九年级数学上册 第二十四章　一元二次方程 单元测试卷（冀教版 2024年秋）

九年级数学上册第二十四章一元二次方程单元测试卷（冀教版2024年秋）一、选择题(每题3分，共36分)1．(母题：教材P35练习T1)下列方程是一元二次方程的是()A．9x＋2＝0 B．z2＋x＝1 C．3x2－8＝0 D．eq\f(1,x)＋x2＝02．已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为()A．4 B．－4 C．3 D．－33．若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝04．[2024·石家庄市第二十三中学月考]关于x的一元二次方程kx2＋3x－1＝0有实数根，则k的取值范围是()A．k>－eq\f(9,4) B．k>－eq\f(9,4)且k≠0 C．k≥－eq\f(9,4) D．k≥－eq\f(9,4)且k≠05．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为()A．eq\r(3) B．2eq\r(3) C．eq\r(14) D．2eq\r(14)6．已知方程x2－2021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x12－eq\f(2021,x2)的值为()A．1 B．－1 C．2021 D．－20217．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱的定价为x元，根据题意，可列方程为()A．(x－2500)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋4×\f(x,50)))＝5000B．(x－2500)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋4×\f(2900－x,50)))＝5000C．(2900－x－2500)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋4×\f(x,50)))＝5000D．(2900－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋4×\f(2900－x,50)))＝50008．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，则▱ABCD的周长为()A．4＋2eq\r(2)B．12＋6eq\r(2)C．2＋2eq\r(2)D．2＋eq\r(2)或12＋6eq\r(2)9．若关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的两个实数根之和大于－4，则k的取值范围是()A．k＞－1 B．k＜0 C．－1＜k＜0 D．－1≤k＜010．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a<b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{－3，2}＝2，则方程max{x，－x}＝x2－6的解是()A．3或－3 B．3或1 C．3或2 D．1或－311．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为()A．32B．126C．135D．14412．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有两个不相等的实数根x1,x2.若eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，则m的值是()A．2 B．－1 C．2或－1 D．不存在二、填空题(每题3分，共12分)13．(母题：教材P36习题B组T1)若关于x的方程(m－1)x|m＋1|＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值为________．14．[2023·常德]若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．15．[2023·恩施州]《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是________尺．16．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，利用容积列出图中x满足的一元二次方程：_______________(纸的厚度忽略不计，不必化简)．三、解答题(第17，18题6分，第19～21题每题8分，第22～24题每题12分，共72分)17．(母题：教材P44练习T2)用适当的方法解下列方程：(1)x2－2x＝5； (2)(7x＋3)2＝2(7x＋3)；(3)x2－eq\r(3)x－eq\f(9,4)＝0； (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.18．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3.(1)求a的值及方程的另一个根．(2)如果一个三角形的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．19．[2024·保定莲池区期末]关于x的一元二次方程3x2＋mx－2＝0.(1)当m＝1时，求x的值；(2)请判断方程根的情况，并说明理由；(3)若3x2＋mx－2＝0的一个根是x＝3，求方程的另外一个根．20．如图①，要建一个面积为700m2的矩形菜园，菜园的一边靠墙(墙长22m)，另外三边用88m长的木板围起来，并在与墙垂直的一边上开一扇2m宽的门．(1)求菜园的长和宽；(2)如图②，在菜园中修两条等宽的小路，且小路分别与菜园的边平行．若菜地的面积恰为646m2，求小路的宽．21．[2024·石家庄第四十一中学期中]某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售利润．(2)商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿着AC边向C点以1cm/s的速度移动，到C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，到B点停止．(1)如果点P，Q分别从A，C同时出发，经过几秒后，S△QPC＝8cm2?(2)如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒后，S△QPC＝4cm2?23．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根．(1)直接写出m的取值范围；(2)若满足eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝－1，求m的值；(3)若α>2，求证：β>2.24．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式x2－2x＋3进行配方．解：x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2.我们定义：一个整数能表示成a2＋b2(a，b是整数)的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”．例如，5是“雅美数”．理由：5＝22＋12.再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2(x，y是整数)，∴M也是“雅美数”．(1)4，6，7，8四个数中的“雅美数”是________；(2)若二次三项式x2－6x＋13(x是整数)是“雅美数”，可配方成(x－m)2＋n(m，n为常数)，则mn的值为________；(3)已知S＝x2＋4y2＋8x－12y＋k(x，y是整数，k是常数)，要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值；(4)已知实数M，N是“雅美数”，求证：M·N是“雅美数”．

