八年级数学上册 第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷（沪科版 2024年秋）

八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷（沪科版2024年秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)题序12345678910答案1.在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是()A．2，3，4 B．3，6，6 C．2，2，6 D．5，6，72．如图，在△ABC中，BC边上的高为()A．线段AE B．线段BE C．线段BD D．线段CF(第2题)(第6题)(第7题)3．下列命题的逆命题为真命题的是()A．对顶角相等 B．如果a＝b，那么a2n＝b2nC．若a>b，则a2>b2 D．同位角相等，两直线平行4．下面是直角三角形的三个内角的度数比的是()A．4∶27∶25 B．1∶1∶2C．2∶3∶6 D．都是直角三角形5．已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部”．小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是()A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形6．如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，DE＝2，则CD的长度为()A．9 B．7 C．5 D．47．一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为()A．10° B．15° C．20° D．25°8．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得到五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为()(第8题)A．58° B．64° C．66° D．72°9．如图，在△ABC中，点G是BC边上任意一点，点D，E，F分别是AG，BD，CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为()A．6 B．8 C．12 D．4(第9题)(第10题)(第12题)10．如图，直线AB∥CD，BE⊥EF交于点E，连接CF，则∠B，∠C与∠EFC之间的数量关系是()A．∠EFC＝∠B＋∠C B．∠B＋∠C＋∠EFC＝180°C．∠EFC＋∠B＝90°＋∠C D．∠C＋∠EFC＝180°＋∠B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．把命题“和为180°的两个角互为补角”写成“如果……那么……”的形式是________________________________________________________．12．如图，已知∠ABC＝90°，点D是BC上一定点，点E是射线BA上一动点，∠CDE的平分线DM和∠AED的平分线EM交于点M，则∠DME的度数为________．13．用长度相等的50根火柴棍，首尾相接摆放成一个三角形，使最长边的长度是最短边长度的3倍，则最长边用了______根．14．如图，AC，BD相交于点O，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P.(第14题)(1)若∠A＝70°，∠D＝60°，则∠P＝___________________________°；(2)若∠A∶∠D∶∠P＝2∶4∶x，则x等于________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝48°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADC的度数．(第15题)16．命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角．(1)写出这个命题的逆命题．(2)判断这个逆命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举一个反例．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，已知∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,3)∠C，求∠A，∠B，∠C的度数．18．已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋2b2－4a－20b＋54＝0，求△ABC的周长．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，E，B，C三点共线，AB与DE交于点G.已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD.请补全证明过程，并解答下列问题．(第19题)(1)证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠ABE＝∠C(__________________________)．∵∠A＝∠C(已知)，∴∠ABE＝________(等量代换)，∴BC∥AD(__________________________)．(2)【延伸】若前提“∠A＝∠C”不变，将条件“AB∥CD”与结论“BC∥AD”调换，所得命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例．(3)【拓展】如图，已知有三个论断①∠A＝∠C；②AB∥CD；③BC∥AD，选出其中两个作为条件，另一个作为结论组成一个命题，能组成多少个真命题？20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E.(1)若∠CEF＝50°，求∠A的度数．(2)∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由.(第20题)六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F.若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0<x≤45)．(1)求∠B的度数；(2)若△DEF中有两个角相等，求x的值．(第21题)七、(本题满分12分)22．如图①，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE.(1)求证：∠BAE＝∠CED.(2)如图②，AF，DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是______．