是圆弧找圆心，求半径。是抛物线建立直角坐标系，求解析式。

8、求二次函数解析式，第一步要检验，方可解第二步（第一步不能错，一错全功尽弃）。

9、注意，如果第一步条件少，无从下手时，应认真审题，画草图寻找突破口，才能完成下面

儿步。注意考虑上步结论或上一步推导过程中的结论。

10、熟悉圆中常见辅助线的规律，基础好的学生应力争解出每一步，方可取得高分，基础差

的应会一步解一步，任何学生不可空白。（例如：应用题的题设，存在题的存在一定要

回答）

11、找规律的题目，要重在找出规律，切忌盲目乱填。若是函数关系，解好一定要检验，包

括自变量。若不是函数关系，应寻找指数或其它关系。

12、不得已求角、线段的长，可以猜测或度量法。特别注意形如多项选择题。

13、注意综合题、压轴题•般应从左到右三等分完成，要解清楚，答题要完整，尽量不被扣

分。

14、注意两个答案，方程解得两个答案，有时只有一个答案成立，而有些几何题，却要注意

考虑两种情况。有两种答案的通常有：

（1）圆中①已知两圆半径，公共弦，求圆心距。

②已知弦，求弦所对的圆周角。

③已知半径和两条平行弦，求平行弦间的距离。

④已知两圆半径，求相切时的圆心距（考虑内切、外切）。

⑤两圆内切时，已知圆心距和一圆半径，求另一圆半径。

（2）三角形的高（两种情况）：锐角三角形和钝角三角形不一样。

15、尺规作图，应清楚反映出尺规作图的痕迹，否则会被扣分（-一般作垂直平分线和角平分

线较多），尺规作图中直尺只能用来画直线而不能画垂直，画垂直必须用圆规。

16、注意复杂题目中隐含条件，特别应考虑有没有直角三角形斜边上的高的条件。尤其在圆

中和平面直角坐标系中，考虑用勾股定理、射影定理、解直角三角形、面积公式、斜边

上的中线、内切圆半径公式厂”叱，外接圆半径公式R=£作外接圆、内切圆或直径

22

来完成。

17、注意以下儿点：

（1）见二次方程，二次函数（二次项系数不为0）考虑以下四种方法：

①解方程②把解代入③考虑/④韦达定理。另：二次方程=二次函数

（2）见比例，设参数。例：若@=则可设a=5k,b=4k

b4

（3）求两线段之比或证四条线段成比例，作平行线或证相似。

（4）"/=一（m-1）'eO"（非负数时）m只能取1,/只能等于0。

（5）求参数时，注意检验/（否则要被扣分）。

（6）分式方程（组）不管是式子还是应用题一定要检验。

（7）不把不合题意的答案向下蔓延。

（8）注意单位、设题、答题的完整。

（9）突破中档题、高档题（不许空白），它是夺取110分以上高分的关键。

（10）分析题、开放型习题，会多少解多少，力争提高总分。

（H）调整好心理状态，解答习题时，不要浮躁，力争考出最佳水平。

18、统计初步和概率习题注意：

（1）平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差、加权平均数的计算要准确，权重要化

成百分数。

方差计算公式：$2-尤y+12-+

标准差计算公式：S=+1+]

