2023年上海市静安区高三高考二模数学试卷含答案

2023届静安区高三二模考试数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每

题5分）

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果。】

1,若集合4=｛2,1。82°｝，5=｛。,力｝,且Ac3=｛0｝,则=0

2.已知｛"■｝是公比为4的等比数列，且%、％、延成等差数列，则相=。

2

z=-----

3若复数1+i（i为虚数单位），则|z-i|=。

已知A（1,2）,两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为

___________O

5.已知cw（°/）,且3cos2a—8cosa=5,则cosa=。

6,已知△ABC中，sinA=3sinCcosB,且AB=2,则△ABC面积的最大值为

X

/（x）=--------（a>0）

7.已知函数.2'+1为偶函数，则函数/（X）的值域为o

”（I㈤卜£仿+。（2"3b）=4,

8.已知向量、，，且〃的夹角为3,\>V），则力在&方向

上的投影向量等于。

9.某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估

计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示。得到脂肪含量和

体重的数据如下

个体编号体重x(kg)脂肪含量y（%）

18928

28827

36624

45923

59329

67325

78229

87725

910030

106723

建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：o(结果中回归系数保留三位小数)

10.如图，正方体ABCD-A14GA中，E为AB的中点，尸为正方形8CGg的中心，则

直线EF与侧面BB'C'C所成角的正切值是。

11.今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎。标识质量为500g

的这种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布N(500,2.5?)的随机变量。若质量指标

介于495g(含)至505g(含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，

是合格包装的可能性大小为%。(结果保留一位小数)

(已知0)(1)«0.8413,0(2)«0.9772,0(3)®0.9987.①(x)表示标准正态分布的密度函

数从-8到x的累计面积)

12.若lO'TO'=10,其中X,yeR,则2%一丁的最小值为。

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题

每题5分)【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将

代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分。】

13.若直线/的方向向量为a,平面a的法向量为“，则能使/〃a的是()

Aa=(1,0,0),ri=(-2,0,0)ga=(1,3,5),力=(1,0,1)

Ca=(1,-1,3),«=(0,3,1)口a=(0,2,1),”=(-1,0,-1)

14.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“SkyRing”摩天轮是上海首

个悬臂式屋顶摩天轮。摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个

极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野。游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入

轿舱，开启后按逆时针匀速旋转/分钟后，游客距离地面的高度为〃米，

〃=-28cos?+78。若在4,‘2时刻，游客距离地面的高度相等，则4+’2的最小值

为（）

A.6B.12C.18D.24

15.设直线4：x-2y-2=0与/2关于直线/:2x—4-4=0对称，则直线4的方程是

()

.llx+2y-22=0Rllx+y+22=0

c5x+^-ll=0D10x+y-22=0

16.函数y=Wnx()