(3)如图③，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G.求证：EG⊥AF.(第22题)八、(本题满分14分)23．综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP.【特例探究】(1)如图①，当P为BC边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段PD，PE，BF之间的数量关系为__________________．【深入探究】(2)如图②，当P为BC边上的任意一点时，(1)中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．【拓展探究】(3)如图③，当点P在BC边的延长线上时：①试猜想线段PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想；②当S△ABC＝10，AB＝5，PE＝2时，线段PD的长为_____________________________________________________．(第23题)

答案一、1.C2.A3.D4.B5.D6.A7.B8.A9.A10．C二、11.如果有两个角的和是180°，那么这两个角互为补角12．45°13.2414.(1)65(2)3三、15.解：∵∠BAC＝50°，∠B＝48°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝82°.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝25°，∴∠ADC＝180°－∠CAD－∠C＝73°.16．解：(1)逆命题为“互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角”．(2)这个逆命题是假命题．反例：两个角都是直角．四、17.解：∵∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,3)∠C，∴设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得x＋2x＋3x＝180，解得x＝30，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°.18．解：∵a2＋2b2－4a－20b＋54＝0，∴a2－4a＋4＋2b2－20b＋50＝0，∴(a－2)2＋2(b－5)2＝0，∴a－2＝0，b－5＝0，解得a＝2，b＝5.∵a，b，c是△ABC的三边长，且均为正整数，∴5－2＜c＜5＋2，即3<c<7，∴c＝4或5或6.当c＝4时，△ABC的周长为2＋4＋5＝11；当c＝5时，△ABC的周长为2＋5＋5＝12；当c＝6时，△ABC的周长为2＋5＋6＝13.综上，△ABC的周长为11或12或13.五、19.解：(1)两直线平行，同位角相等；∠A；内错角相等，两直线平行(2)是真命题．证明：∵BC∥AD，∴∠ABE＝∠A，∵∠A＝∠C，∴∠ABE＝∠C，∴AB∥CD，故将条件“AB∥CD”与结论“BC∥AD”调换后所得命题为真命题．(3)根据题意可知，①②作为条件，③作为结论，为真命题；①③作为条件，②作为结论，为真命题；②③作为条件，①作为结论，为真命题．故能组成3个真命题．20．解：(1)∵∠ACB＝90°，∠CEF＝50°，∴∠CBE＝40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－90°－80°＝10°.(2)相等．理由如下：如图，(第20题)∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∵CD⊥AB，∴∠FDB＝90°.∴∠2＋∠4＝90°.又∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即∠CFE＝∠CEF.六、21.解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠C＋∠B＝90°，即∠C＝90°－∠B，又∵∠C－∠B＝50°，∴90°－∠B－∠B＝50°，解得∠B＝20°.(2)∵∠BAD＝x°，∠B＝20°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD＝20°＋x°，∴∠ADB＝180°－∠ADF＝180°－(20°＋x°)＝160°－x°，根据折叠可得∠ADE＝∠ADB＝160°－x°，∠B＝∠E＝20°，∴∠FDE＝∠ADE－∠ADF＝160°－x°－(20°＋x°)＝140°－2x°.∴∠DFE＝180°－∠E－∠FDE＝180°－20°－(140°－2x°)＝2x°＋20°.①当∠FDE＝∠DFE时，140－2x＝2x＋20，解得x＝30；②当∠DFE＝∠E＝20°时，2x＋20＝20，解得x＝0，∵0<x≤45，∴不合题意，舍去；③当∠FDE＝∠E＝20°时，140－2x＝20，解得x＝60，∵0<x≤45，∴不合题意，舍去．综上所述，x＝30.七、22.(1)证明：∵AB⊥BC，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED.(2)45°点拨：过点F作FM∥AB交CB于点M.∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠B＋∠C＝180°，∠CED＋∠CDE＝90°，∴AB∥CD，∴FM∥AB∥CD.由(1)知∠BAE＝∠CED，∴∠BAE＋∠CDE＝90°.∵AF，DF分别平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF＝eq\f(1,2)∠CDE，∠BAF＝eq\f(1,2)∠BAE，∴∠CDF＋∠BAF＝eq\f(1,2)(∠BAE＋∠CDE)＝45°.∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF＋∠BAF＝45°.(3)证明：∵EH平分∠CED，∴∠CEH＝eq\f(1,2)∠CED，∴∠BEG＝eq\f(1,2)∠CED.∵AF平分∠BAE，∴∠BAG＝eq\f(1,2)∠BAE.由(1)知∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG.∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠BAG＋∠GAE＋∠AEB＝90°，∴∠GAE＋∠AEB＋∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF.八、23.解：(1)BF＝PD＋PE(2)仍然成立．证明：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC×BF，S△ABP＝eq\f(1,2)AB×PD，S△ACP＝eq\f(1,2)AC×PE，