三年级奥数几何计数

几何计数

阂跟给髭

一'几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个

图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到

一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.〃条直线最多将平面分成

2+2+3+……+”=；(/+〃+2)个部分；〃个圆最多分平面的部分数为〃(止1)+2；〃个三角形将平面最多

分成3〃(/rl)+2部分；n个四边形将平面最多分成4〃(/rl)+2部分……

在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时需要仔细审题、

综合所学知识点逐步求解.

排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的

先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关.

二、几何计数分类

(1)数线段：如果一条线段上有〃+1个点(包括两个端点)(或含有〃个“基本线段”)，那么这小1个

点把这条线段一共分成的线段总数为亦(止1)+…+2+1条

(2)数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边.

(3)数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法)，因为如上有15条线段，每条线

段的两端点与点/相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在加上的三角形也有

15个，所以图中共有30个三角形.

(4)数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形(平行四边形)，若其横边上共有〃条

线段，纵边上共有卬条线段，则图中共有长方形(平行四边形)加个.

重型藤

(1)重点：三角形、长方形、正方形的计数方法.

(2)难点:复杂正方的计数技巧

【例1】数一数，共有条线段.

1111I1I

ACDEFGB

【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算

【解析】一共有：1+2+3+4+5+6=21（条）。

【答案】21块

【巩固】正方形边长是a,六个叠在一起组成的图形，周长是多少？如果100个这样的正方形叠在一起，周

长是多少？

【考点】简单几何计数【难度】2星【题型】计算

【解析】一共有：a+3axl00=30U（条）。

【答案】301块

【例2】下图中有个角？

【考点】简单几何计数【难度】2星【题型】计算

【解析】一共有：5x4+2=10（个）。

【答案】10个

【巩固】下图中有个角.

B

【考点】简单几何计数【难度】2星【题型】填空

【解析】一共有：11x10+2=55（个）。

【答案】55个

[例3]下图有_________个三角形？

【考点】简单几何计数【难度】2星【题型】计算

【解析】一共有：4x3-e-2=6（个）。

【答案】6个

【巩固】下图有个三角形?

【考点】简单几何计数【难度】2星【题型】计算

【解析】一共有：5x4+2=10（个）。

【答案】■个

[例4]下图有________条线段，_______一个三角形

【考点】简单几何计数【难度】3星【题型】计算

【解析】一共有：（5x4+2）x4+（5x4+2）x5=90（条）。（5x4+2）x4=40（个）

【答案】90条线段，40个三角形。

【巩固】下图有_________条线段？有一一个三角形？

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

【解析】一共有：（8x7）+2+8x2+l=45（条）（8*7）+2x2+7=63（个）

【答案】45条，63个。

[例5]下图中有.三角形？

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

【解析】一共有：（10+6+3+1）+（6+1）=27（正+倒）。

【答案】27

【巩固】下图中有________三角形？

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

n八一向上的8+7+6+5+4=30；7+6+5+4=22：6+5+4=15；5+4=9；4.合计80个・

【解析】一共有：

向下的3+4+5+6+7=25；2+3+4+5=14；1+2+3=6；1.合计46个.总计80+46=126个.

【答案】126块

［例6］下图中有个长方形？

【考点】几何计数【难度】2星【题型】填空

【解析】一共有：（5x4+2）x（5x4+2）=100（个）。

【答案】100个

【巩固】下图中有多少个长方形？

AD

G

Cn.I

B□Dm-1C

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

(m+l)m(n+l)n1

【解析】x=一mn(m+l)(n+l)

2--------2-----2---4

1

【答案】—mn(m+l)(n+l)

4

【例7】下图中有个长方形？

【考点】几何计数【难度】3星

【解析】一共有：18x3+2x2+4x2=66（个）。

【答案】66个

【巩固】下图中有多少个长方形?

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

【解析】内外长方形中长方形个数均为[4x(4-1)-?2]x[4x(4-1)+2]=36,它们的和减去重复的最中间

的小长方形得36+36-1=71个：组合后增加的长方形2x4=8个.合计71+8=79个.

【答案】79个

【例8】数正方形

【考点】几何计数【难度】2星【题型】填空

【解析】16+9+4+1=30或(5-1尸+(5-2>+(5—3)2+(5-4)2=30

【答案】30个

【巩固】长6,宽5的网格里，有多少个正方形？

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

【解析】6x5+5x4+4x3+3x2+2x1=70

【答案】70个

[例9]下图中有多少正方形?

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

【解析】21+12+5=38

【答案】38个

【巩固】下图中有多少个正方形?

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

【解析】I2,32个；315个,合计47个.

【答案】47个

【例10］下图中有多少正方形？

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

【解析】每个正方形中：42+32+22+12=30（个）30x5-5x4=130（个）

【答案】130个

【巩固】下图中有多少个正方形?

【考点】几何计数【难度】3星【题型】填空

【解析】面积I2,39个；2,24个;

3213个;42,4个;52,1个.合计81个.

【答案】81个

【例11］图5中有个平行四边形。

【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空

【关键词】2004年，第2届，希望杯，4年级，1试

【解析】12+8+3=23

【答案】23

【巩固】数一数，下边图形中有.个平行四边形.

【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空

【关键词】2010年，迎春杯，四年级，初试，4题

【解析】本题是一道几何计数问题，应不漏不重地按规律去数，每相邻两个三角形可组成一个平行四边形，共

计6个.

【答案】6个

［例12］右图中三角形共有个.

