12 概率与统计（基础卷）（解析版）

2025年普通高等学校对口招生考试数学二轮复习单元专项卷第十一章概率与统计（基础卷）选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．的展开式中含的项是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于可得的值，即可求解.【详解】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．故选：C.2．音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（

）A．30种 B．75种 C．10种 D．20种【答案】D【分析】由简单计数原理求不同选法数.【详解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任选一首播放，不同的选法共有种.故选：D3．的展开式中，二项式系数最大的是（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.【详解】由二项式，可得其展开式共有9项，根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大.故选：C.4．甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲､乙两人下成平局的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据概率的基本性质求甲､乙两人下成平局的概率.【详解】由题设，甲获胜概率为，乙获胜（即甲输）概率为，所以甲乙平局的概率为.故选：A5．已知数据的平均数是5，则这组数据的标准差为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平均数得到，进而利用方程和标准差公式求出答案.【详解】由题意得，解得，故这组数据的方差为，故标准差为.故选：D6．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】由中位数定义即可得.【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.7．某学校高三年级有男生640人，女生360人．为了解高三学生参加体育运动的情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本容量分别为（

）A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18【答案】D【分析】由分层抽样的定义求解即可.【详解】根据分层抽样的定义，知男生共抽取（人），女生共抽取（人）．故选：D．8．某校高二年级有学生1400人，其中女生714人，用分层抽样方法抽取容量为100的一个样本，则所抽男生人数是（

）A．52 B．51 C．49 D．48【答案】C【分析】直接根据男生占总人数的比例来求解即可.【详解】根据男女生人数情况可得所抽男生人数是.故选：C.9．某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为（

）A．11 B．10 C．20 D．30【答案】D【分析】由分步乘法计数原理即可得到结果.【详解】先从5门选修课中选择1门，有5种选法；再从4个课外活动中选择2个，有种选法.所以该学生不同的选择种数为.故选：D.10．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为A．72种 B．36种 C．54种 D．24种【答案】B【详解】试题分析：乙如果与两人相邻，则一定是丁与戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则乙和丁戊共同构成人一团，从五个位置中选个相邻的位置共有种方法，而甲乙互换又有两种，则有种，乙如果在首末两位，则有两种选择与乙相邻的只有丁和戊，其余的三个位置随便排种结果，根据分步计数原理知共有种，根据分类计数原理，可得不同的排法种数为种，故选B．考点：计数原理的应用．【方法点晴】本题主要考查了排列、组合和计数原理的应用，对于站队问题是排列、组合的典型问题，解答时，要先排有限制条件多的元素，再排其它元素，本题解答的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果后再还原为实际问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则.【答案】【分析】由二项式系数的和为即可得.【详解】，所以.故答案为：.12．6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有种不同的排法.【答案】【分析】先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人可得答案.【详解】插空法，.故答案为：480.13．某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有种.（用数字作答）【答案】96【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择，当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择，故共有种选择.故答案为：9614．的展开式中项的系数为．【答案】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式中项的系数为.故答案为：15．名男生和名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为．【答案】/【分析】根据排列以及古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】名男生和名女生站成一排照相，基本事件有种，其中男生站一起的事件有种，所以男生站在一起的概率为.故答案为：三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（5分）在一次猜灯速的活动中，共有20道灯谜，甲乙两名同学之间独立竞猜.甲同学猜对了16道，乙同学猜对了12道，假设猜对每道灯谜都是等可能的.(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.【答案】(1)甲猜对概率为，乙猜对概率为(2)【分析】（1）根据古典概型的知识求得正确答案.（2）利用对立事件的知识求得正确答案.【详解】（1）甲猜对的概率为，乙猜对的概率为.（2）甲乙都没有猜对的概率为，所以甲和乙至少一人猜对的概率为.17．（5分）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64.(1)求的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1)(2)【分析】（1）令可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解；（2）根据二项式系数的性质可知第4项的二项式系数最大，再根据二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）令，得展开式中各项系数之和为，且二项式系数之和为，由题意可得：，解得.（2）由（1）知，展开式共有7项，则第4项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为.18．（10分）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果.（2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列.【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：.数学老师多于语文老师的选法有：①1名数学，2名英语的选法：种；②2名数学的选法有：种.所以数学老师多于语文老师的选法有：种.故数学老师多于语文老师的概率为：.（2）由题意，的可能取值为：0，1，2.，，.所以的分布列为：0120.20.60.219．（10分）己知的展开式二项式系数和为64.(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1)60(2).【分析】（1）由二项系数和确定n,再利用二项展开式的通项公式求解（2）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解【详解】（1）由题意得：，解得由通项公式，令，可得：.则常数项为（2）是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，∴展开式中二项式系数最大的项为.20．（10分）袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球，(1)求取出的红球数的概率分布列；(2)若取到每个红球得2分，取到每个黑球得1分，求得分不超过5分的概率．【答案】(1)分布列见解析(2)【分析】（1）根据题意得到随机变量的可能取值，求出相对应的概率，列出分布列即可．（2）根据题意取出的球中有1个红球和3个黑球的情况或4个黑球的情况的概率即可求解.【详解】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3所以，，，所以随机变量的分布列为：0123（2）设“取出4个球得分不超过5分”的事件记为，则事件表示取出的球中有1个红球和3个黑球的情况或4个黑球的情况，则.21．（10分）甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．(1)求甲赢得比赛的概率；(2)记比赛结束时的总局数为，写出的分布列，并求出的期望值．【答案】(1)(2)分布列见详解，.【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【详解】（1）比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①

甲连赢3局：；②

前3局2胜1负，第4局甲赢：;③

前4局甲2胜2负，第5局甲赢：，所以甲赢得比赛的概率为.（2）可以取3，4，5所以,,,由此可得的分布列为：345所以.22．（10分）某地要从2名男运动员､4名