（2）认真思考样本、总体、个体、样本容量（不带任何单位，只是一个数）在选择题中的

正确判断。（注意研究的对象决定了样本的说法）

（3）掌握好频数、频率、样本容量、频率分布直方图中小长方形的面积与他们的关系。直

方图中每个小长方形的面积等于相应各组频率，小长方形的面积和等于1,直方图中

涉及到的梯形的面积必然小于lo

（4）概率：

①注意概率、机会、频率的共同点和不同点。

②注意题目中隐含求概率的问题。

③画树状图及其它方法求概率。

④摸球模型题注意放回和不放回。

⑤注意在求概率的问题中寻找替代物，常见的替代物有：球，扑克牌，骰子等。

19、圆柱、圆锥侧面展开图、扇形面积及弧长公式

应熟记：（1）S域柱侧二底面周长X母线，S圆柱表=S圈柱恻+2S底

（2）S圆锥便=—底面周长X母线，S圆锥表=S圆锥健+S底

2

njir1

(3)S扇形二------,S取形二—IR9S扇形=7iRr

3602

niR

（4）1弧长二

Tso

（5）^=--360°（以上各式中R为母线长）

R

做圆锥的问题时，常抓住两点：

（1）圆锥母线长等于侧面展开图扇形的半径。

（2）圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长。

20、如图：C是AB的黄金分割点则AC=正二1^AB,BC=匕^AB----------*----

22ACB

（注意填空题中可能会有两个答案）

如图：顶角36°,底角72°的三角形,是黄金三角形，其底边与一腰

之比等于与1«0.618

21、圆中常见辅助线:

(1)见切线连圆心和切点；

(2)两圆相交连结公共弦和连心线(连心线垂直平分公共弦)；

(3)两圆相切，作公切线和连心线，连心线必过切点；

(4)作直径，作弦心距，构造直角三角形，应用勾股定理；

(5)作直径所对的圆周角，把要求的角转化到直角三角形中。

22、求解析式：

(1)正比例函数、反比例函数只要已知一个条件即可

(2)一次函数y=依+6须知两个条件

(3)二次函数的三种形式：一般式、顶点式、交点式要会灵活运用，一般式最后考虑。

尽量不用顶点纵坐标公式及与x轴的两交点距离公式，因为它难解且有两个答案。

设法求出抛物线与x轴的两个交点坐标。

(4)抛物线y=ax2+bx+c(a^0)的顶点坐标为,处士)，

2a4a

抛物线的对称轴：x=-2或%=三土垣(若对称轴在y轴右侧，则a、b符号相反,

2a2

若对称轴在y轴左侧，则a、b符号相同)

(5)求解析式有时要考虑韦达定理：

aa

23、定理证明：

(1)射影定理(用相似)

(2)勾股定理(用射影定理)

(3)等腰梯形的性质、判定，中位线定理(记好常见的辅助线，不能用定理证定理)

(4)平行四边形、矩形、菱形、正方形中的有关定理

24、(1)是轴对称图形但不是中心对称的图形有：角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、

正n边形(n为奇数)

(2)是中心对称图形但不是轴对称图形有：平行四边形

(3)既是轴对称图形又是中心对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、圆、正n边

形(n为偶数)

25、n边形的内角和计算公式：(〃-2>180。，外角和为360。

26、圆的外切四边形的两组对边和相等(边的关系)

圆的内接四边形对角互补，每个外角等于它的内对角(角的关系)