【考点】简单的几何计数【难度】4星【题型】填空

【关键词】2009年，迎春杯，五年级，初赛，4题

【解析】不可分割的三角形有7个.

由2个不可分割的三角形构成的三角形有6个.

由3个不可分割的三角形构成的三角形有4个.

由5个不可分割的三角形构成的三角形有2个.

由7个不可分割的三角形构成的三角形有1个.

一共有三角形7+6+4+2+1=20个.

【答案】20个

【巩固】数一数图中有个三角形.

【考点】简单的几何计数【难度】4星【题型】填空

【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛,第14题

【解析】分类枚举，只由一个三角形构成的有6个，由两个小三角形组合而成的三角形有3个。由三个小

三角形组合而成的三角形有3个，所以一共有6+3+3=12（个）。

【答案】12个

【例131在下面的图中，包含苹果的正方形一共有个.

―・―

【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空

【关键词】2010年，1年级，第4题

【解析】包含1个基本正方形的带苹果正方形有1个，包含4个基本正方形的带苹果正方形有4个，包含

9个基本正方形的带苹果正方形有6个，包含16个基本正方形的带苹果正方形有2个，所以共有

1+4+6+2=13（个）.

【答案】13个

【巩固】图中，不含“A”的正方形有个。

【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空

【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，1试

【解析】面积为1的有15个，面积为4的有7个，面积为3的有2个，共24个.

【答案】24

【例14］如图，其中同时包括两个☆的长方形有个.

<r

【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答

【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长

方形.根据乘法原理2x2x2x3=24（种）不同的长方形.

【答案】24个

【巩固】图中含有“※”的长方形总共有个.

【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答

【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数.按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数.

含有左上※号的长方形有：6+6+6=18个，

其中，宽为1（即高度为一层）的含※号的长方形为：6个：

宽为2（即高度为两层）的含※号的长方形为：6个；

宽为3（即高度为三层）的含※号的长方形为：6个；

含有右上※号的长方形有：6+6x2+6=24个，

其中，宽为1（即高度为一层）的含※号的长方形为：6个；

宽为2（即高度为两层）的含※号的长方形为：6x2个；

宽为3（即高度为三层）的含※号的长方形为：6个；

同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有：4+4=8个，

其中，宽为2（即高度为两层）的含※号的长方形为：4个；

宽为3（即高度为三层）的含※号的长方形为：4个；

所以，含有※号的长方形总共有：18+24-8=34个.

【答案】34个

【例15】右图中有个正方形，个三角形，包含★的三角形有个.

【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空

【关键词】2009年，2年级，第7题

【解析】正方形：正着的方块有4个小的，1个大的，斜的方块有4个小的，1个大的：以正方形共有10

个。三角形：小号的三角形有16个，其中有I个包含★

中号的三角形有16个，其中有2个包含★

大号的三角形有8个，其中有3个包含★

特大号的三角形有4个，其中有2个包含★

所以三角形有44个，包含★的有8个

【答案】正方形10个，三角形44个，包含★的有8个

【巩固】如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形.其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大

的正三角形若干个.那么，图中包含“A”号的大、小正三角形一共有个.

【考点】复杂的几何计数【难度】2星【题型】解答

【解析】分三类进行计数（设小正三角形边长为1）包含*的三角形中，

边长为I的正三角形有1个；

边长为2的正三角形有4个；

边长为3的正三角形有1个：

因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1=6（个）.

【答案】6个

【随练1】下图有条线段，个三角形

【考点】几何计数【难度】2星【题型】填空

【解析】6x5+2+10+3=28（条）6x5+2x2+5=35（个）

【答案】28条，35个。

【随练2】如图AB,CD,EF,MN互相平行，则图中三角形个数的是多少?

【考点】简单的几何计数【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】图中共有三角形(1+2+3+4)x4=40个.

【答案】40个

【随练3】下面的6x4图中共有个正方形.

【考点】简单的几何计数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】在6x4的图中边长为1的正方形6x4个；边长为2的正方形5x3个；边长为3的正方形4x2个;

边长为4的正方形3x1个；总共有6x4+5x3+4x2+3xl=42(^).

【答案】42个

【随练4】右图中共有个三角形.

【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空

【关键词】2010年，迎春杯，三年级，初赛，2题

【解析】分类枚举得到：边长是1个单位长度的有12个三角形;

边长是2个单位长度的有6个三角形

边长是3个单位长度的有2个三角形

共有12+6+2=20(个)

【答案】20个

【作业1】下图中有多少个角？

【考点】简单的几何计数【难度】☆【题型】解答

【解析】组合跨度：1个；2个；3个；4个.

个数：4,4,4,1

合计13个.

【答案】13个

【作业2】下图有多少线段？有多少三角形？

【考点】简单的几何计数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】(5X4+2)X3+(4X3+2)义5=60

(5X44-2)X3=30

【答案】30个

【作业3】数一数：图中共有个正方形.

rn

LJ

【考点】简单的几何计数【难度】☆☆☆【题型】填空

【解析】按面积从小到大4+17+9+4+1=35个

【答案】35个

【作业4】在图中,包含A的三角形一共有个。

【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空

【关键词】2008年2年级，第5题

【解析】包含五角星的三角形中含一个基本三角形的有1个：含四个基本三角形的有4个；含9个基本三

角形的有3个；含16个基本三角形的有1个。这样包含五南星的三角形一共有1+4+3+1=9（个）。

【答案】9

【作业5】下图中有多少长方形中含有长方形a?

a

【考点】简单的几何计数