A.严格增函数

fol]fiJ

B.在Ie,上是严格增函数，在+1上是严格减函数

C.严格减函数

D.在Iej上是严格减函数,在J上是严格增函数

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。】

17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6

分）

已知各项均为正数的数列｛勺｝满足4=1'%=2%T+3（正整数2）

（1）求证：数列｛6,+3｝是等比数列；

（2）求数列｛%｝的前n项和S”。

18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7

分）

如图，在五面体ABCDE尸中，FA_L平面ABCD,AD//BC//FE,ABJ_A£>,若

AD=2,AF=AB=BC=FE=1。

（1）求五面体ABCDE尸的体积；

（2）若M为EC的中点，求证：平面CDEJ■平面AMD。

8

19.（本题满分16分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8

分）

22

£._21=1

已知双曲线「：/"（其中。>°，”>°）的左、右焦点分别为6（-C,0）、

（C,0）（其中。>°）。

_垃71

y——x—

（1）若双曲线r过点（2,1）且一条渐近线方程为2；直线/的倾斜角为4,在

了轴上的截距为-2。直线/与该双曲线r交于两点A、B,M为线段AB的中点，求4

时打入的面积；

（2）以坐标原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线「在第一象限的交点为匕过P

作圆的切线，若切线的斜率为-石，求双曲线「的离心率。

20.（本题满分16分，本题共有2个问题，问题（1）满分8分，问题（2）满分8分）

概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛。请解决下列两个问题。

（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春

天。某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮

球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）。每次训

练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处。设第一次训练时取到的新

球个数为。求随机变量自的分布和期望。

（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？

研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接

听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话。其中脑瘤部位在左侧的

病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位

在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有

19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人。

根据上述信息写出下面这张2x2列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位

是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验。（显著性水平a=0.05）

习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计

脑瘤部位在左侧的病人ah42

脑瘤部位在右侧的病人Cd46

总计a+cb+d88

2n[ad-hcY

参考公式及数据：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中,

n=a+b+c+d,＞3.841）«0.05

21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6

分，第（3）小题满分8分）

=—%2-（«+1）%+«Inx

已知函数2。（其中。为常数）

（1）若。=一2,求曲线'=/（》）在点（2,7（2））处的切线方程；

（2）当。＜0时，求函数'=/。）的最小值；

（3）当0«。＜1时，试讨论函数'=/（"）的零点个数，并说明理由。

2023届静安区二模参考答案

2023.4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每

题5分）

I.{0,1,2}3.百至+或

V2

7.（0,2]8.（4,4）9、^=0.186x4-11.571102

11.95.4或95.5都对12、l+21g2

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题

每题5分）

13.C14.B15.A16.D

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相

应编号的规定区域内写出必要的步骤。】

17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6

分）

解：（1）证明：已知递推公式。"=2%一|+3,两边同时加上3,得

%+3=2（%+3）（心2）,

鸟=2（〃22）,

an>O,a„+3>Oj故。“T+3

%+3=2%+3+3=2）

（直接将已知递推公式代入等比数列定义计算也可："M+3

又％+3=4,所以数列｛1+3｝是以4+3=4为首项、以2为公比的等比数列。

+l）,+2

an=2"-3,Sn=4（J2）=2—4—3〃

（2）数列｛%+3｝通项公式为1-2

18.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7

分)

解：证明(1)因为AD=2,AF=AB=BC=FE=\,取AD中点N,连接EN,因为

AD//BC//FE，所以EN//AF,EN=AF=l,CN〃=AB=1

又FA_L平面ABCD,AB±ADa

所以EN_L平面ABCD,ABRNCE为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1,三棱锥

E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形。

五面体ABCDEF的体积=棱柱ABF-NCE的体积+棱锥E-CDN的体积。

V=—xlxlxl+—X—xlxl=—.

即：2323

(2)以A为坐标原点，以AB,AD,Ab为x，、z轴正半轴建立空间直角坐标系。

j_j_

点C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),M(2,1,2),所以

_____/11\

AD=(O,2,O),MD=--,1,--,C£=(-l,0,l)

I2Z)

CEAD=0,CEMD=---=0

^..CELAD^ELMD

n\kA

所以CE_L平面AMD

又CEu平面CDE,

平面CDE_L平面AMD

证法2：因为AC=AE=J5,所以4ACE为等腰三角形，M为EC的中点，所以

AMICE；

同理在ANCE中，MNICE,（N为AD中点）

又A例、MNu平面AMD,

所以CE_L平面AMD

又CEu平面CDE,

平面平面AMD。

（说明：推导CEL平面AMD的路径不唯一）

19.（本题满分16分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8

分）

22

X）广-1J

--7T-1y^±-x

解：（1）双曲线「：ab渐近线方程为a,已知一条渐近线方程为

，-也x41_]

2，所以。=四，双曲线「经过点（2,1）,所以/b-,

解得cr=2力-=1

2

X2_1

----y=1

所以，双曲线「2

71

直线/的倾斜角为I,则斜率为1,方程为：y=x-2,代入双曲线方程得：

X2-8X+10=0,设两点A、B坐标分别为（再，*）、（“2,%）,M（x,y）,则

X+/=8,x=4,y=2

时=26,△峥6的面积石'2=2石

222

（2）圆方程：x+y=c

方法1：设过P作圆的切线与X轴交于点Q,由PQ斜率为-6,可知直角三角形POQ

中，OP=c,4PQ0WPQ=^-c,0Q=不，从而点p的纵坐标等于5c,

222

因为点p在圆厂+y-=c上，所以代入计算得点「的横坐标等于2c,点尸又在双曲线

炉V731

------1---

r：/F上，将（2c,2c）代入得岑一旨=4

a2b2

离心率e=£>l,b2=c2-a2,所以3e2-p=4,整理得3e“一8e?+4=0,解得

aez-l

e2=2,所以双曲线「的离心率为返。

£

方法2：将圆方程与椭圆方程联立，求得P(W至，C),过点尸的切线方程为

C

。迎%+gy_=0,若该切线的斜率为一G,则_a4b：+色,1=_匾,即

a2(Z?2+c2)=3b4-b2=c2—Q?代入整理得：3c4-8a2c2+4a4=o.e=->1,3e4—

a

8e2+4=0,解得e2=2,所以双曲线「的离心率为加。

20.(本题满分16分，本题共有2个问题，问题(1)满分8分，问题(2)满分8分)

(1)解：第一次训练时所取的球是从6个球(3新，3旧)中不放回取出2个球，所以可

判断出自服从超几何分布，4可取的值为0,1,2

=0)=|=|P(f=i)=等=|p(f=2)=L

/012\

.♦七的分布为：131

\555/

131

E(^=Ox—+lx—+2x—=1

•555

(2)a=14,b=28,c=19,d=27,Q+C=33,b+d=55

提出原假设H0:患脑瘤在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关。

计算Z的值，/B0.595

统计决断：由P(/23.841)=0.05,而0.595<3.841,小概率事件没有发生，故不能否

定原假设.

因此，脑瘤病患在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关，或者说，长时间使用手

机与是否得脑瘤没有显著关系

21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6

分，第(3)小题满分8分)

解：(1)当。=-2时，f(2)=2+2-2ln2=4-2ln2,

一)=