27、任意四边形的中点四边形都为平行四边形；

顺次连接对角线相等的四边形的中点的四边形是菱形；

顺次连接对角线互相垂直的四边形的中点的四边形是矩形

28、有外接圆的图形：三角形、等腰梯形、矩形、正方形、正n边形

有内切圆的图形：三角形、菱形、正方形、正n边形

29、平面镶嵌记住：i+-+-=-(x,y,z为不同的正多边形的边数)或者一点处所有内角和

xyz2

为360°

30、遇到要求线段的取值范围，一般要把它放到三角形中。

31、因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑公式法。一定要注意最后结果要分解到不能再分。

32、求角的关系常用：①三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

②同角的余角相等；等角的余角相等。

③圆内接四边形的对角互补。

33、乘法公式及常见变形：

①=a2+2ab+b2

②(a+/?)(a-£>)=a2-b2

③a2+b2=(a+/?)2-lab=(a-b)2+2ab

④(^a+by-^a-by+4ab

34Va(a>0)；yfa>0；=a；4^=|a|

35、逆命题就是将条件和结论互换。反证法第一步应假设与结论相反的情况。

36、在三角函数的计算中，应把角放到直角三角形中，可以作必要的辅助线。

30°45°60°

]_V3

sin9也

2

V3

coso也

T2

百

tan0V3

T1

37、注意仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。

俯角、坡度。坡度是斜坡与水平面之间的夹角的正切值，坡度为一比儿如：1：6

38、三个视图之间的长、宽、高关系。即长对正，宽相等，高平齐。

主

左

视

视

图

39、合理运用以下几点应试技巧来解各种题型：图

选择题|在做选择题可运用各种解题的方法：如直接法，特殊值

法，排除法，验证法，图解法，假设法（即反证法）动

俯

手操作法（比如折一折，量一量等方法），对于选择题视

图

中有“或”的选项一定要警惕，看看要不要取舍。

填空题|注意一•题多解的情况。

解答题

（1）注意规范答题，过程和结论都要书写规范。

（2）计算题一定要细心，最后答案要最简，要保证绝对正确。

（3）先化简后求值问题，要先化到最简，代入求值时要注意：分母不为零；适当考虑技

巧，如整体代入。

（4）解分式方程一定要检验，应用题中也是如此。

（5）解直角三角形问题。注意交代辅助线的作法，解题步骤。关注直角、特殊角。取近

似值时一定要按照题目要求。

（6）实际应用问题，题目长，多读题，根据题意，找准关系，列方程、不等式（组）或

函数关系式。最后要注意验根和答。

（7）概率题：要通过画树状图、列表或列举，列出所有等可能的结果，然后再计算概率。

（8）证明题：在证明时只能直接用附录2中所列的证明的依据，其余遇有用到平时补充

结论，要合情推理。

（9）方案设计题：要看清楚题目的设计要求，设计时考虑满足要求的最简方案，不要考

虑复杂、追求美观的方案。

（10）若压轴题最后一步确实无从下手，可以放弃，不如把时间放在检验别的题目上，

对于存在性问题，要注意可能有几种情况不要遗漏。对于运动型问题，注意要通过

多画草图的方法把运动过程搞清楚，也要考虑可能有儿种情况。

40、中考对答题的要求很高，所以同学们在答题前应设计好答案的整个布局，分成儿栏来答

题，字要大小适中，不要把答案写在规定的区域以外的地方。否则扫描时不能扫到你所

写的答案。

画图用2B铅笔多描几次，答卷用0.5毫米的黑色中性笔。

若试题难，遵循“你难我难，我不怕难”的原则，

若试题易，则遵循“你易我易，我不大意”的原则。

考试时牢记以上40点，老师相信同学们一定能考出理想的成绩！

考试做题几点提示

中考即到，为了帮助部分同学克服考试中的不良习惯，以便取得较好的成绩，现就考试

中应注意的问题归纳如下：

一、注意做题技巧

考试是规定的时间内完成一定数量的题目，既要既考查你对所学知识的掌握情况，又考

查你的解题技巧以及解题速度等。所以考试做题要掌握一定的解题技巧。拿到试卷后，不要

拿过来就写，而要看一看试卷前面的解题要求，试题的类型，如选择题几道，填空题几道，

解答题共几道，哪题相对容易些等，要做到心中有数。做题时最好先做容易的题目，把较难

题放在后边做。这是因为考试的时间是有限制的，若先解答难题，则用的时间较多，造成时

间分配的不合理和心理上的紧张，可能把解答两道难题后，时间就用去大半了。以至造成简

单会做的题而没有时间去做。

解答选择题时，要注意灵活选用解题方法。因为i道题可能有儿种不同的解题方法，如

直接计算法、排除法、对比法、特殊值代入法等，而选择题不要求步骤，所以解答选择题时,

要根据题目的特征选择不同的解题方法。

解答填空题时，要注意解题结果的准确性。由于填空题没有解题步骤，只需要填上准确

的结果。这就要求计算要特别的细致。考虑问题要全面，不能出现漏解或多填的情况。如和

绝对值有关的题目往往有两个解，若考虑变化不周，只填一个解，就不正确了。做选择题时,

还要注意一些细节问题，如当代数式以和的形式出现，且后面有单位时，一定要用括号将代

数式括起来等。

解答大题时，要认真审题，尽量把解题思路想好，然后在动笔书写。有的同学在做题时,

对题的大意还不很清楚，解题思路不十分明确，而拿题就写，结果写到中间就出现了搁浅或

发现错误现象，然后划去，再从头开始，这样势必耽误时间。所以在解答大题时，应先理清

思路，不要走弯路。另外还要注意，当某一大题会做时，要注意把解题的步骤写好。因为大

题是有步骤分的。有关的同学对大题也会做，就是在考完时得分不高，以至抱怨改的太严，

而实际上是他解答大题时的只写出最后的答案，而失去步骤分造成的。所以做解答题时，认

真书写解题步骤是十分必要的。

二、注意解题规范

考试中，无论是计算题或是画图题，都要注意解题的规范性，而有的同学由于平时做题

不能严格要求自己，以至在考试中仍然出现徒手画图，计算时出现23写出23,3X2写成3o2

的现象。这些现象都是造成失分的原因之一。所以考试做题时,要注意解题的规范性，画图时要

用画图工具，计算时书写要认真规范。只有这样才能使该得的分数不易丢失。

三、注意书写工整

考试中，书写时字迹要清晰工整，不能乱写乱画，字迹潦草。有的同学由于平时不能严

格要求自己，书写不认真。而在考试中仍旧出现乱写乱画，字迹潦草的现象。这样就可能导

致批阅老师的误判，出现实际会做的题而没有得分。如做选择题选项时，有的同学写的B、D

不分，本来正确选项为B,而不规范地把B写的像D,造成了批阅上的误判。可见，书写工

整在考试做题中是非常必要的。

四、注意类比联想

中考不光考查对基础知识掌握的情况，还注重了综合能力考查。在解答综合探索型题目

时，有的学生往往不知如何思考分析，以至遇到综合探索题就畏惧而放弃。实际上，综合探

索题也是由一些所学的知识点构成的，认真审题，注意联想涉及知识点，从多个角度去思考

分析问题，是可以解决的。

在考试中，只要你能选择良好的解题策略，严格规范操作，克服不良习惯，定会取得比

较理想的考试效果。

10种中考数学解题技巧

一、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多

项式正整数次基的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配

成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因

式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到

它。