答案一、1．C2．B3．A4．D5．C【点拨】设菱形的两条对角线长分别为a，b.∵菱形的面积＝两条对角线积的一半，∴eq\f(1,2)ab＝11，即ab＝22.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝10，,ab＝22.))∴菱形的边长＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))\s\up12(2))＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)＝eq\f(1,2)eq\r((a＋b)2－2ab)＝eq\f(1,2)eq\r(100－44)＝eq\f(1,2)eq\r(56)＝eq\r(14).6．B【点拨】∵方程x2－2021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1·x2＝1，x12－2021x1＋1＝0.∴x12－2021x1＝－1.∴x12－eq\f(2021,x2)＝x12－eq\f(2021x1,x1·x2)＝x12－2021x1＝－1.7．B8．A【点拨】∵a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，∴a2＋2a－3＝0，即(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3(不合题意，舍去)．∴AE＝EB＝EC＝a＝1.∴BC＝EB＋EC＝2.在Rt△ABE中，AB＝eq\r(AE2＋BE2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴▱ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(eq\r(2)＋2)＝4＋2eq\r(2).故选A．9．D【点拨】由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2(k＋2)＞－4，,[2(k＋2)]2－4k2≥0，))解得－1≤k＜0.故选D．10．A【点拨】当x≥－x时，max{x，－x}＝x，∴x2－6＝x，整理得，(x＋2)(x－3)＝0.∴x1＝－2，x2＝3.当x＝－2时，－x＝－(－2)＝2，不符合题意，当x＝3时，－x＝－3，符合题意；当x<－x时，max{x，－x}＝－x，∴x2－6＝－x，整理得，(x－2)(x＋3)＝0.∴x1＝2，x2＝－3.当x＝2时，－x＝－2，不符合题意，当x＝－3时，－x＝－(－3)＝3，符合题意；综上所述，x的值为3或－3.故选A．11．D【点拨】根据题图可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x＋16，根据题意得，x(x＋16)＝192，解得x1＝8，x2＝－24(不合题意，舍去)，故最小数为8，故圈出的9个数分别为8，9，10，15，16，17，22，23，24，所以这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.12．A【点拨】∵关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,[－(m＋2)]2－4m·\f(m,4)＞0，))解得m＞－1且m≠0.∵x1，x2是方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝eq\f(m＋2,m)，x1x2＝eq\f(1,4).∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，∴eq\f(x1＋x2,x1x2)＝4m.∴eq\f(\f(m＋2,m),\f(1,4))＝4m.∴m＝2或m＝－1.∵m＞－1且m≠0，∴m＝2.二、13．－314．m<115．8，6，10【点拨】设竿的长为x尺，则门高为(x－2)尺，门宽为(x－4)尺，根据题意可得x2＝(x－2)2＋(x－4)2，解得x＝10或x＝2(舍去)．∴x－2＝8，x－4＝6，即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．16．15x(10－x)＝360【点拨】由题意可得长方体的高为15cm，长为(20－2x)÷2＝(10－x)(cm)，则根据题意，列出关于x的方程为15x(10－x)＝360.三、17．【解】(1)配方，得x2－2x＋1＝6，即(x－1)2＝6.由此可得x－1＝±eq\r(6).∴x1＝1＋eq\r(6)，x2＝1－eq\r(6).(2)原方程可变形为(7x＋3)2－2(7x＋3)＝0.因式分解得(7x＋3)(7x＋3－2)＝0.∴x1＝－eq\f(3,7)，x2＝－eq\f(1,7).(3)∵a＝1，b＝－eq\r(3)，c＝－eq\f(9,4)，∴b2－4ac＝(－eq\r(3))2－4×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)))＝12.∴x＝eq\f(\r(3)±\r(12),2)＝eq\f(\r(3)±2\r(3),2).∴x1＝eq\f(3\r(3),2)，x2＝－eq\f(\r(3),2).(4)原方程化为一般形式为y2－2y＝0.∴y(y－2)＝0.∴y1＝2，y2＝0.18．【解】(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴方程的另一个根是x＝1.(2)∵三角形的三边长都是这个方程的根，∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故三角形的周长为3或9或7.19．【解】(1)当m＝1时，方程为3x2＋x－2＝0，∴(3x－2)(x＋1)＝0.∴3x－2＝0或x＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝eq\f(2,3).(2)方程有两个不相等的实数根．理由如下：∵3x2＋mx－2＝0，∴b2－4ac＝m2－4×3×(－2)＝m2＋24>0.∴方程有两个不相等的实数根．(3)设方程的另外一个根为x2.∵若3x2＋mx－2＝0的一个根是x＝3，∴3x2＝－eq\f(2,3).∴x2＝－eq\f(2,9).∴方程的另外一个根为－eq\f(2,9).20．【解】(1)设菜园与墙平行的边为xm，则菜园与墙垂直的边为eq\f(88－x＋2,2)m.根据题意，得x·eq\f(88－x＋2,2)＝700，解得x＝20或x＝70(不合题意，舍去)．∴eq\f(88－x＋2,2)＝35.∴菜园的长为35m，宽为20m.(2)设小路的宽为tm．根据题意，得(20－t)(35－t)＝646，解得t＝1或t＝54(不合题意，舍去)．∴小路的宽为1m.21．【解】(1)由题意得，月销售量为500－(55－50)×10＝450(千克)，∴月销售利润为(55－40)×450＝6750(元)．(2)设销售单价应定为x元，由题意得，(x－40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(500－10(x－50)))＝8000，整理得x2－140x＋4800＝0，解得x1＝60，x2＝80.当x＝60时，月销售成本为40×[500－10×(60－50)]＝16000(元)，不合题意舍去；当x＝80时，月销售成本为40×[500－10×(80－50)]＝8000(元)，符合题意．∴x＝80.答：销售单价应定为80元．22．【解】(1)设经过ts后，S△QPC＝8cm2，由题意得eq\f(1,2)(6－t)·2t＝8，解得t1＝2，t2＝4.由题意得0≤t≤4，