二、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，

它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相

乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

三、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数

称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部

分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

四、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R,aWO）根的判别，△=b2-4ac,不仅用来判定

根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至

儿何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个

数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解

一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

五、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数,

而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系

数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用

的方法之一。

六、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它

可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条

件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造

法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

七、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设

出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用

反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有

必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于;

大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n—1）

个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导

将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;

与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

八、面积法

平面儿何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用

于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明

或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面儿何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未

知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解儿何题，儿何元

素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助

线，也很容易考虑到。

九、几何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。

所谓变换是一-个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变

换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助儿何变换法，化繁为

简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条

件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：(1)平移；(2)旋转；(3)对称。

十、客观性题的解题方法

选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题

型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷

的容量和知识覆盖面。

填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面

广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未

给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。

要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解

选择题、填空题的方法与技巧。下而通过实例介绍常用方法。

(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算,

得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。

(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的

答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,

常用此法。

(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解

答。这种方法叫特殊元素法。

(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，

把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。

(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称

为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。

(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正

确的结果，称为分析法。

中考数学常用公式及性质

一、乘法与因式分解

①(a+Z?)(a—Li)=a—b~；②(a+H)2=a2±2^Z?+Z?2；③(a+b)(才一=/+加；

(4)(a—8)(/+劭+//)=3一从a+b2=(a+H)2—2ab；(a—8)=(a+垃”-4ab。

二、塞的运算性质

①a"Xa"=a"'"；②a"+a"=a""；③GT=eT；④(a6)"=a*'；⑤(q)"=《；

bb"

⑥a"=%特别：$）"=（》"；⑦a°=lg）。

二次根式

=

①(痴)2=a(a20)；②亚=IaI;③^^=亚乂防；④J—~^(a>0,620)。

四、三角不等式

|a|-|b||a±b||a|+|b|(定理)；

加强条件：||a|-|b||W|a土b|W|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等

式(其中a,b分别为向量a和向量b)

|a+b|^|a|+1b|；|a-b|^|a|+1b|；|a|Wb〈=〉-bWaWb；

Ia-b|^|a|-1b|；-|a|WaW|a|；

五、某些数列前n项之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-l)=n2；

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)；

l2+22+32+42+52+62+72+82+-+n2=n(n+1)(2n+l)/6；

13+23+33+43+53+63+---n3=n2(n+1)74；

l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；

六、一元二次方程

对于方程：ax+bx+c—0：

-b±yJb2-4ac

①求根公式是x=工,其中△=A?-4ac叫做根的判别式。

当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；

当△=（）时，方程有两个相等的实数根；

当△<（）时，方程没有实数根。注意：当△》（）时，方程有实数根。

②若方程有两个实数根耳和莅，则二次三项式a*+Z?x+c可分解为a（x—M）（x—天）。

③以a和8为根的一元二次方程是f—（a+8）x+a8=0。

七、一次函数

一次函数y=Ax+MMO）的图象是一条直线（6是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截

距）。

①当4>0时，y随x的增大而增大（直线从左向右上升）；

②当在V0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降）；

③特别地：当6=0时，尸取（AW0）又叫做正比例函数（y与x成正比例），图象必过原点。

八、反比例函数

k

反比例函数y=7（A#0）的图象叫做双曲线。

①当4>0时，双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降）；

②当*V0时，双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升）。

九、二次函数

（1）定义：

一般地，如果y=ax?+Z?x+c（a,8,c是常数，a70）,那么y叫做x的二次函数。

（2）抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①。的符号决定抛物线的开口方向：当。>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

时相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y轴（或重合）的直线记作x=〃.特别地，y轴记作直线x=0。

（3）几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2x=0(y轴)(0,0)

y-ax2+左x=0(y轴)(0,A)

当a>0时

开口向上；

y-a{x-h^x=h(/z.O)

当a<0时

开口向下

y-a(x-〃I+Zx=h(h,k)

h(b4ac-b2)

y=ax2+/?x+cx=---

2a2a'4a

（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法

①公式法：y=ax2+bx+C=Jx+2丫+处卫，

/.顶点是（一2,也上I）,对称轴是直线》=-2。

2a4a2a

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-的形式，得到

顶点为（〃，左），对称轴是直线x=〃。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线

的交点是顶点。

若已知抛物线上两点（%,），）、（々,>）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：

X,

x=-----

2

（5）抛物线y=a*+bx+c中，”，Ac的作用

①。决定开口方向及开口大小，这与y=al中的a完全一样。

②b和。共同决定抛物线对称轴的位置。

由于抛物线y="2+bx+c的对称轴是直线。x=-—,故：

2a

I匕=0时，对称轴为y轴；

h

II—>0（即a、Z?同号）时，对称轴在y轴左侧；

a

b

III-<0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。

a

③c的大小决定抛物线y=ax?+Z?x+c与y轴交点的位置。

当x=0时，y=c,••.抛物线yuad+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：

I，=0,抛物线经过原点；

II与轴交于正半轴；

III，<°,与'轴交于负半轴。

h

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在y轴右侧，则-<0»

a

(6)用待定系数法求二次函数的解析式

2

①一般式：y=ax+bx+c0已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。

②顶点式：y^a(x-h)2+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

③交点式：已知图像与x轴的交点坐标X］、,通常选用交点式：y=a(x-%,X-V--^2)°

(7)直线与抛物线的交点

①y轴与抛物线y+bx+c得交点为(0,c)0

②抛物线与x轴的交点。

二次函数y=a/+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标修、x2,是对应一元二次方

程公2+法+c=0的两个实数根。抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的

判别式判定：

a有两个交点o(△>())o抛物线与x轴相交；

b有一个交点(顶点在x轴上)o(A=0)o抛物线与x轴相切：

C没有交点O(△<())。抛物线与X轴相离。

③平行于X轴的直线与抛物线的交点

同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等,

设纵坐标为左，则横坐标是a/+bx+c=攵的两个实数根。

④一次函数》=履+〃(攵。0)的图像/与二次函数)-0?+区+电工0)的图像6的交点，

'y=kx+n

由方程组,的解的数目来确定：

y-ax+bx+c

a方程组有两组不同的解时o/与G有两个交点；

b方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；

c方程组无解时。/与G没有交点。

⑤抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=aX2+8x+c与x轴两交点为

A（X],O}fi（x2>0）>则48=归-引

十、统计初步

（1）概念：

①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体。从总体中抽取的一

部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。

②在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数。

③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数

据的中位数。

（2）公式：设有〃个数%,如…，x”,那么：

①平均数为：7=♦+♦+……+.；

n

②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种

方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；

③方差：数据再、X2……，X“的方差为『，

则§2_-x）~+“2幻~H-----b（x“一x）"

n

④标准差：方差的算术平方根。

数据修、x2……,/的标准差s,

J&力2+（电-Xi+…+（X£X）2

则S=n

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

H^一、频率与概率

（1）频率

频率=幽,各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1,频率分布直方图中

总数

各个小长方形的面积为各组频率。

（2）概率

十二、锐角三角形

乙4的对边

①设N1是AABC的任一锐角，则N/的正弦：sin4=斜边,

的邻边的对边

N4的余弦：cosA=斜边，N力的正切：tan/=N"物邻边.并且sinM+cos2/=l。

OVsin/Vl,OVcosIVl,tan/>0。/力越大，//的正弦和正切值越大，余弦值反而越

小。

②余角公式：sin(90°—A)=cos/,cos(90。-4)=sin/。

③特殊角的三角函数值：sin30°=cos60°=2,sin45°=cos45°=2,

sin60°=cos30°=~,tan30°=~,tan45°=1,tan60°=技。

铅垂高度hh

④斜坡的坡度：/=水平宽度=丁。设坡角为a,则7=tana=ioh

1

十三、正(余)弦定理

(1)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中R表示三角形的外接圆半径。

正弦定理的变形公式：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c

(2)余弦定理b"=a2+c2-2accosB；a2=b'+c2-2bccosA；c2=aJ+b'-2abcosC；

注：NC所对的边为c,NB所对的边为b,NA所对的边为a

十四、三角函数公式

(1)两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

(2)倍角公式

tan2A=2tanA/(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-l)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

(3)半角公式

sin(A/2)=V((1-cosA)/2)sin(A/2)=-V((1-cosA)/2)

cos(A/2)=V((l+cosA)/2)cos(A/2)=-V((1+cosA)/2)

tan(A/2)=V((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-V((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=J((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-V((1+cosA)/((1-cosA))

(4)和差化积

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinBctgA-ctgB=~sin(A-B)/sinAsinB

(5)积化和差

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

十五、平面直角坐标系中的有关知识

(1)对称性：若直角坐标系内一点P(a,b),则P关于x轴对称的点为P(a,-6),

P关于y轴对称的点为P2(—a,b),关于原点对称的点为P3(—a,—6)。

(2)坐标平移：若直角坐标系内一点P(a,b)向左平移力个单位，坐标变为PQa-h,

b),向右平移力个单位，坐标变为P(a+力，b)；向上平移力个单位，坐标变为P(a,b+h),

向下平移力个单位，坐标变为P(a,b—h)。如：点A(2,-1)向上平移2个单位，再向右

平移5个单位，则坐标变为A(7,1)。

十六、多边形内角和公式

〃边形的内角和等于等一2)180。"23,〃是正整数),外角和等于360。。

十七、平行线段成比例定理

(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图：a//b//c,直线L与乙分别与直线a、b、c相交与点4B、。和以E、F,

则有AB_DEAB_DEBC_EF。

~BC~~EF'~AC~~DF'~AC~~DF

(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段

成比例。如图：XABC中，DE〃BC,DE与48、然相交与点D、E,则有：丝=丝ADAEDEDBEC

DBEC'AB=AC=BC'AB=AC

C/

B

CC

十八、直角三角形中的射影定理C

如图：中，N/%=90",CDLAB于D,\

则有：(1)CD2=ADBD(2)AC2=ADAB(3)BC?=BD-ABADB

十九、圆的有关性质

(1)垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任